函數知識點精華(15篇)

　　上學期間，說起知識點，應該沒有人不熟悉吧？知識點是指某個模塊知識的重點、核心內容、關鍵部分。哪些知識點能夠真正幫助到我們呢？以下是小編整理的函數知識點，希望對大家有所幫助。

函數知識點1

　　I.定義與定義表達式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：y=ax^2+bx+c

　　a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a0時，開口方向向上，a0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大，則稱y為x的二次函數。

　　二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

　　II.二次函數的三種表達式

　　一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)

　　頂點式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P(h，k)]

　　交點式：y=a(x-x)(x-x ) [僅限于與x軸有交點A(x ，0)和 B(x，0)的拋物線]

　　注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:

　　h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a

　　III.二次函數的'圖像

　　在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

函數知識點2

　　一、一次函數定義與定義式：

　　自變量x和因變量y有如下關系：

　　y=kx+b

　　則此時稱y是x的一次函數。

　　特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。

　　即：y=kx（k為常數，k≠0）

　　二、一次函數的性質：

　　1、y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

　　即：y=kx+b（k為任意不為零的實數b取任何實數）

　　2、當x=0時，b為函數在y軸上的截距。

　　三、一次函數的圖像及性質：

　　1、作法與圖形：通過如下3個步驟

　　（1）列表；

　　（2）描點；

　　（3）連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數圖像與x軸和y軸的交點）

　　2、性質：（1）在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b），與x軸總是交于（—b/k，0）正比例函數的圖像總是過原點。

　　3、k，b與函數圖像所在象限：

　　當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；

　　當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

　　當b>0時，直線必通過一、二象限；

　　當b=0時，直線通過原點

　　當b<0時，直線必通過三、四象限。

　　特別地，當b=O時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖像。

　　這時，當k>0時，直線只通過一、三象限；當k<0時，直線只通過二、四象限。

　　四、確定一次函數的表達式：

　　已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點A、B的一次函數的表達式。

　　（1）設一次函數的表達式（也叫解析式）為y=kx+b。

　　（2）因為在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

　　（3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。

　　（4）最后得到一次函數的表達式。

　　五、一次函數在生活中的應用：

　　1、當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。

　　2、當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S—ft。

　　六、常用公式：

　　1、求函數圖像的k值：（y1—y2）/（x1—x2）

　　2、求與x軸平行線段的中點：|x1—x2|/2

　　3、求與y軸平行線段的中點：|y1—y2|/2

　　4、求任意線段的長：√（x1—x2）’2+（y1—y2）’2（注：根號下（x1—x2）與（y1—y2）的平方和）

　　二次函數

　　I、定義與定義表達式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

　　y=ax’2+bx+c

　　（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大。）

　　則稱y為x的二次函數。

　　二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

　　II、二次函數的三種表達式

　　一般式：y=ax’2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）

　　頂點式：y=a（x—h）’2+k[拋物線的頂點P（h，k）]

　　交點式：y=a（x—x？）（x—x？）[僅限于與x軸有交點A（x？，0）和B（x？，0）的拋物線]

　　注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系：

　　h=—b/2ak=（4ac—b’2）/4ax？，x？=（—b±√b’2—4ac）/2a

　　III、二次函數的圖像

　　在平面直角坐標系中作出二次函數y=x’2的圖像，

　　可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

　　IV、拋物線的性質

　　1、拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

　　x=—b/2a。

　　對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。

　　特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

　　2、拋物線有一個頂點P，坐標為

　　P（—b/2a，（4ac—b’2）/4a）

　　當—b/2a=0時，P在y軸上；當Δ=b’2—4ac=0時，P在x軸上。

　　3、二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。

　　|a|越大，則拋物線的開口越小。

　　4、一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

　　當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；

　　當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。

　　5、常數項c決定拋物線與y軸交點。

　　拋物線與y軸交于（0，c）

　　6、拋物線與x軸交點個數

　　Δ=b’2—4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

　　Δ=b’2—4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

　　Δ=b’2—4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x=—b±√b’2—4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）

　　V、二次函數與一元二次方程

　　特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax’2+bx+c，

　　當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程（以下稱方程），

　　即ax’2+bx+c=0

　　此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。

　　函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

　　數學必修一學習方法

　　嚴防題海戰術，克服盲目做題而不注重歸納的'現象。

　　做習題是為了鞏固知識、提高應變能力、思維能力、計算能力。學數學要做一定量的習題，但學數學并不等于做題，在各種考試題中，有相當的習題是靠簡單的知識點的堆積，利用公理化知識體系的演繹而就能解決的，這些習題是要通過做一定量的習題達到對解題方法的展移而實現的，但，隨著高考的改革，高考已把考查的重點放在創造型、能力型的考查上。因此要精做習題，注意知識的理解和靈活應用，當你做完一道習題后不訪自問：本題考查了什么知識點？什么方法？我們從中得到了解題的什么方法？這一類習題中有什么解題的通性？實現問題的完全解決我應用了怎樣的解題策略？只有這樣才會培養自己的悟性與創造性，開發其創造力。也將在遇到即將來臨的期末考試和未來的高考題目中那些綜合性強的題目時可以有一個科學的方法解決它。

　　數學必修一學習技巧

　　1、做好準備，提出問題，多次閱讀課本，查閱相關材料，回答自己提出的問題，并在老師談論新課之前努力掌握盡可能多的知識。如果你不能回答問題，你可以在老師的講座中解答。

　　2、學會聽課。在初中教學中，教師經常反復講解一個知識點，讓學生通過大量的練習掌握它。但是高中畢業后，老師不會讓學生通過大量的練習掌握知識點，而是通過一些相關的知識來引導學生去理解。這些知識是如何產生的，以及如何利用這些知識來解決一些相關的疑問？如果學生能夠理解，他們可以通過課外練習鞏固自己的知識。同時，學生可以根據教師的指導擴大知識。

　　為自己在聽課的過程中，當然，不能理解的知識，可以用來分析舉手讓老師解釋，也使相關記錄，課后進一步理解；在預覽他們的問題，如果老師不解決，可以利用業余時間去問老師來解決，這樣的學習可以學習更多的知識。

　　聽每一分鐘，特別是老師講課的開頭和結尾

　　在老師講課開始時，他通常會總結上一節課的要點，并指出這節課的內容。它是把舊知識和新知識聯系起來的一個環節，它的結尾往往是對一門課所提供的知識的總結，這是非常普遍的。是基于對這部分知識的理解而提出的提綱的方法。

函數知識點3

　　集合的含義與表示

　　1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。

　　把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。

　　2、集合的中元素的三個特性：

　　（1）元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。

　　（2）元素的互異性：一個給定集合中的元素是的.，不可重復的。

　　（3）元素的無序性：集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合

　　3、集合的表示：{…}

　　（1）用大寫字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5}

　　（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　a、列舉法：將集合中的元素一一列舉出來{a，b，c……}

　　b、描述法：

　　①區間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合。

　　{x？R|x—3>2}，{x|x—3>2}

　　②語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　③Venn圖：畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。

　　4、集合的分類：

　　（1）有限集：含有有限個元素的集合

　　（2）無限集：含有無限個元素的集合

　　（3）空集：不含任何元素的集合

　　5、元素與集合的關系：

　　（1）元素在集合里，則元素屬于集合，即：a？A

　　（2）元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：a￠A

　　注意：常用數集及其記法：

　　非負整數集（即自然數集）記作：N

　　正整數集N—或N+

　　整數集Z

　　有理數集Q

　　實數集R

　　6、集合間的基本關系

　　（1）“包含”關系（1）—子集

　　定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集。

函數知識點4

　　它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x這些函數的統稱，各自表示其正弦、余弦、正切、余切為x的角。

　　三角函數的反函數不是單值函數，因為它并不滿足一個自變量對應一個函數值的要求，其圖像與其原函數關于函數y=x對稱。歐拉提出反三角函數的概念，并且首先使用了“arc+函數名”的形式表示反三角函數，而不是。

　　為限制反三角函數為單值函數，將反正弦函數的值y限在-π/2≤y≤π/2，將y作為反正弦函數的主值，記為y=arcsin x;相應地，反余弦函數y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函數y=arctan x的'主值限在-π/2

　　反正弦函數

　　y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函數，叫做反正弦函數。記作arcsinx，表示一個正弦值為x的角，該角的范圍在[-π/2，π/2]區間內。定義域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。

　　反余弦函數y=cos x在[0，π]上的反函數，叫做反余弦函數。記作arccosx，表示一個余弦值為x的角，該角的范圍在[0，π]區間內。定義域[-1，1] ， 值域[0，π]。

　　反正切函數

　　y=tan x在(-π/2，π/2)上的反函數，叫做反正切函數。記作arctanx，表示一個正切值為x的角，該角的范圍在(-π/2，π/2)區間內。定義域R，值域(-π/2，π/2)。

　　反余切函數

　　y=cot x在(0，π)上的反函數，叫做反余切函數。記作arccotx，表示一個余切值為x的角，該角的范圍在(0，π)區間內。定義域R，值域(0，π)。

函數知識點5

　　一定要做好預習

　　初二學生想要學好數學，一定要學會提前預習。將老師要將的內容提前預習一下，對于自己在預習中會出現的不理解的概念或者不懂的知識點，要做好標記和記錄，這樣初二學生在數學課堂上才會注意力集中，這樣在聽課的過程中才能夠跟上老師的講課思路，自己的思維才能夠集中。帶著問題去聽老師講課，這樣會將被動的學習變為主動，可以有效的提高初二新生在數學課堂上的學習效率。

　　課下要學會及時復習

　　當初二學生在課上認真聽講后，那么對于初二數學的學習課后也是需要及時復習的。當老師講完初二數學一節課的內容之后，初中生一定要聽明白，不要留下任何的疑點，有不懂的地方要及時的問同學或者老師。這樣在課后復習的`時候才能夠自己獨立的去完成作業。每一次的初二數學課后，初中生都應該將這節課學習的知識點進行歸納和整理。

　　初中數學有理數知識點

　　（一）定義

　　有理數為整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱，正整數和正分數合稱為正有理數，負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。

　　（二）有理數的性質

　　（1）順序性

　　（2）封閉性

　　（3）稠密性

　　（三）有理數的加法運算法則

　　1、同號兩數相加，取與加數相同的符號，并把絕對值相加。

　　2、異號兩數相加，若絕對值相等則互為相反數的兩數和為0；若絕對值不相等，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

　　3、互為相反數的兩數相加得0。

　　4、一個數同0相加仍得這個數。

　　5、互為相反數的兩個數，可以先相加。

　　6、符號相同的數可以先相加。

　　7、分母相同的數可以先相加。

　　8、幾個數相加能得整數的可以先相加。

　　9、減去一個數，等于加上這個數的相反數，即把有理數的減法利用數的相反數變成加法進行運算。

函數知識點6

　　1、函數的奇偶性

　　（1）若f（x）是偶函數，那么f（x）=f（—x）；

　　（2）若f（x）是奇函數，0在其定義域內，則f（0）=0（可用于求參數）；

　　（3）判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：f（x）±f（—x）=0或（f（x）≠0）；

　　（4）若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性；

　　（5）奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性；偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性；

　　2、復合函數的有關問題

　　（1）復合函數定義域求法：若已知的定義域為[a，b]，其復合函數f[g（x）]的定義域由不等式a≤g（x）≤b解出即可；若已知f[g（x）]的定義域為[a，b]，求f（x）的定義域，相當于x∈[a，b]時，求g（x）的值域（即f（x）的定義域）；研究函數的問題一定要注意定義域優先的`原則。

　　（2）復合函數的單調性由“同增異減”判定；

　　3、函數圖像（或方程曲線的對稱性）

　　（1）證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；

　　（2）證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在C2上，反之亦然；

　　（3）曲線C1：f（x，y）=0，關于y=x+a（y=—x+a）的對稱曲線C2的方程為f（y—a，x+a）=0（或f（—y+a，—x+a）=0）；

　　（4）曲線C1：f（x，y）=0關于點（a，b）的對稱曲線C2方程為：f（2a—x，2b—y）=0；

　　（5）若函數y=f（x）對x∈R時，f（a+x）=f（a—x）恒成立，則y=f（x）圖像關于直線x=a對稱；

　　（6）函數y=f（x—a）與y=f（b—x）的圖像關于直線x=對稱；

　　4、函數的周期性

　　（1）y=f（x）對x∈R時，f（x +a）=f（x—a）或f（x—2a）=f（x）（a>0）恒成立，則y=f（x）是周期為2a的周期函數；

　　（2）若y=f（x）是偶函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f（x）是周期為2︱a︱的周期函數；

　　（3）若y=f（x）奇函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f（x）是周期為4︱a︱的周期函數；

　　（4）若y=f（x）關于點（a，0），（b，0）對稱，則f（x）是周期為2的周期函數；

　　（5）y=f（x）的圖象關于直線x=a，x=b（a≠b）對稱，則函數y=f（x）是周期為2的周期函數；

　　（6）y=f（x）對x∈R時，f（x+a）=—f（x）（或f（x+a）=，則y=f（x）是周期為2的周期函數；

　　5、方程k=f（x）有解k∈D（D為f（x）的值域）；

　　6、a≥f（x）恒成立a≥[f（x）]max，；a≤f（x）恒成立a≤[f（x）]min；

　　7、（1）（a>0，a≠1，b>0，n∈R+）；（2）l og a N=（a>0，a≠1，b>0，b≠1）；

　　（3）l og a b的符號由口訣“同正異負”記憶；（4）a log a N= N（a>0，a≠1，N>0）；

　　8、判斷對應是否為映射時，抓住兩點：（1）A中元素必須都有象且；（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；

　　9、能熟練地用定義證明函數的單調性，求反函數，判斷函數的奇偶性。

　　10、對于反函數，應掌握以下一些結論：（1）定義域上的單調函數必有反函數；（2）奇函數的反函數也是奇函數；（3）定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數；（4）周期函數不存在反函數；（5）互為反函數的兩個函數具有相同的單調性；（5）y=f（x）與y=f—1（x）互為反函數，設f（x）的定義域為A，值域為B，則有f[f——1（x）]=x（x∈B），f——1[f（x）]=x（x∈A）。

　　11、處理二次函數的問題勿忘數形結合；二次函數在閉區間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區間的相對位置關系；

　　12、依據單調性，利用一次函數在區間上的保號性可解決求一類參數的范圍問題

　　13、恒成立問題的處理方法：（1）分離參數法；（2）轉化為一元二次方程的根的分布列不等式（組）求解；

函數知識點7

　　一個函數總是占用一段連續的內存區域，函數名在表達式中有時也會被轉換為該函數所在內存區域的首地址，這和數組名非常類似。我們可以把函數的這個首地址（或稱入口地址）賦予一個指針變量，使指針變量指向函數所在的內存區域，然后通過指針變量就可以找到并調用該函數。這種指針就是函數指針。

　　函數指針的定義形式為：

　　returnType (*pointerName)(param list);

　　returnType 為函數返回值類型，pointerNmae 為指針名稱，param list 為函數參數列表。參數列表中可以同時給出參數的類型和名稱，也可以只給出參數的類型，省略參數的名稱，這一點和函數原型非常類似。

　　注意( )的優先級高于*，第一個括號不能省略，如果寫作returnType *pointerName(param list);就成了函數原型，它表明函數的返回值類型為returnType *。

　　【實例】用指針來實現對函數的'調用。

　　#include//返回兩個數中較大的一個int max(int a, int b){ return a>b ? a : b;}int main(){ int x, y, maxval; //定義函數指針 int (*pmax)(int, int) = max; //也可以寫作int (*pmax)(int a, int b) printf("Input two numbers:"); scanf("%d %d", &x, &y); maxval = (*pmax)(x, y); printf("Max value: %dn", maxval); return 0;}

　　運行結果：

　　Input two numbers:10 50↙

　　Max value: 50

　　第 14 行代碼對函數進行了調用。pmax 是一個函數指針，在前面加 * 就表示對它指向的函數進行調用。注意( )的優先級高于*，第一個括號不能省略

函數知識點8

　　高一數學上學期知識點：冪函數

　　定義：

　　形如y=x^a(a為常數)的函數，即以底數為自變量冪為因變量，指數為常量的函數稱為冪函數。

　　定義域和值域：

　　當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：如果a為任意實數，則函數的定義域為大于0的所有實數;如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小于0，這時函數的定義域為大于0的所有實數;如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等于0的所有實數。當x為不同的數值時，冪函數的值域的不同情況如下：在x大于0時，函數的值域總是大于0的實數。在x小于0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。而只有a為正數，0才進入函數的值域

　　性質：

　　對于a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

　　首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0，+∞)。當指數n是負整數時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那么我們就可以知道：

　　排除了為0與負數兩種可能，即對于x>0，則a可以是任意實數;

　　排除了為0這種可能，即對于x<0 x="">0的`所有實數，q不能是偶數;

　　可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

　　事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數解析式(一次函數)的斜率k的值。可通過對二次函數求導得到。

　　決定拋物線與y軸交點的因素

　　5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

　　拋物線與y軸交于(0，c)

　　拋物線與乘軸交點個數

　　6.拋物線與乘軸交點個數

　　Δ=b^2-4ac>0時，拋物線與乘軸有2個交點。

　　Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與乘軸有1個交點。

　　Δ=b^2-4ac<0時，拋物線與乘軸沒有交點。乘的取值是虛數(乘=-b±√b^2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)

　　當a>0時，函數在乘=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{乘|乘<-b/2a}上是減函數，在

　　{乘|乘>-b/2a}上是增函數;拋物線的開口向上;函數的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變

　　當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形為y=a乘^2c(a≠0)

　　特殊值的形式

　　7.特殊值的形式

　　①當乘=1時y=abc

　　②當乘=-1時y=a-bc

　　③當乘=2時y=4a2bc

　　④當乘=-2時y=4a-2bc

　　學好初中數學的方法和技巧總結

　　主動預習

　　預習的目的.是主動獲取新知識的過程，有助于調動學習積極主動性，新知識在未講解之前，認真閱讀教材，養成主動預習的習慣，是獲得數學知識的重要手段。

　　因此，要注意培養自學能力，學會看書。如自學例題時，要弄清例題講的什么內容，告訴了哪些條件，求什么，書上怎么解答的，為什么要這樣解答，還有沒有新的解法，解題步驟是怎樣的。抓住這些重要問題，動腦思考，步步深入，學會運用已有的知識去獨立探究新的知識。

　　讓數學課學與練結合

　　在數學課上，光聽是沒用的。自己也要在草稿紙上練。當遇到不懂的難題時，一定要提出來，不能不懂裝懂，否則考試遇到類似的題目就可能不會做。聽老師講課時一定要全神貫注，要注意細節問題。應抓住聽課中的主要矛盾和問題，在聽講時盡可能與老師的講解同步思考，必要時做好筆記。每堂課結束以后應深思一下進行歸納，做到一課一得。

　　初中數學正數和負數知識點

　　⒈、正數和負數的概念

　　負數：比0小的數正數：比0大的數0既不是正數，也不是負數

　　注意：①字母a可以表示任意數，當a表示正數時，—a是負數;當a表示負數時，—a是正數;當a表示0時，—a仍是0。(如果出判斷題為：帶正號的數是正數，帶負號的數是負數，這種說法是錯誤的，例如+a，—a就不能做出簡單判斷)

　　②正數有時也可以在前面加“+”，有時“+”省略不寫。所以省略“+”的正數的符號是正號。

　　2、具有相反意義的量

　　若正數表示某種意義的量，則負數可以表示具有與該正數相反意義的量，比如：

　　零上8℃表示為：+8℃;零下8℃表示為：—8℃

　　3、0表示的意義

　　(1)0表示“沒有”，如教室里有0個人，就是說教室里沒有人;

　　(2)0是正數和負數的分界線，0既不是正數，也不是負數。如：

　　(3)0表示一個確切的量。如：0℃以及有些題目中的基準，比如以海平面為基準，則0米就表示海平面。

函數知識點10

　　一、集合有關概念

　　1.集合的含義

　　2.集合的中元素的三個特性：

　　(1)元素的確定性如：世界上的山

　　(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

　　(3)元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

　　3.集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

　　(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　注意：常用數集及其記法：

　　非負整數集(即自然數集)記作：N

　　正整數集：N_或N+

　　整數集：Z

　　有理數集：Q

　　實數集：R

　　1)列舉法：{a,b,c……}

　　2)描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}

　　3)語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　4)Venn圖:

　　4、集合的分類：

　　(1)有限集含有有限個元素的集合

　　(2)無限集含有無限個元素的.集合

　　(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

　　二、集合間的基本關系

　　1.“包含”關系—子集

　　注意：有兩種可能

　　(1)A是B的一部分，;

　　(2)A與B是同一集合。

　　反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

　　2.“相等”關系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5) 實

　　例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

　　即：

　　①任何一個集合是它本身的子集。AíA

　　②真子集:如果AíB,且A1B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

　　③如果AíB,BíC,那么AíC

　　④如果AíB同時BíA那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

　　規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　4.子集個數：

　　有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集，含有2n-1個非空子集，含有2n-1個非空真子集

　　三、集合的運算

　　運算類型交集并集補集

　　定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作AB(讀作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.

　　由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集.記作：AB(讀作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}).

　　如何養成良好的解題習慣

　　要想學好數學，多做題目是難免的，熟悉掌握各種題型的解題思路。剛開始要從基礎題入手，以課本上的習題為準，反復練習打好基礎，再找一些課外的習題，以幫助開拓思路，提高自己的分析、解決能力，掌握一般的解題規律。對于一些易錯題，可備有錯題集，寫出自己的解題思路和正確的解題過程兩者一起比較找出自己的錯誤所在，以便及時更正。

　　在平時要養成良好的解題習慣。讓自己的精力高度集中，使大腦興奮，思維敏捷，能夠進入最佳狀態，在考試中能運用自如。實踐證明：越到關鍵時候，你所表現的解題習慣與平時練習無異。如果平時解題時隨便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平 dW 時養成良好的解題習慣是非常重要的。

　　數學性質

　　數學性質是數學表觀和內在所具有的特征，一種事物區別于其他事物的屬性。如：平行四邊形的性質：對邊平行，對邊相等，對角線互相平分，中心對稱圖形。

　　高等數學知識點

函數知識點11

　　反比例函數y=k/x的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限。

　　它們關于原點對稱、反比例函數的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠不與坐標軸相交。

　　畫反比例函數的圖象時要注意的問題：

　　（1）畫反比例函數圖象的方法是描點法;

　　（2）畫反比例函數圖象要注意自變量的取值范圍是k≠0，因此不能把兩個分支連接起來。

　　k≠0

　　（3）由于在反比例函數中，x和y的值都不能為0，所以畫出的'雙曲線的兩個分支要分別體現出無限的接近坐標軸，但永遠不能達到x軸和y軸的變化趨勢。

　　反比例函數的性質：

　　y=k/x（k≠0）的變形形式為xy=k（常數）所以：

　　（1）其圖象的位置是：

　　當k﹥0時，x、y同號，圖象在第一、三象限;

　　當k﹤0時，x、y異號，圖象在第二、四象限。

　　（2）若點（m，n）在反比例函數y=k/x（k≠0）的圖象上，則點（—m，—n）也在此圖象上，故反比例函數的圖象關于原點對稱。

　　（3）當k﹥0時，在每個象限內，y隨x的增大而減小;

　　當k﹤0時，在每個象限內，y隨x的增大而增大;

函數知識點12

　　定義域

　　(高中函數定義)設A，B是兩個非空的數集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A--B為集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x)，x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數的定義域;

　　值域

　　名稱定義

　　函數中，應變量的取值范圍叫做這個函數的值域函數的值域，在數學中是函數在定義域中應變量所有值的集合

　　常用的求值域的方法

　　(1)化歸法;(2)圖象法(數形結合)，

　　(3)函數單調性法，

　　(4)配方法，(5)換元法，(6)反函數法(逆求法)，(7)判別式法，(8)復合函數法，(9)三角代換法，(10)基本不等式法等

　　關于函數值域誤區

　　定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本元件。平時數學中，實行定義域優先的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手硬一手軟，使學生對函數的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的'位置是相當的，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時處于互相轉化之中(典型的例子是互為反函數定義域與值域的相互轉化)。如果函數的值域是無限集的話，那么求函數值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時并不能奏效，還必須聯系函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利于對定義域內函的理解，從而深化對函數本質的認識。

　　范圍與值域相同嗎?

　　范圍與值域是我們在學習中經常遇到的兩個概念，許多同學常常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念。值域是所有函數值的集合(即集合中每一個元素都是這個函數的取值)，而范圍則只是滿足某個條件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都滿足這個條件)。也就是說：值域是一個范圍，而范圍卻不一定是值域。

函數知識點13

　　一、函數自身的對稱性探究

　　定理1.函數 y = f (x)的圖像關于點A (a ,b)對稱的充要條件是

　　f (x) + f (2a－x) = 2b

　　證明：（必要性）設點P(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點，∵點P( x ,y)關于點A (a ,b)的對稱點P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)圖像上，∴ 2b－y = f (2a－x)

　　即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得證。

　　（充分性）設點P(x0,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)

　　∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。

　　故點P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 圖像上，而點P與點P'關于點A (a ,b)對稱，充分性得征。

　　推論：函數 y = f (x)的圖像關于原點O對稱的充要條件是f (x) + f (－x) = 0

　　定理2. 函數 y = f (x)的圖像關于直線x = a對稱的充要條件是

　　f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （證明留給讀者）

　　推論：函數 y = f (x)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f (x) = f (－x)

　　定理3. ①若函數y = f (x) 圖像同時關于點A (a ,c)和點B (b ,c)成中心對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數，且2 a－b是其一個周期。

　　②若函數y = f (x) 圖像同時關于直線x = a 和直線x = b成軸對稱 （a≠b），則y = f (x)是周期函數，且2 a－b是其一個周期。

　　③若函數y = f (x)圖像既關于點A (a ,c) 成中心對稱又關于直線x =b成軸對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數，且4 a－b是其一個周期。

　　①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：

　　∵函數y = f (x)圖像既關于點A (a ,c) 成中心對稱，

　　∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

　　f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）

　　又∵函數y = f (x)圖像直線x =b成軸對稱，

　　∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：

　　f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

　　f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：

　　f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函數，且4 a－b是其一個周期。

　　二、不同函數對稱性的探究

　　定理4. 函數y = f (x)與y = 2b－f (2a－x)的圖像關于點A (a ,b)成中心對稱。

　　定理5. ①函數y = f (x)與y = f (2a－x)的圖像關于直線x = a成軸對稱。

　　②函數y = f (x)與a－x = f (a－y)的圖像關于直線x +y = a成軸對稱。

　　③函數y = f (x)與x－a = f (y + a)的圖像關于直線x－y = a成軸對稱。

　　定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現證定理5中的③

　　設點P(x0 ,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)。記點P( x ,y)關于直線x－y = a的軸對稱點為P'（x1， y1），則x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴點P'（x1， y1）在函數x－a = f (y + a)的圖像上。

　　同理可證：函數x－a = f (y + a)的圖像上任一點關于直線x－y = a的軸對稱點也在函數y = f (x)的圖像上。故定理5中的③成立。

　　推論：函數y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關于直線x = y 成軸對稱。

　　三、三角函數圖像的對稱性列表

　　注：①上表中k∈Z

　　②y = tan x的所有對稱中心坐標應該是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀高中數學精編第一冊（下）及陳兆鎮主編的廣西師大出版社出版的高一數學新教案（修訂版）中都認為y = tan x的所有對稱中心坐標是( kπ, 0 )，這明顯是錯的。

　　四、函數對稱性應用舉例

　　例1：定義在R上的'非常數函數滿足：f (10+x)為偶函數，且f (5－x) = f (5+x),則f (x)一定是（ ）（第十二屆希望杯高二 第二試題）

　　(A)是偶函數，也是周期函數(B)是偶函數，但不是周期函數

　　(C)是奇函數，也是周期函數(D)是奇函數，但不是周期函數

　　解：∵f (10+x)為偶函數，∴f (10+x) = f (10－x).

　　∴f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數， ∴x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數。

　　故選(A)

　　例2：設定義域為R的函數y = f (x)、y = g(x)都有反函數，并且f(x－1)和g-1(x－2)函數的圖像關于直線y = x對稱，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。

　　（A）1999； （B）20xx； （C）20xx； （D）20xx。

　　解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函數的圖像關于直線y = x對稱，

　　∴y = g-1(x－2) 反函數是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函數是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=20xx

　　故f(4) = 20xx,應選（C）

　　例3.設f(x)是定義在R上的偶函數，且f(1+x)= f(1－x),當－1≤x≤0時，

　　f (x) = － x，則f (8.6 ) = _________ （第八屆希望杯高二 第一試題）

　　解：∵f(x)是定義在R上的偶函數∴x = 0是y = f(x)對稱軸；

　　又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3

　　例4.函數 y = sin (2x + )的圖像的一條對稱軸的方程是（ ）(92全國高考理) (A) x = － (B) x = － (C) x = (D) x =

　　解：函數 y = sin (2x + )的圖像的所有對稱軸的方程是2x + = k +

　　∴x = － ,顯然取k = 1時的對稱軸方程是x = － 故選(A)

　　例5. 設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x+2)= －f(x),當0≤x≤1時，

　　f (x) = x，則f (7.5 ) = （ ）

　　(A) 0.5(B)－0.5(C) 1.5(D) －1.5

　　解：∵y = f (x)是定義在R上的奇函數，∴點（0，0）是其對稱中心；

　　又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直線x = 1是y = f (x) 對稱軸，故y = f (x)是周期為2的周期函數。

　　∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故選(B)

函數知識點14

　　一、定義與定義式：

　　自變量x和因變量y有如下關系：

　　y=kx+b

　　則此時稱y是x的一次函數。

　　特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。

　　即：y=kx（k為常數，k≠0）

　　二、一次函數的性質：

　　1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

　　即：y=kx+b（k為任意不為零的實數b取任何實數）

　　2.當x=0時，b為函數在y軸上的截距。

　　三、一次函數的圖像及性質：

　　1．作法與圖形：通過如下3個步驟

　　（1）列表；

　　（2）描點；

　　（3）連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數圖像與x軸和y軸的交點）

　　2．性質：（1）在一次函數上的任意一點P（x,y），都滿足等式：y=kx+b.（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b），與x軸總是交于（-b/k,0）正比例函數的圖像總是過原點。

　　3．k,b與函數圖像所在象限：

　　當k＞0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；

　　當k＜0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

　　當b＞0時，直線必通過一、二象限；

　　當b=0時，直線通過原點

　　當b＜0時，直線必通過三、四象限。

　　特別地，當b=O時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖像。

　　這時，當k＞0時，直線只通過一、三象限；當k＜0時，直線只通過二、四象限

　　四、確定一次函數的表達式：

　　已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點A、B的一次函數的表達式。

　　（1）設一次函數的表達式（也叫解析式）為y=kx+b.

　　（2）因為在一次函數上的任意一點P（x,y），都滿足等式y=kx+b.所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

　　（3）解這個二元一次方程，得到k,b的'值。

　　（4）最后得到一次函數的表達式。

　　五、一次函數在生活中的應用：

　　1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt.

　　2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S.g=S-ft.

　　六、常用公式：（不全，希望有人補充）

　　1.求函數圖像的k值：（y1-y2）/（x1-x2）

　　2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2

　　3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2

　　4.求任意線段的長：√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2（注：根號下（x1-x2）與（y1-y2）的平方和）

函數知識點15

　　1、二次函數的概念

　　1.二次函數的概念：一般地，形如(是常數，)的函數，叫做二次函數。這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零。二次函數的定義域是全體實數。

　　2.二次函數的結構特征：

　　⑴等號左邊是函數，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數是2。

　　⑵是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項。

　　2、初三數學二次函數的.三種表達式

　　一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)。

　　頂點式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h，k)]。

　　交點式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線]。

　　注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a。

　　3、二次函數的性質

　　1.性質：(1)在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b。(2)一次函數與y軸交點的坐標總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數的圖像總是過原點。

　　2.k，b與函數圖像所在象限：

　　當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;

　　當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

　　當b>0時，直線必通過一、二象限;

　　當b=0時，直線通過原點;

　　當b<0時，直線必通過三、四象限。

　　特別地，當b=O時，直線通過原點O(0，0)表示的是正比例函數的圖像。

　　這時，當k>0時，直線只通過一、三象限;當k<0時，直線只通過二、四象限。

　　4、初三數學二次函數圖像

　　對于一般式：

　　①y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c兩圖像關于y軸對稱。

　　②y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c兩圖像關于x軸對稱。

　　③y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx+c-b2/2a關于頂點對稱。

　　④y=ax2+bx+c與y=-ax2+bx-c關于原點中心對稱。(即繞原點旋轉180度后得到的圖形)

　　對于頂點式：

　　①y=a(x-h)2+k與y=a(x+h)2+k兩圖像關于y軸對稱，即頂點(h,k)和(-h,k)關于y軸對稱，橫坐標相反、縱坐標相同。

　　②y=a(x-h)2+k與y=-a(x-h)2-k兩圖像關于x軸對稱，即頂點(h,k)和(h,-k)關于x軸對稱，橫坐標相同、縱坐標相反。

　　③y=a(x-h)2+k與y=-a(x-h)2+k關于頂點對稱，即頂點(h,k)和(h,k)相同，開口方向相反。

　　④y=a(x-h)2+k與y=-a(x+h)2-k關于原點對稱，即頂點(h,k)和(-h,-k)關于原點對稱，橫坐標、縱坐標都相反。(其實①③④就是對f(x)來說f(-x),-f(x),-f(-x)的情況)

　　數學的學習方法和技巧總結

　　多做

　　主要是指做習題，學數學一定要做習題，并且應該適當地多做些。做習題的目的首先是熟練和鞏固學習的知識;其次是初步啟發靈活應用知識和培養獨立思考的能力;第三是融會貫通，把不同內容的數學知識溝通起來。在做習題時，要認真審題，認真思考，應該用什么方法做?能否有簡便解法?做到邊做邊思考邊總結，通過練習加深對知識的理解。

　　必須要有錯題本

　　說到錯題本不少同學都覺得自己的記憶力好，不需要錯題本就能記住，這是一種“錯覺”，每個人都有這種感覺，等到題目增多，學習內容加深，這時就會發現自己力不從心了。

　　錯題本能夠隨時記錄自己的知識短板，幫助強化知識體系，有助于提升學習效率。有很多學霸都是因為積極使用了錯題本，而考取了高分。

　　數學有理數的概念

　　(1)正整數、0、負整數統稱為整數(0和正整數統稱為自然數)

　　(2)正分數和負分數統稱為分數

　　(3)正整數，0，負整數，正分數，負分數都可以寫成分數的形式，這樣的數稱為有理數。

　　理解：只有能化成分數的數才是有理數。

　　①π是無限不循環小數，不能寫成分數形式，不是有理數。

　　②有限小數和無限循環小數都可化成分數，都是有理數。

　　③整數也能化成分數，也是有理數

　　注意：引入負數以后，奇數和偶數的范圍也擴大了，像—2，—4，—6，—8也是偶數，—1，—3，—5也是奇數。

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