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2016年蘇州市中考數學試題及答案解析
學習數學就是學習如何運算做題，想要提高數學能力，不可避免地要與試題掛鉤。下面百分網小編為大家帶來一份2016年蘇州市中考的數學試題及答案解析，有需要的同學可以看一看，更多內容歡迎關注應屆畢業生網!
一、選擇題(共10小題，每小題3分，滿分30分)
1. 的倒數是( )
A. B. C. D.
2.肥皂泡的泡壁厚度大約是0.0007mm，0.0007用科學記數法表示為( )
A.0.7×10﹣3B.7×10﹣3C.7×10﹣4D.7×10﹣5
3.下列運算結果正確的是( )
A.a+2b=3ab B.3a2﹣2a2=1
C.a2•a4=a8D.(﹣a2b)3÷(a3b)2=﹣b
4.一次數學測試后，某班40名學生的成績被分為5組，第1～4組的頻數分別為12、10、6、8，則第5組的頻率是( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
5.如圖，直線a∥b，直線l與a、b分別相交于A、B兩點，過點A作直線l的垂線交直線b于點C，若∠1=58°，則∠2的度數為( )
A.58° B.42° C.32° D.28°
6.已知點A(2，y1)、B(4，y2)都在反比例函數y= (k<0)的圖象上，則y1、y2的大小關系為( )
A.y1>y2B.y1
7.根據國家發改委實施“階梯水價”的有關文件要求，某市結合地方實際，決定從2016年1月1日起對居民生活用水按新的“階梯水價”標準收費，某中學研究學習小組的同學們在社會實踐活動中調查了30戶家庭某月的用水量，如表所示：
用水量(噸) 15 20 25 30 35
戶數 3 6 7 9 5
則這30戶家庭該用用水量的眾數和中位數分別是( )
A.25，27 B.25，25 C.30，27 D.30，25
8.如圖，長4m的樓梯AB的傾斜角∠ABD為60°，為了改善樓梯的安全性能，準備重新建造樓梯，使其傾斜角∠ACD為45°，則調整后的樓梯AC的長為( )
A.2 m B.2 m C.(2 ﹣2)m D.(2 ﹣2)m
9.矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點B的坐標為(3，4)，D是OA的中點，點E在AB上，當△CDE的周長最小時，點E的坐標為( )
A.(3，1) B.(3， ) C.(3， ) D.(3，2)
10.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2 ，E、F分別是AD、CD的中點，連接BE、BF、EF.若四邊形ABCD的面積為6，則△BEF的面積為( )
A.2 B. C. D.3
二、填空題(共8小題，每小題3分，滿分24分)
11.分解因式：x2﹣1= .
12.當x= 時，分式 的值為0.
13.要從甲、乙兩名運動員中選出一名參加“2016里約奧運會”100m比賽，對這兩名運動員進行了10次測試，經過數據分析，甲、乙兩名運動員的平均成績均為10.05(s)，甲的方差為0.024(s2)，乙的方差為0.008(s2)，則這10次測試成績比較穩定的是 運動員.(填“甲”或“乙”)
14.某學校計劃購買一批課外讀物，為了了解學生對課外讀物的需求情況，學校進行了一次“我最喜愛的課外讀物”的調查，設置了“文學”、“科普”、“藝術”和“其他”四個類別，規定每人必須并且只能選擇其中一類，現從全體學生的調查表中隨機抽取了部分學生的調查表進行統計，并把統計結果繪制了如圖所示的兩幅不完整的統計圖，則在扇形統計圖中，藝術類讀物所在扇形的圓心角是 度.
15.不等式組 的最大整數解是 .
16.如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點C的切線交AB的延長線于點D，若∠A=∠D，CD=3，則圖中陰影部分的面積為 .
17.如圖，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，點D、E分別在AB、BC上，且BD=BE=4，將△BDE沿DE所在直線折疊得到△B′DE(點B′在四邊形ADEC內)，連接AB′，則AB′的長為 .
18.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A、B的坐標分別為(8，0)、(0，2 )，C是AB的中點，過點C作y軸的垂線，垂足為D，動點P從點D出發，沿DC向點C勻速運動，過點P作x軸的垂線，垂足為E，連接BP、EC.當BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時，點P的坐標為 .
三、解答題(共10小題，滿分76分)
19.計算：( )2+|﹣3|﹣(π+ )0.
20.解不等式2x﹣1> ，并把它的解集在數軸上表示出來.
21.先化簡，再求值： ÷(1﹣ )，其中x= .
22.某停車場的收費標準如下：中型汽車的停車費為12元/輛，小型汽車的停車費為8元/輛，現在停車場共有50輛中、小型汽車，這些車共繳納停車費480元，中、小型汽車各有多少輛?
23.在一個不透明的布袋中裝有三個小球，小球上分別標有數字﹣1、0、2，它們除了數字不同外，其他都完全相同.
(1)隨機地從布袋中摸出一個小球，則摸出的球為標有數字2的小球的概率為 ;
(2)小麗先從布袋中隨機摸出一個小球，記下數字作為平面直角坐標系內點M的橫坐標.再將此球放回、攪勻，然后由小華再從布袋中隨機摸出一個小球，記下數字作為平面直角坐標系內點M的縱坐標，請用樹狀圖或表格列出點M所有可能的坐標，并求出點M落在如圖所示的正方形網格內(包括邊界)的概率.
24.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E.
(1)證明：四邊形ACDE是平行四邊形;
(2)若AC=8，BD=6，求△ADE的周長.
25.如圖，一次函數y=kx+b的圖象與x軸交于點A，與反比例函數y= (x>0)的圖象交于點B(2，n)，過點B作BC⊥x軸于點C，點P(3n﹣4，1)是該反比例函數圖象上的一點，且∠PBC=∠ABC，求反比例函數和一次函數的表達式.
26.如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側的兩點，連接BD并延長至點C，使得CD=BD，連接AC交⊙O于點F，連接AE、DE、DF.
(1)證明：∠E=∠C;
(2)若∠E=55°，求∠BDF的度數;
(3)設DE交AB于點G，若DF=4，cosB= ，E是 的中點，求EG•ED的值.
27.如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，點P從點B出發，沿對角線BD向點D勻速運動，速度為4cm/s，過點P作PQ⊥BD交BC于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點N落在射線PD上，點O從點D出發，沿DC向點C勻速運動，速度為3m/s，以O為圓心，0.8cm為半徑作⊙O，點P與點O同時出發，設它們的運動時間為t(單位：s)(0
(1)如圖1，連接DQ平分∠BDC時，t的值為 ;
(2)如圖2，連接CM，若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形，求t的值;
(3)請你繼續進行探究，并解答下列問題：
①證明：在運動過程中，點O始終在QM所在直線的左側;
②如圖3，在運動過程中，當QM與⊙O相切時，求t的值;并判斷此時PM與⊙O是否也相切?說明理由.
28.如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)經過點B.
(1)求該拋物線的函數表達式;
(2)已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數表達式，并求出S的最大值;
(3)在(2)的條件下，當S取得最大值時，動點M相應的位置記為點M′.
①寫出點M′的坐標;
②將直線l繞點A按順時針方向旋轉得到直線l′，當直線l′與直線AM′重合時停止旋轉，在旋轉過程中，直線l′與線段BM′交于點C，設點B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2，當d1+d2最大時，求直線l′旋轉的角度(即∠BAC的度數).
參考答案與試題解析
一、選擇題(共10小題，每小題3分，滿分30分)
1. 的倒數是( )
A. B. C. D.
【考點】倒數.
【分析】直接根據倒數的定義進行解答即可.
【解答】解：∵ × =1，
∴ 的倒數是 .
故選A.
2.肥皂泡的泡壁厚度大約是0.0007mm，0.0007用科學記數法表示為( )
A.0.7×10﹣3B.7×10﹣3C.7×10﹣4D.7×10﹣5
【考點】科學記數法—表示較小的數.
【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.
【解答】解：0.0007=7×10﹣4，
故選：C.
3.下列運算結果正確的是( )
A.a+2b=3ab B.3a2﹣2a2=1
C.a2•a4=a8D.(﹣a2b)3÷(a3b)2=﹣b
【考點】整式的除法;合并同類項;同底數冪的乘法;冪的乘方與積的乘方.
【分析】分別利用同底數冪的乘法運算法則以及合并同類項法則、積的乘方運算法則分別計算得出答案.
【解答】解：A、a+2b，無法計算，故此選項錯誤;
B、3a2﹣2a2=a2，故此選項錯誤;
C、a2•a4=a6，故此選項錯誤;
D、(﹣a2b)3÷(a3b)2=﹣b，故此選項正確;
故選：D.
4.一次數學測試后，某班40名學生的成績被分為5組，第1～4組的頻數分別為12、10、6、8，則第5組的頻率是( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
【考點】頻數與頻率.
【分析】根據第1～4組的頻數，求出第5組的頻數，即可確定出其頻率.
【解答】解：根據題意得：40﹣(12+10+6+8)=40﹣36=4，
則第5組的頻率為4÷40=0.1，
故選A.
5.如圖，直線a∥b，直線l與a、b分別相交于A、B兩點，過點A作直線l的垂線交直線b于點C，若∠1=58°，則∠2的度數為( )
A.58° B.42° C.32° D.28°
【考點】平行線的性質.
【分析】根據平行線的性質得出∠ACB=∠2，根據三角形內角和定理求出即可.
【解答】解：∵直線a∥b，
∴∠ACB=∠2，
∵AC⊥BA，
∴∠BAC=90°，
∴∠2=ACB=180°﹣∠1﹣∠BAC=180°﹣90°﹣58°=32°，
故選C.
6.已知點A(2，y1)、B(4，y2)都在反比例函數y= (k<0)的圖象上，則y1、y2的大小關系為( )
A.y1>y2B.y1
【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征.
【分析】直接利用反比例函數的增減性分析得出答案.
【解答】解：∵點A(2，y1)、B(4，y2)都在反比例函數y= (k<0)的圖象上，
∴每個象限內，y隨x的增大而增大，
∴y1
故選：B.
7.根據國家發改委實施“階梯水價”的有關文件要求，某市結合地方實際，決定從2016年1月1日起對居民生活用水按新的“階梯水價”標準收費，某中學研究學習小組的同學們在社會實踐活動中調查了30戶家庭某月的用水量，如表所示：
用水量(噸) 15 20 25 30 35
戶數 3 6 7 9 5
則這30戶家庭該用用水量的眾數和中位數分別是( )
A.25，27 B.25，25 C.30，27 D.30，25
【考點】眾數;中位數.
【分析】根據眾數、中位數的定義即可解決問題.
【解答】解：因為30出現了9次，
所以30是這組數據的眾數，
將這30個數據從小到大排列，第15、16個數據的平均數就是中位數，所以中位數是25，
故選D.
8.如圖，長4m的樓梯AB的傾斜角∠ABD為60°，為了改善樓梯的安全性能，準備重新建造樓梯，使其傾斜角∠ACD為45°，則調整后的樓梯AC的長為( )
A.2 m B.2 m C.(2 ﹣2)m D.(2 ﹣2)m
【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.
【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定義計算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定義計算AC即可.
【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD= ，
∴AD=4sin60°=2 (m)，
在Rt△ACD中，∵sin∠ACD= ，
∴AC= =2 (m).
故選B.
9.矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點B的坐標為(3，4)，D是OA的中點，點E在AB上，當△CDE的周長最小時，點E的坐標為( )
A.(3，1) B.(3， ) C.(3， ) D.(3，2)
【考點】矩形的性質;坐標與圖形性質;軸對稱-最短路線問題.
【分析】如圖，作點D關于直線AB的對稱點H，連接CH與AB的交點為E，此時△CDE的周長最小，先求出直線CH解析式，再求出直線CH與AB的交點即可解決問題.
【解答】解：如圖，作點D關于直線AB的對稱點H，連接CH與AB的交點為E，此時△CDE的周長最小.
∵D( ，0)，A(3，0)，
∴H( ，0)，
∴直線CH解析式為y=﹣ x+4，
∴x=3時，y= ，
∴點E坐標(3， )
故選：B.
10.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2 ，E、F分別是AD、CD的中點，連接BE、BF、EF.若四邊形ABCD的面積為6，則△BEF的面積為( )
A.2 B. C. D.3
【考點】三角形的面積.
【分析】連接AC，過B作EF的垂線，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面積，可得BG和△ADC的面積，三角形ABC與三角形ACD同底，利用面積比可得它們高的比，而GH又是△ACD以AC為底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位線的性質可得EF的長，利用三角形的面積公式可得結果.
【解答】解：連接AC，過B作EF的垂線交AC于點G，交EF于點H，
∵∠ABC=90°，AB=BC=2 ，
∴AC= = =4，
∵△ABC為等腰三角形，BH⊥AC，
∴△ABG，△BCG為等腰直角三角形，
∴AG=BG=2
∵S△ABC= •AB•AC= ×2 ×2 =4，
∴S△ADC=2，
∵ =2，
∴GH= BG= ，
∴BH= ，
又∵EF= AC=2，
∴S△BEF= •EF•BH= ×2× = ，
故選C.
更多中考數學試題分享：
二、填空題(共8小題，每小題3分，滿分24分)
11.分解因式：x2﹣1= (x+1)(x﹣1) .
【考點】因式分解-運用公式法.
【分析】利用平方差公式分解即可求得答案.
【解答】解：x2﹣1=(x+1)(x﹣1).
故答案為：(x+1)(x﹣1).
12.當x= 2 時，分式 的值為0.
【考點】分式的值為零的條件.
【分析】直接利用分式的值為0，則分子為0，進而求出答案.
【解答】解：∵分式 的值為0，
∴x﹣2=0，
解得：x=2.
故答案為：2.
13.要從甲、乙兩名運動員中選出一名參加“2016里約奧運會”100m比賽，對這兩名運動員進行了10次測試，經過數據分析，甲、乙兩名運動員的平均成績均為10.05(s)，甲的方差為0.024(s2)，乙的方差為0.008(s2)，則這10次測試成績比較穩定的是 乙 運動員.(填“甲”或“乙”)
【考點】方差.
【分析】根據方差的定義，方差越小數據越穩定.
【解答】解：因為S甲2=0.024>S乙2=0.008，方差小的為乙，
所以本題中成績比較穩定的是乙.
故答案為乙.
14.某學校計劃購買一批課外讀物，為了了解學生對課外讀物的需求情況，學校進行了一次“我最喜愛的課外讀物”的調查，設置了“文學”、“科普”、“藝術”和“其他”四個類別，規定每人必須并且只能選擇其中一類，現從全體學生的調查表中隨機抽取了部分學生的調查表進行統計，并把統計結果繪制了如圖所示的兩幅不完整的統計圖，則在扇形統計圖中，藝術類讀物所在扇形的圓心角是 72 度.
【考點】條形統計圖;扇形統計圖.
【分析】根據文學類人數和所占百分比，求出總人數，然后用總人數乘以藝術類讀物所占的百分比即可得出答案.
【解答】解：根據條形圖得出文學類人數為90，利用扇形圖得出文學類所占百分比為：30%，
則本次調查中，一共調查了：90÷30%=300(人)，
則藝術類讀物所在扇形的圓心角是的圓心角是360°× =72°;
故答案為：72.
15.不等式組 的最大整數解是 3 .
【考點】一元一次不等式組的整數解.
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集，最后求其整數解即可.
【解答】解：解不等式x+2>1，得：x>﹣1，
解不等式2x﹣1≤8﹣x，得：x≤3，
則不等式組的解集為：﹣1
則不等式組的最大整數解為3，
故答案為：3.
16.如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點C的切線交AB的延長線于點D，若∠A=∠D，CD=3，則圖中陰影部分的面積為 .
【考點】切線的性質;圓周角定理;扇形面積的計算.
【分析】連接OC，可求得△OCD和扇形OCB的面積，進而可求出圖中陰影部分的面積.
【解答】解：連接OC，
∵過點C的切線交AB的延長線于點D，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
即∠D+∠COD=90°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=2∠A，
∵∠A=∠D，
∴∠COD=2∠D，
∴3∠D=90°，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°
∵CD=3，
∴OC=3× = ，
∴陰影部分的'面積= ×3× ﹣ = ，
故答案為： .
17.如圖，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，點D、E分別在AB、BC上，且BD=BE=4，將△BDE沿DE所在直線折疊得到△B′DE(點B′在四邊形ADEC內)，連接AB′，則AB′的長為 2 .
【考點】翻折變換(折疊問題).
【分析】作DF⊥B′E于點F，作B′G⊥AD于點G，首先根據有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形判定△BDE是邊長為4的等邊三角形，從而根據翻折的性質得到△B′DE也是邊長為4的等邊三角形，從而GD=B′F=2，然后根據勾股定理得到B′G=2 ，然后再次利用勾股定理求得答案即可.
【解答】解：如圖，作DF⊥B′E于點F，作B′G⊥AD于點G，
∵∠B=60°，BE=BD=4，
∴△BDE是邊長為4的等邊三角形，
∵將△BDE沿DE所在直線折疊得到△B′DE，
∴△B′DE也是邊長為4的等邊三角形，
∴GD=B′F=2，
∵B′D=4，
∴B′G= = =2 ，
∵AB=10，
∴AG=10﹣6=4，
∴AB′= = =2 .
故答案為：2 .
18.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A、B的坐標分別為(8，0)、(0，2 )，C是AB的中點，過點C作y軸的垂線，垂足為D，動點P從點D出發，沿DC向點C勻速運動，過點P作x軸的垂線，垂足為E，連接BP、EC.當BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時，點P的坐標為 (1， ) .
【考點】坐標與圖形性質;平行線分線段成比例;相似三角形的判定與性質.
【分析】先根據題意求得CD和PE的長，再判定△EPC∽△PDB，列出相關的比例式，求得DP的長，最后根據PE、DP的長得到點P的坐標.
【解答】解：∵點A、B的坐標分別為(8，0)，(0，2 )
∴BO= ，AO=8
由CD⊥BO，C是AB的中點，可得BD=DO= BO= =PE，CD= AO=4
設DP=a，則CP=4﹣a
當BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時，∠FCP=∠DBP
又∵EP⊥CP，PD⊥BD
∴∠EPC=∠PDB=90°
∴△EPC∽△PDB
∴ ，即
解得a1=1，a2=3(舍去)
∴DP=1
又∵PE=
∴P(1， )
故答案為：(1， )
三、解答題(共10小題，滿分76分)
19.計算：( )2+|﹣3|﹣(π+ )0.
【考點】實數的運算;零指數冪.
【分析】直接利用二次根式的性質以及結合絕對值、零指數冪的性質分析得出答案.
【解答】解：原式=5+3﹣1
=7.
20.解不等式2x﹣1> ，并把它的解集在數軸上表示出來.
【考點】解一元一次不等式;在數軸上表示不等式的解集.
【分析】根據分式的基本性質去分母、去括號、移項可得不等式的解集，再根據“大于向右，小于向左，包括端點用實心，不包括端點用空心”的原則在數軸上將解集表示出來.
【解答】解：去分母，得：4x﹣2>3x﹣1，
移項，得：4x﹣3x>2﹣1，
合并同類項，得：x>1，
將不等式解集表示在數軸上如圖：
21.先化簡，再求值： ÷(1﹣ )，其中x= .
【考點】分式的化簡求值.
【分析】先括號內通分，然后計算除法，最后代入化簡即可.
【解答】解：原式= ÷
= •
= ，
當x= 時，原式= = .
22.某停車場的收費標準如下：中型汽車的停車費為12元/輛，小型汽車的停車費為8元/輛，現在停車場共有50輛中、小型汽車，這些車共繳納停車費480元，中、小型汽車各有多少輛?
【考點】二元一次方程組的應用.
【分析】先設中型車有x輛，小型車有y輛，再根據題中兩個等量關系，列出二元一次方程組進行求解.
【解答】解：設中型車有x輛，小型車有y輛，根據題意，得
解得
答：中型車有20輛，小型車有30輛.
23.在一個不透明的布袋中裝有三個小球，小球上分別標有數字﹣1、0、2，它們除了數字不同外，其他都完全相同.
(1)隨機地從布袋中摸出一個小球，則摸出的球為標有數字2的小球的概率為 ;
(2)小麗先從布袋中隨機摸出一個小球，記下數字作為平面直角坐標系內點M的橫坐標.再將此球放回、攪勻，然后由小華再從布袋中隨機摸出一個小球，記下數字作為平面直角坐標系內點M的縱坐標，請用樹狀圖或表格列出點M所有可能的坐標，并求出點M落在如圖所示的正方形網格內(包括邊界)的概率.
【考點】列表法與樹狀圖法;坐標與圖形性質;概率公式.
【分析】(1)直接利用概率公式求解;
(2)先畫樹狀圖展示所有9種等可能的結果數，再找出點M落在如圖所示的正方形網格內(包括邊界)的結果數，然后根據概率公式求解.
【解答】解：(1)隨機地從布袋中摸出一個小球，則摸出的球為標有數字2的小球的概率= ;
故答案為 ;
(2)畫樹狀圖為：
共有9種等可能的結果數，其中點M落在如圖所示的正方形網格內(包括邊界)的結果數為6，
所以點M落在如圖所示的正方形網格內(包括邊界)的概率= = .
24.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E.
(1)證明：四邊形ACDE是平行四邊形;
(2)若AC=8，BD=6，求△ADE的周長.
【考點】菱形的性質;平行四邊形的判定與性質.
【分析】(1)根據平行四邊形的判定證明即可;
(2)利用平行四邊形的性質得出平行四邊形的周長即可.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB=90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，
∴∠AOB=∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四邊形ACDE是平行四邊形;
(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，
∵四邊形ACDE是平行四邊形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8，
∴△ADE的周長為AD+AE+DE=5+5+8=18.
25.如圖，一次函數y=kx+b的圖象與x軸交于點A，與反比例函數y= (x>0)的圖象交于點B(2，n)，過點B作BC⊥x軸于點C，點P(3n﹣4，1)是該反比例函數圖象上的一點，且∠PBC=∠ABC，求反比例函數和一次函數的表達式.
【考點】反比例函數與一次函數的交點問題.
【分析】將點B(2，n)、P(3n﹣4，1)代入反比例函數的解析式可求得m、n的值，從而求得反比例函數的解析式以及點B和點P的坐標，過點P作PD⊥BC，垂足為D，并延長交AB與點P′.接下來證明△BDP≌△BDP′，從而得到點P′的坐標，最后將點P′和點B的坐標代入一次函數的解析式即可求得一次函數的表達式.
【解答】解：∵點B(2，n)、P(3n﹣4，1)在反比例函數y= (x>0)的圖象上，
∴ .
解得：m=8，n=4.
∴反比例函數的表達式為y= .
∵m=8，n=4，
∴點B(2，4)，(8，1).
過點P作PD⊥BC，垂足為D，并延長交AB與點P′.
在△BDP和△BDP′中，
∴△BDP≌△BDP′.
∴DP′=DP=6.
∴點P′(﹣4，1).
將點P′(﹣4，1)，B(2，4)代入直線的解析式得： ，
解得： .
∴一次函數的表達式為y= x+3.
26.如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側的兩點，連接BD并延長至點C，使得CD=BD，連接AC交⊙O于點F，連接AE、DE、DF.
(1)證明：∠E=∠C;
(2)若∠E=55°，求∠BDF的度數;
(3)設DE交AB于點G，若DF=4，cosB= ，E是 的中點，求EG•ED的值.
【考點】圓的綜合題.
【分析】(1)直接利用圓周角定理得出AD⊥BC，勁兒利用線段垂直平分線的性質得出AB=AC，即可得出∠E=∠C;
(2)利用圓內接四邊形的性質得出∠AFD=180°﹣∠E，進而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案;
(3)根據cosB= ，得出AB的長，再求出AE的長，進而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可.
【解答】(1)證明：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C;
(2)解：∵四邊形AEDF是⊙O的內接四邊形，
∴∠AFD=180°﹣∠E，
又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，
∴∠CFD=∠E=55°，
又∵∠E=∠C=55°，
∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°;
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(3)解：連接OE，
∵∠CFD=∠E=∠C，
∴FD=CD=BD=4，
在Rt△ABD中，cosB= ，BD=4，
∴AB=6，
∵E是 的中點，AB是⊙O的直徑，
∴∠AOE=90°，
∵AO=OE=3，
∴AE=3 ，
∵E是 的中點，
∴∠ADE=∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴ = ，
即EG•ED=AE2=18.
27.如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，點P從點B出發，沿對角線BD向點D勻速運動，速度為4cm/s，過點P作PQ⊥BD交BC于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點N落在射線PD上，點O從點D出發，沿DC向點C勻速運動，速度為3m/s，以O為圓心，0.8cm為半徑作⊙O，點P與點O同時出發，設它們的運動時間為t(單位：s)(0
(1)如圖1，連接DQ平分∠BDC時，t的值為 ;
(2)如圖2，連接CM，若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形，求t的值;
(3)請你繼續進行探究，并解答下列問題：
①證明：在運動過程中，點O始終在QM所在直線的左側;
②如圖3，在運動過程中，當QM與⊙O相切時，求t的值;并判斷此時PM與⊙O是否也相切?說明理由.
【考點】圓的綜合題.
【分析】(1)先利用△PBQ∽△CBD求出PQ、BQ，再根據角平分線性質，列出方程解決問題.
(2)由△QTM∽△BCD，得 = 列出方程即可解決.
(3)①如圖2中，由此QM交CD于E，求出DE、DO利用差值比較即可解決問題.
②如圖3中，由①可知⊙O只有在左側與直線QM相切于點H，QM與CD交于點E.由△OHE∽△BCD，得 = ，列出方程即可解決問題.利用反證法證明直線PM不可能由⊙O相切.
【解答】(1)解：如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6.AD=BC=8，
∴BD= = =10，
∵PQ⊥BD，
∴∠BPQ=90°=∠C，
∵∠PBQ=∠DBC，
∴△PBQ∽△CBD，
∴ = = ，
∴ = = ，
∴PQ=3t，BQ=5t，
∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，
∴QP=QC，
∴3t=6﹣5t，
∴t= ，
故答案為 .
(2)解：如圖2中，作MT⊥BC于T.
∵MC=MQ，MT⊥CQ，
∴TC=TQ，
由(1)可知TQ= (8﹣5t)，QM=3t，
∵MQ∥BD，
∴∠MQT=∠DBC，
∵∠MTQ=∠BCD=90°，
∴△QTM∽△BCD，
∴ = ，
∴ = ，
∴t= (s)，
∴t= s時，△CMQ是以CQ為底的等腰三角形.
(3)①證明：如圖2中，由此QM交CD于E，
∵EQ∥BD，
∴ = ，
∴EC= (8﹣5t)，ED=DC﹣EC=6﹣ (8﹣5t)= t，
∵DO=3t，
∴DE﹣DO= t﹣3t= t>0，
∴點O在直線QM左側.
②解：如圖3中，由①可知⊙O只有在左側與直線QM相切于點H，QM與CD交于點E.
∵EC= (8﹣5t)，DO=3t，
∴OE=6﹣3t﹣ (8﹣5t)= t，
∵OH⊥MQ，
∴∠OHE=90°，
∵∠HEO=∠CEQ，
∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，
∵∠OHE=∠C=90°，
∴△OHE∽△BCD，
∴ = ，
∴ = ，
∴t= .
∴t= s時，⊙O與直線QM相切.
連接PM，假設PM與⊙O相切，則∠OMH= PMQ=22.5°，
在MH上取一點F，使得MF=FO，則∠FMO=∠FOM=22.5°，
∴∠OFH=∠FOH=45°，
∴OH=FH=0.8，FO=FM=0.8 ，
∴MH=0.8( +1)，
由 = 得到HE= ，
由 = 得到EQ= ，
∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣ ﹣ = ，
∴0.8( +1)≠ ，矛盾，
∴假設不成立.
∴直線MQ與⊙O不相切.
28.如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)經過點B.
(1)求該拋物線的函數表達式;
(2)已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數表達式，并求出S的最大值;
(3)在(2)的條件下，當S取得最大值時，動點M相應的位置記為點M′.
①寫出點M′的'坐標;
②將直線l繞點A按順時針方向旋轉得到直線l′，當直線l′與直線AM′重合時停止旋轉，在旋轉過程中，直線l′與線段BM′交于點C，設點B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2，當d1+d2最大時，求直線l′旋轉的角度(即∠BAC的度數).
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)利用直線l的解析式求出B點坐標，再把B點坐標代入二次函數解析式即可求出a的值;
(2)過點M作ME⊥y軸于點E，交AB于點D，所以△ABM的面積為 DM•OB，設M的坐標為(m，﹣m2+2m+3)，用含m的式子表示DM，然后求出S與m的函數關系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范圍是0
(3)①由(2)可知m= ，代入二次函數解析式即可求出縱坐標的值;
②過點M′作直線l1∥l′，過點B作BF⊥l1于點F，所以d1+d2=BF，所以求出BF的最小值即可，由題意可知，點F在以BM′為直徑的圓上，所以當點F與M′重合時，BF可取得最大值.
【解答】解：(1)令x=0代入y=﹣3x+3，
∴y=3，
∴B(0，3)，
把B(0，3)代入y=ax2﹣2ax+a+4，
∴3=a+4，
∴a=﹣1，
∴二次函數解析式為：y=﹣x2+2x+3;
(2)令y=0代入y=﹣x2+2x+3，
∴0=﹣x2+2x+3，
∴x=﹣1或3，
∴拋物線與x軸的交點橫坐標為﹣1和3，
∵M在拋物線上，且在第一象限內，
∴0
過點M作ME⊥y軸于點E，交AB于點D，
由題意知：M的坐標為(m，﹣m2+2m+3)，
∴D的縱坐標為：﹣m2+2m+3，
∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，
∴x= ，
∴D的坐標為( ，﹣m2+2m+3)，
∴DM=m﹣ = ，
∴S= DM•BE+ DM•OE
= DM(BE+OE)
= DM•OB
= × ×3
=
= (m﹣ )2+
∵0
∴當m= 時，
S有最大值，最大值為 ;
(3)①由(2)可知：M′的坐標為( ， );
②過點M′作直線l1∥l′，過點B作BF⊥l1于點F，
根據題意知：d1+d2=BF，
此時只要求出BF的最大值即可，
∵∠BFM′=90°，
∴點F在以BM′為直徑的圓上，
設直線AM′與該圓相交于點H，
∵點C在線段BM′上，
∴F在優弧 上，
∴當F與M′重合時，
BF可取得最大值，
此時BM′⊥l1，
∵A(1，0)，B(0，3)，M′( ， )，
∴由勾股定理可求得：AB= ，M′B= ，M′A= ，
過點M′作M′G⊥AB于點G，
設BG=x，
∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，
∴ ﹣( ﹣x)2= ﹣x2，
∴x= ，
cos∠M′BG= = ，
∵l1∥l′，
∴∠BCA=90°，
∠BAC=45°
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