初中奧數的知識點

　　漫長的學習生涯中，說起知識點，應該沒有人不熟悉吧？知識點也可以理解為考試時會涉及到的知識，也就是大綱的分支。掌握知識點有助于大家更好的學習。下面是小編精心整理的初中奧數的知識點，歡迎大家分享。

　　初中奧數的知識點

　　1、因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解。

　　2、常用的因式分解方法：

　　(1)提取公因式法：

　　(2)運用公式法：平方差公式： ;

　　完全平方公式：

　　(3)十字相乘法：

　　(4)分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或運用公式分解。

　　(5)運用求根公式法：

　　若 的兩個根是 、 ，則有：

　　3、因式分解的一般步驟：

　　(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式;

　　(2)提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法;

　　(3)對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

　　(4)最后考慮用分組分解法。

　　初中奧數的知識點

　　(1)公約數和最大公約數

　　幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數;其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。

　　例如：4是12和16的最大公約數，可記做：(12 ，16)=4

　　(2)公倍數和最小公倍數

　　幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數;其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。

　　例如：36是12和18的最小公倍數，記作[12，18]=36。

　　(3)最大公約數和最小公倍數的關系

　　如果用a和b表示兩個自然數

　　1、那么這兩個自然數的最大公約數與最小公倍數關系是：

　　(a，b)×[a，b]=a×b。

　　(多用于求最小公倍數)

　　2、(a，b) ≤ a ，b ≤ [a，b]

　　3、[a，b]是(a，b)的倍數，(a，b)是[a，b]的約數

　　4、(a，b)是a+b 和a-b 的約數，也是(a，b)+[a，b]和(a，b)-[a，b]的約數

　　(4)求最大公約數的方法很多，主要：短除法、分解質因數法、輾轉相除法。

　　例如：

　　1、(短除法)用一個數去除30、60、75，都能整除，這個數最大是多少?

　　解：∵

　　(30，60，75)=5×3=15

　　這個數最大是15。

　　2、(分解質因數法)求1001和308的最大公約數是多少?

　　解：1001=7×11×13(這個質分解常用到) ， 308=7×11×4

　　所以最大公約數是7×11=77

　　在這種方法中，先將數進行質分解，而后取它們“所有共有的質因數之積”便是最大公約數。

　　3、(輾轉相除法)用輾轉相除法求4811和1981的最大公約數。

　　解：∵4811=2×1981+849，1981=2×849+283，849=3×283，∴(4811，1981)=283。

　　補充說明：如果要求三個或更多的數的最大公約數，可以先求其中任意兩個數的最大公約數，再求這個公約數與另外一個數的最大公約數，這樣求下去，直至求得最后結果。

　　(5)約數個數公式

　　一個合數的約數個數，等于它的質因數分解式中每個質因數的個數(即指數)加1的連乘的積。

　　例如：求240的約數的個數。

　　解：∵240=24×31×51，∴240的約數的個數是

　　(4+1)×(1+1)×(1+1)=20，∴240有20個約數。

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　　一、代數式的定義

　　用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫做代數式。單獨的一個數或字母也是代數式。注意：

　　(1)單個數字與字母也是代數式;

　　(2)代數式與公式、等式的區別是代數式中不含等號，而公式和等式中都含有等號;(3)代數式可按運算關系和運算結果兩種情況理解。

　　二、整式

　　單項式與多項式統稱為整式。

　　1.單項式：數與字母的積所表示的代數式叫做單項式，單項式中的數字因數叫做單項式的系數;單項式中所有字母的指數的和叫做單項式的次數。特別地，單獨一個數或者一個字母也是單項式。

　　2.多項式：幾個單項式的和叫做多項式，在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項;在多項式里，次數最高項的次數就是這個多項式的次數。

　　三、升(降)冪排列

　　把一個多項式按某一個字母的指數從小到大(或從大到小)的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升(降)冪排列。

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　　1、相反數

　　實數與它的相反數時一對數(只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零)，從數軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點關于原點對稱，如果a與b互為相反數，則有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

　　2、絕對值

　　一個數的絕對值就是表示這個數的點與原點的距離，|a|≥0。零的絕對值時它本身，也可看成它的相反數，若|a|=a，則a≥0;若|a|=-a，則a≤0。正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數，兩個負數，絕對值大的反而小。

　　3、倒數

　　如果a與b互為倒數，則有ab=1，反之亦成立。倒數等于本身的數是1和-1。零沒有倒數。

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　　恒等概念是對兩個代數式而言，如果兩個代數式里的字母換成任意的數值，這兩個代數式的值都相等，就說這兩個代數式恒等

　　表示兩個代數式恒等的等式叫做恒等式

　　如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式，而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式，以前學過的運算律都是恒等式

　　將一個代數式換成另一個和它恒等的代數式，叫做恒等變形(或恒等變換)

　　以恒等變形的意義來看，它不過是將一個代數式，從一種形式變為另一種形式，但有一個條件，要求變形前和變形后的兩個代數式是恒等的，就是“形”變“值”不變.

　　如何判斷一個等式是否是恒等式，通常有以下兩種判斷多項式恒等的方法

　　1.如果兩個多項式的同次項的系數都相等，那么這兩個多項式是恒等的

　　如2x2+3x-4和3x-4+2x2當然恒等，因為這兩個多項式就是同一個

　　反之，如果兩個多項式恒等，那么它們的同次項的系數也都相等(兩個多項的常數項也看作是同次項)

　　2.通過一系列的恒等變形，證明兩個多項式是恒等的

　　如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r

　　例：求b、c的值，使下面的恒等成立

　　x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ①

　　解一：∵①是恒等式，對x的任意數值，等式都成立

　　設x=1，代入①，得

　　12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+c

　　c=6

　　再設x=2，代入①，由于已得c=6，故有

　　22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6

　　b=5

　　∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6

　　解二：將右邊展開

　　x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c

　　=x2-2x+1+bx-b+c

　　=x2+(b-2)x+(1-b+c)

　　比較兩邊同次項的系數，得

　　由②得b=5

　　將b=5代入③得

　　1-5+c=2

　　c=6

　　∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6

　　這個問題為依照x-1的冪展開多項式x2+3x+2，這個解題方法叫做待定系數法，它是先假定一個恒等式，其中含有待定的系數，如上例的b、c，然后根據恒等的意義或性質，列出b、c應適合的條件，然后求出待定系數值

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　　1. 定義：如果一個整式除以另一個整式所得的商式也是一個整式，并且余式是零，則稱這個整式被另一個整式整除。

　　2. 根據被除式=除式×商式+余式，設f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，那么 式的整除的意義可以表示為：

　　若f(x)=p(x)×q(x)， 則稱f(x)能被 p(x)和q(x)整除

　　例如∵x2-3x-4=(x-4)(x +1),∴x2-3x-4能被(x-4)和(x +1)整除。

　　顯然當 x=4或x=-1時x2-3x-4=0

　　3. 一般地，若整式f(x)含有x –a的因式，則f(a)=0

　　反過來也成立，若f(a)=0,則x-a能整除f(x)。

　　4. 在二次三項式中

　　若x2+px+q=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 則p=a+b,q=ab

　　在恒等式中，左右兩邊同類項的系數相等。這可以推廣到任意多項式。

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