跑道精講奧數家教
行程問題之環形跑道精講
行程問題中包括：火車過橋、流水行船、沿途數車、獵狗追兔、環形行程、多人行程等等。每一類問題都有自己的特點，解決方法也有所不同，但是，行程問題無論怎么變化，都離不開“三個量，三個關系”：
這三個量是： 路程(s)、速度(v)、時間(t)
三個關系：
1. 簡單行程： 路程 = 速度 × 時間
2. 相遇問題： 路程和 = 速度和 × 時間
3. 追擊問題： 路程差 = 速度差 × 時間
環形跑道問題，從同一地點出發，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次。環形跑道:同相向而行的等量關系:乙程-甲程=跑道長,背向而行的等量關系:乙程+甲程=跑道長。
1、有甲、乙、丙三人同時同地出發，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇。問：這個花圃的周長是多少米？
設第一次相遇時用的時間是x，40x+38x=40(x+3)+36(x+3). 行程的`問題由兩個相遇、一個追擊組成.所以花圃周長為（40+38）×114=8892（米）
2、在一個圓形跑道上,甲從A點,乙從B點同時出發反向而行,6分鐘后兩人相遇,再過4分鐘甲到B點,又過8分鐘兩人再次相遇,甲、乙環形一周各需多少分鐘？
解：將全部路程看作單位1，第一次相遇后，再一次相遇，行駛的路程是1，那么相遇時間=4+8=12分鐘，甲乙的速度和=1/12，也就是每分鐘甲乙行駛全程的1/12，6分鐘行駛全程的1/12×6=1/2，也就是說AB的距離是1/2，那么6+4=10分鐘甲到達B，所以甲的速度（1/2）/10=1/20，甲環形一周需要1/（1/20）=20分鐘，乙的速度=1/12-1/20=1/30，乙行駛全程需要1/（1/30）=30分鐘。
4、 繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點同時出發反向而行.小王以4千米/小時速度每走1小時后休息5分鐘；小張以6千米/小時速度每走50分鐘后休息10分鐘.問：兩人出發多少時間第一次相遇？
解：小張的速度是6千米/小時，50分鐘走5千米我們可以把他們出發后時間與行程列出下表：
12＋15＝27比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發后2小時10分至3小時15分之間.出發后2小時10分小張已走了，此時兩人相距24-（8＋11）=5（千米）.由于從此時到相遇已不會再休息，因此共同走完這5千米所需時間是5÷（4＋6）＝0.5（小時）.2小時10分再加上半小時是2小時40分. 答：他們相遇時是出發后2小時40分.
5、甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發，在兩村之間往返行走（到達另一村后就馬上返回）.在出發后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少？
第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時間是40×3÷60（時和分轉化）＝2（小時）. 從圖上可以看出從出發至第二次相遇，小張已走了6×2-2＝10（千米）.小王已走了 6＋2=8（千米）.
他們的速度分別是小張 10÷2＝5（千米/小時），小王 8÷2=4（千米/小時）.
7、如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在A點，小王在B點同時出發反向行走，他們在C點第一次相遇，C離A點80米；在D點第二次相遇，D點離B點6O米.求這個圓的周長
解：第一次相遇，兩人合起來走了半個周長；第二次相遇，兩個人合起來又走了一圈.從出發開始算，兩個人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應該是從A到C距離的3倍，即A到D是 80×3＝240（米）.
240-60=180（米）.
180×2＝360（米）.
答：這個圓的周長是360米.
小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.
（1）小張和小王同時從同一地點出發，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？
（2）小張和小王同時從同一點出發，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？
解：（1 ）75秒=1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的行程.小張的速度是500÷1.25-180=220（米/分）.
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