2016年南寧市中考數學試題及答案

　　中考，就是初中升高中的考試，是建立在九年義務教育基礎上的選拔。下面百分網小編為大帶來一份2016年南寧市中考數學試題，文末有答案，希望能對大家有幫助，更多內容歡迎關注應屆畢業生網!

　　一、選擇題(本大題共12小題，每小題3分，共36分)

　　1.﹣2的相反數是(　　)

　　A.﹣2 B.0 C.2 D.4

　　2.把一個正六棱柱如圖1擺放，光線由上向下照射此正六棱柱時的正投影是(　　)

　　A. B. C. D.

　　3.據《南國早報》報道：2016年廣西高考報名人數約為332000人，創歷史新高，其中數據332000用科學記數法表示為(　　)

　　A.0.332×106B.3.32×105C.3.32×104D.33.2×104

　　4.已知正比例函數y=3x的圖象經過點(1，m)，則m的值為(　　)

　　A. B.3 C.﹣ D.﹣3

　　5.某校規定學生的學期數學成績滿分為100分，其中研究性學習成績占40%，期末卷面成績占60%，小明的兩項成績(百分制)依次是80分，90分，則小明這學期的數學成績是(　　)

　　A.80分 B.82分 C.84分 D.86分

　　6.如圖，廠房屋頂人字形(等腰三角形)鋼架的跨度BC=10米，∠B=36°，則中柱AD(D為底邊中點)的長是(　　)

　　A.5sin36°米 B.5cos36°米 C.5tan36°米 D.10tan36°米

　　7.下列運算正確的是(　　)

　　A.a2﹣a=a B.ax+ay=axy C.m2•m4=m6D.(y3)2=y5

　　8.下列各曲線中表示y是x的函數的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　9.如圖，點A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，∠DCE=40°，則∠P的度數為(　　)

　　A.140° B.70° C.60° D.40°

　　10.超市店慶促銷，某種書包原價每個x元，第一次降價打“八折”，第二次降價每個又減10元，經兩次降價后售價為90元，則得到方程(　　)

　　A.0.8x﹣10=90 B.0.08x﹣10=90 C.90﹣0.8x=10 D.x﹣0.8x﹣10=90

　　11.有3個正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S1，S2，則S1：S2等于(　　)

　　A.1： B.1：2 C.2：3 D.4：9

　　12.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函數y= x的圖象如圖所示，則方程ax2+(b﹣ )x+c=0(a≠0)的兩根之和(　　)

　　A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能確定

　　二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

　　13.若二次根式 有意義，則x的取值范圍是　　　　　　.

　　14.如圖，平行線AB，CD被直線AE所截，∠1=50°，則∠A=　　　　　　.

　　15.分解因式：a2﹣9=　　　　　　.

　　16.如圖，在4×4正方形網格中，有3個小正方形已經涂黑，若再涂黑任意一個白色的小正方形(2016•南寧)如圖所示，反比例函數y= (k≠0，x>0)的圖象經過矩形OABC的對角線AC的中點D.若矩形OABC的面積為8，則k的值為　　　　　　.

　　18.觀察下列等式：

　　在上述數字寶塔中，從上往下數，2016在第　　　　　　層.

　　三、解答題(本大題共8小題，共66分)

　　19.計算：|﹣2|+4cos30°﹣( )﹣3+ .

　　20.解不等式組 ，并把解集在數軸上表示出來.

　　21.如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A(2，2)，B(4，0)，C(4，﹣4)

　　(1)請畫出△ABC向左平移6個單位長度后得到的△A1B1C1;

　　(2)以點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的 ，得到△A2B2C2，請在y軸右側畫出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值.

　　22.在圖“書香八桂，閱讀圓夢”讀數活動中，某中學設置了書法、國學、誦讀、演講、征文四個比賽項目(2016•南寧)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB為半徑的圓經過點D，交BC于點E.

　　(1)求證：AC是⊙O的切線;

　　(2)若OB=10，CD=8，求BE的長.

　　24.在南寧市地鐵1號線某段工程建設中，甲隊單獨完成這項工程需要150天，甲隊單獨施工30天后增加乙隊，兩隊又共同工作了15天，共完成總工程的 .

　　(1)求乙隊單獨完成這項工程需要多少天?

　　(2)為了加快工程進度，甲、乙兩隊各自提高工作效率，提高后乙隊的工作效率是 ，甲隊的工作效率是乙隊的m倍(1≤m≤2)，若兩隊合作40天完成剩余的工程，請寫出a關于m的函數關系式，并求出乙隊的最大工作效率是原來的幾倍?

　　25.已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點E，F，且∠EAF=60°.

　　(1)如圖1，當點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數量關系;

　　(2)如圖2，當點E是線段CB上任意一點時(點E不與B、C重合)，求證：BE=CF;

　　(3)如圖3，當點E在線段CB的延長線上，且∠EAB=15°時，求點F到BC的距離.

　　26.如圖，已知拋物線經過原點O，頂點為A(1，1)，且與直線y=x﹣2交于B，C兩點.

　　(1)求拋物線的解析式及點C的坐標;

　　(2)求證：△ABC是直角三角形;

　　(3)若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O，M，N為頂點的三角形與△ABC相似?若存在，請求出點N的坐標;若不存在，請說明理由.

 

　　參考答案與試題解析

　　一、選擇題(本大題共12小題，每小題3分，共36分)

　　1.﹣2的相反數是(　　)

　　A.﹣2 B.0 C.2 D.4

　　【考點】相反數.

　　【分析】根據只有符號不同的兩個數叫做互為相反數解答.

　　【解答】解：﹣2的相反數是2.

　　故選C.

　　【點評】本題考查了相反數的定義，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵.

　　2.把一個正六棱柱如圖1擺放，光線由上向下照射此正六棱柱時的正投影是(　　)

　　A. B. C. D.

　　【考點】平行投影.

　　【分析】根據平行投影特點以及圖中正六棱柱的擺放位置即可求解.

　　【解答】解：把一個正六棱柱如圖擺放，光線由上向下照射此正六棱柱時的正投影是正六邊形.

　　故選A.

　　【點評】本題考查了平行投影特點，不同位置，不同時間，影子的大小、形狀可能不同，具體形狀應按照物體的外形即光線情況而定.

　　3.據《南國早報》報道：2016年廣西高考報名人數約為332000人，創歷史新高，其中數據332000用科學記數法表示為(　　)

　　A.0.332×106B.3.32×105C.3.32×104D.33.2×104

　　【考點】科學記數法—表示較大的數.

　　【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>1時，n是正數;當原數的絕對值<1時，n是負數.

　　【解答】解：將332000用科學記數法表示為：3.32×105.

　　故選：B.

　　【點評】此題考查了科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

　　4.已知正比例函數y=3x的圖象經過點(1，m)，則m的值為(　　)

　　A. B.3 C.﹣ D.﹣3

　　【考點】一次函數圖象上點的坐標特征.

　　【分析】本題較為簡單，把坐標代入解析式即可求出m的值.

　　【解答】解：把點(1，m)代入y=3x，可得：m=3，

　　故選B

　　【點評】此題考查一次函數的問題，利用待定系數法直接代入求出未知系數m，比較簡單.

　　5.某校規定學生的學期數學成績滿分為100分，其中研究性學習成績占40%，期末卷面成績占60%，小明的兩項成績(百分制)依次是80分，90分，則小明這學期的數學成績是(　　)

　　A.80分 B.82分 C.84分 D.86分

　　【考點】加權平均數.

　　【分析】利用加權平均數的公式直接計算即可得出答案.

　　【解答】解：

　　由加權平均數的公式可知 = = =86，

　　故選D.

　　【點評】本題主要考查加權平均數的計算，掌握加權平均數的公式 = 是解題的關鍵.

　　6.如圖，廠房屋頂人字形(等腰三角形)鋼架的跨度BC=10米，∠B=36°，則中柱AD(D為底邊中點)的長是(　　)

　　A.5sin36°米 B.5cos36°米 C.5tan36°米 D.10tan36°米

　　【考點】解直角三角形的應用.

　　【分析】根據等腰三角形的性質得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切進行計算即可得到AD的長度.

　　【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，

　　∴DC=BD=5米，

　　在Rt△ADC中，∠B=36°，

　　∴tan36°= ，即AD=BD•tan36°=5tan36°(米).

　　故選：C.

　　【點評】本題考查了解直角三角形的應用.解決此問題的關鍵在于正確理解題意的基礎上建立數學模型，把實際問題轉化為數學問題.

　　7.下列運算正確的是(　　)

　　A.a2﹣a=a B.ax+ay=axy C.m2•m4=m6D.(y3)2=y5

　　【考點】冪的乘方與積的乘方;合并同類項;同底數冪的乘法.

　　【分析】結合選項分別進行冪的乘方與積的乘方、合并同類項、同底數冪的乘法等運算，然后選擇正確答案.

　　【解答】解：A、a2和a不是同類項，不能合并，故本選項錯誤;

　　B、ax和ay不是同類項，不能合并，故本選項錯誤;

　　C、m2•m4=m6，計算正確，故本選項正確;

　　D、(y3)2=y6≠y5，故本選項錯誤.

　　故選C.

　　【點評】本題考查了冪的乘方與積的乘方、合并同類項、同底數冪的乘法的知識，解答本題的關鍵在于掌握各知識點的運算法則.

　　8.下列各曲線中表示y是x的函數的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　【考點】函數的概念.

　　【分析】根據函數的意義求解即可求出答案.

　　【解答】解：根據函數的意義可知：對于自變量x的任何值，y都有唯一的值與之相對應，故D正確.

　　故選D.

　　【點評】主要考查了函數的定義.注意函數的意義反映在圖象上簡單的判斷方法是：做垂直x軸的直線在左右平移的過程中與函數圖象只會有一個交點.

　　9.如圖，點A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，∠DCE=40°，則∠P的度數為(　　)

　　A.140° B.70° C.60° D.40°

　　【考點】圓周角定理.

　　【分析】先根據四邊形內角和定理求出∠DOE的度數，再由圓周角定理即可得出結論.

　　【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，∠DCE=40°，

　　∴∠DOE=180°﹣40°=140°，

　　∴∠P= ∠DOE=70°.

　　故選B.

　　【點評】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關鍵.

　　10.超市店慶促銷，某種書包原價每個x元，第一次降價打“八折”，第二次降價每個又減10元，經兩次降價后售價為90元，則得到方程(　　)

　　A.0.8x﹣10=90 B.0.08x﹣10=90 C.90﹣0.8x=10 D.x﹣0.8x﹣10=90

　　【考點】由實際問題抽象出一元一次方程.

　　【分析】設某種書包原價每個x元，根據題意列出方程解答即可.

　　【解答】解：設某種書包原價每個x元，可得：0.8x﹣10=90，

　　故選A

　　【點評】本題考查一元一次方程，解題的關鍵是明確題意，能列出每次降價后的售價.

　　11.有3個正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S1，S2，則S1：S2等于(　　)

　　A.1： B.1：2 C.2：3 D.4：9

　　【考點】正方形的性質.

　　【分析】設小正方形的邊長為x，再根據相似的性質求出S1、S2與正方形面積的關系，然后進行計算即可得出答案.

　　【解答】解：設小正方形的邊長為x，根據圖形可得：

　　∵ = ，

　　∴ = ，

　　∴ = ，

　　∴S1= S正方形ABCD，

　　∴S1= x2，

　　∵ = ，

　　∴ = ，

　　∴S2= S正方形ABCD，

　　∴S2= x2，

　　∴S1：S2= x2： x2=4：9;

　　故選D.

　　【點評】此題考查了正方形的性質，用到的知識點是正方形的性質、相似三角形的性質、正方形的面積公式，關鍵是根據題意求出S1、S2與正方形面積的關系.

　　12.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函數y= x的圖象如圖所示，則方程ax2+(b﹣ )x+c=0(a≠0)的兩根之和(　　)

　　A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能確定

　　【考點】拋物線與x軸的交點.

　　【分析】設ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1，x2，由二次函數的圖象可知x1+x2>0，a>0，設方程ax2+(b﹣ )x+c=0(a≠0)的兩根為a，b再根據根與系數的關系即可得出結論.

　　【解答】解：設ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1，x2，

　　∵由二次函數的圖象可知x1+x2>0，a>0，

　　∴﹣ >0.

　　設方程ax2+(b﹣ )x+c=0(a≠0)的兩根為a，b，則a+b=﹣ =﹣ + ，

　　∵a>0，

　　∴ >0，

　　∴a+b>0.

　　故選C.

　　【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，熟知拋物線與x軸的交點與一元二次方程根的關系是解答此題的關鍵.

　　二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

　　13.若二次根式 有意義，則x的取值范圍是　x≥1　.

　　【考點】二次根式有意義的條件.

　　【分析】根據二次根式的性質可知，被開方數大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范圍.

　　【解答】解：根據二次根式有意義的條件，x﹣1≥0，

　　∴x≥1.

　　故答案為：x≥1.

　　【點評】此題考查了二次根式有意義的條件，只要保證被開方數為非負數即可.

　　14.如圖，平行線AB，CD被直線AE所截，∠1=50°，則∠A=　50°　.

　　【考點】平行線的性質.

　　【分析】根據兩直線平行，同位角相等可得∠1=∠A.

　　【解答】解：∵AB∥CD，

　　∴∠A=∠1，

　　∵∠1=50°，

　　∴∠A=50°，

　　故答案為50°.

　　【點評】本題主要考查了平行線的性質，解題的關鍵是掌握兩直線平行，同位角相等.

　　15.分解因式：a2﹣9=　(a+3)(a﹣3)　.

　　【考點】因式分解-運用公式法.

　　【分析】直接利用平方差公式分解因式進而得出答案.

　　【解答】解：a2﹣9=(a+3)(a﹣3).

　　故答案為：(a+3)(a﹣3).

　　【點評】此題主要考查了公式法分解因式，熟練應用平方差公式是解題關鍵.

　　16.如圖，在4×4正方形網格中，有3個小正方形已經涂黑，若再涂黑任意一個白色的小正方形(2016•南寧)如圖所示，反比例函數y= (k≠0，x>0)的圖象經過矩形OABC的對角線AC的中點D.若矩形OABC的面積為8，則k的值為　2　.

　　【考點】反比例函數系數k的幾何意義.

　　【分析】過D作DE⊥OA于E，設D(m， )，于是得到OA=2m，OC= ，根據矩形的面積列方程即可得到結論.

　　【解答】解：過D作DE⊥OA于E，

　　設D(m， )，

　　∴OE=m.DE= ，

　　∵點D是矩形OABC的對角線AC的中點，

　　∴OA=2m，OC= ，

　　∵矩形OABC的面積為8，

　　∴OA•OC=2m• =8，

　　∴k=2，

　　故答案為：2.

　　【點評】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義，矩形的性質，根據矩形的面積列出方程是解題的關鍵.

　　18.觀察下列等式：

　　在上述數字寶塔中，從上往下數，2016在第　44　層.

　　【考點】規律型：數字的變化類.

　　【分析】先按圖示規律計算出每一層的第一個數和最后一個數;發現第一個數分別是每一層層數的平方，那么只要知道2016介于哪兩個數的平方即可，通過計算可知：442<2016<452，則2016在第44層.

　　【解答】解：第一層：第一個數為12=1，最后一個數為22﹣1=3，

　　第二層：第一個數為22=4，最后一個數為23﹣1=8，

　　第三層：第一個數為32=9，最后一個數為24﹣1=15，

　　∵442=1936，452=2025，

　　又∵1936<2016<2025，

　　∴在上述數字寶塔中，從上往下數，2016在第44層，

　　故答案為：44

　　【點評】本題考查了數學變化類的規律題，這類題的解題思路是：①從第一個數起，認真觀察、仔細思考，能不能用平方或奇偶或加、減、乘、除等規律來表示;②利用方程來解決問題，先設一個未知數，找到符合條件的方程即可;本題以每一行的第一個數為突破口，找出其規律，得出結論.

　　三、解答題(本大題共8小題，共66分)

　　19.計算：|﹣2|+4cos30°﹣( )﹣3+ .

　　【考點】實數的運算;負整數指數冪;特殊角的三角函數值.

　　【分析】直接利用絕對值的性質以及特殊角的三角函數值、負整數指數冪的性質、二次根式的性質化簡，進而求出答案.

　　【解答】解：原式=2+4× ﹣8+2

　　=4 ﹣6.

　　【點評】此題主要考查了實數運算，正確利用負整數指數冪的性質化簡是解題關鍵.

　　20.解不等式組 ，并把解集在數軸上表示出來.

　　【考點】解一元一次不等式組;在數軸上表示不等式的解集.

　　【分析】首先解每個不等式，兩個不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集.

　　【解答】解： ，

　　解①得x≤1，

　　解②得x>﹣3，

　　，

　　不等式組的解集是：﹣3

　　【點評】本題考查了一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，解集的規律：同大取大;同小取小;大小小大中間找;大大小小找不到.

　　21.如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A(2，2)，B(4，0)，C(4，﹣4)

　　(1)請畫出△ABC向左平移6個單位長度后得到的△A1B1C1;

　　(2)以點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的 ，得到△A2B2C2，請在y軸右側畫出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值.

　　【考點】作圖-位似變換;作圖-平移變換.

　　【分析】(1)將A、B、C三點分別向左平移6個單位即可得到的△A1B1C1;

　　(2)連接OA、OC，分別取OA、OB、OC的中點即可畫出△A2B2C2，求出直線AC與OB的交點，求出∠ACB的正弦值即可解決問題.

　　【解答】解：(1)請畫出△ABC向左平移6個單位長度后得到的△A1B1C1，如圖1所示，

　　(2)以點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的 ，得到△A2B2C2，請在y軸右側畫出△A2B2C2，如圖2所示，

　　∵A(2，2)，C(4，﹣4)，B(4，0)，

　　∴直線AC解析式為y=﹣3x+8，與x軸交于點D( ，0)，

　　∵∠CBD=90°，

　　∴CD= = ，

　　∴sin∠DCB= = = .

　　∵∠A2C2B2=∠ACB，

　　∴sin∠A2C2B2=sin∠DCB= .

　　【點評】本題考查位似變換、平移變換等知識，銳角三角函數等知識，解題的關鍵是理解位似變換、平移變換的概念，記住銳角三角函數的定義，屬于中考常考題型.

　　22.在圖“書香八桂，閱讀圓夢”讀數活動中，某中學設置了書法、國學、誦讀、演講、征文四個比賽項目(2016•南寧)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB為半徑的圓經過點D，交BC于點E.

　　(1)求證：AC是⊙O的切線;

　　(2)若OB=10，CD=8，求BE的長.

　　【考點】切線的判定.

　　【專題】計算題;與圓有關的位置關系.

　　【分析】(1)連接OD，由BD為角平分線得到一對角相等，根據OB=OD，等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，進而確定出OD與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ODA為直徑，即可得證;

　　(2)由OD與BC平行得到三角形OAD與三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的長，進而確定出AB的長，連接EF，過O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的長，由BG+GC求出BC的長，再由三角形BEF與三角形BAC相似，由相似得比例求出BE的長即可.

　　【解答】(1)證明：連接OD，

　　∵BD為∠ABC平分線，

　　∴∠1=∠2，

　　∵OB=OD，

　　∴∠1=∠3，

　　∴∠2=∠3，

　　∴OD∥BC，

　　∵∠C=90°，

　　∴∠ODA=90°，

　　則AC為圓O的切線;

　　(2)解：過O作OG⊥BC，

　　∴四邊形ODCG為矩形，

　　∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，

　　在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，

　　∴BC=BG+GC=6+10=16，

　　∵OD∥BC，

　　∴△AOD∽△ABC，

　　∴ = ，即 = ，

　　解得：OA= ，

　　∴AB= +10= ，

　　連接EF，

　　∵BF為圓的直徑，

　　∴∠BEF=90°，

　　∴∠BEF=∠C=90°，

　　∴EF∥AC，

　　∴ = ，即 = ，

　　解得：BE=12.

　　【點評】此題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質，平行線的判定與性質，以及等腰三角形的性質，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵.

　　24.在南寧市地鐵1號線某段工程建設中，甲隊單獨完成這項工程需要150天，甲隊單獨施工30天后增加乙隊，兩隊又共同工作了15天，共完成總工程的 .

　　(1)求乙隊單獨完成這項工程需要多少天?

　　(2)為了加快工程進度，甲、乙兩隊各自提高工作效率，提高后乙隊的工作效率是 ，甲隊的工作效率是乙隊的m倍(1≤m≤2)，若兩隊合作40天完成剩余的工程，請寫出a關于m的函數關系式，并求出乙隊的最大工作效率是原來的幾倍?

　　【考點】一次函數的應用;分式方程的應用.

　　【分析】(1)設乙隊單獨完成這項工程需要x天，根據題意得方程即可得到結論;

　　(2)根據題意得( + )×40= ，即可得到a=60m+60，根據一次函數的性質得到 = ，即可得到結論.

　　【解答】解：(1)設乙隊單獨完成這項工程需要x天，

　　根據題意得 ×(30+15)+ ×15= ，

　　解得：x=450，

　　經檢驗x=450是方程的根，

　　答：乙隊單獨完成這項工程需要450天;

　　(2)根據題意得( + )×40= ，

　　∴a=60m+60，

　　∵60>0，

　　∴a隨m的增大增大，

　　∴當m=1時， 最大，

　　∴ = ，

　　∴ ÷ =7.5倍，

　　答：乙隊的最大工作效率是原來的7.5倍

　　【點評】此題考查了一次函數的實際應用.分式方程的應用，解題的關鍵是理解題意，能根據題意求得函數解析式，注意數形結合與方程思想的應用.

　　25.已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點E，F，且∠EAF=60°.

　　(1)如圖1，當點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數量關系;

　　(2)如圖2，當點E是線段CB上任意一點時(點E不與B、C重合)，求證：BE=CF;

　　(3)如圖3，當點E在線段CB的延長線上，且∠EAB=15°時，求點F到BC的距離.

　　【考點】四邊形綜合題.

　　【分析】(1)結論AE=EF=AF.只要證明AE=AF即可證明△AEF是等邊三角形.

　　(2)欲證明BE=CF，只要證明△BAE≌△CAF即可.

　　(3)過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，根據FH=CF•cos30°，因為CF=BE，只要求出BE即可解決問題.

　　【解答】(1)解：結論AE=EF=AF.

　　理由：如圖1中，連接AC，

　　∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，

　　∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，

　　∴△ABC，△ADC是等邊三角形，

　　∴∠BAC=∠DAC=60°

　　∵BE=EC，

　　∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，

　　∵∠EAF=60°，

　　∴∠CAF=∠DAF=30°，

　　∴AF⊥CD，

　　∴AE=AF(菱形的高相等)，

　　∴△AEF是等邊三角形，

　　∴AE=EF=AF.

　　(2)證明：如圖2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，

　　∴∠BAE=∠CAE，

　　在△BAE和△CAF中，

　　，

　　∴△BAE≌△CAF，

　　∴BE=CF.

　　(3)解：過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，

　　∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，

　　∴∠AEB=45°，

　　在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，

　　∴BG=2，AG=2 ，

　　在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，

　　∴AG=GE=2 ，

　　∴EB=EG﹣BG=2 ﹣2，

　　∵△AEB≌△AFC，

　　∴AE=AF，EB=CF=2 ﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，

　　∵∠EAF=60°，AE=AF，

　　∴△AEF是等邊三角形，

　　∴∠AEF=∠AFE=60°

　　∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，

　　∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，

　　在RT△EFH中，∠CEF=15°，

　　∴∠EFH=75°，

　　∵∠AFE=60°，

　　∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，

　　∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，

　　在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2 ﹣2，

　　∴FH=CF•cos30°=(2 ﹣2)• =3﹣ .

　　∴點F到BC的距離為3﹣ .

　　【點評】本題考查四邊形綜合題、菱形的性質、等邊三角形的判定、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題.

　　26.如圖，已知拋物線經過原點O，頂點為A(1，1)，且與直線y=x﹣2交于B，C兩點.

　　(1)求拋物線的解析式及點C的坐標;

　　(2)求證：△ABC是直角三角形;

　　(3)若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O，M，N為頂點的三角形與△ABC相似?若存在，請求出點N的坐標;若不存在，請說明理由.

　　【考點】二次函數綜合題.

　　【分析】(1)可設頂點式，把原點坐標代入可求得拋物線解析式，聯立直線與拋物線解析式，可求得C點坐標;

　　(2)分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，結合A、B、C三點的坐標可求得∠ABO=∠CBO=45°，可證得結論;

　　(3)設出N點坐標，可表示出M點坐標，從而可表示出MN、ON的長度，當△MON和△ABC相似時，利用三角形相似的性質可得 = 或 = ，可求得N點的坐標.

　　【解答】解：

　　(1)∵頂點坐標為(1，1)，

　　∴設拋物線解析式為y=a(x﹣1)2+1，

　　又拋物線過原點，

　　∴0=a(0﹣1)2+1，解得a=﹣1，

　　∴拋物線解析式為y=﹣(x﹣1)2+1，

　　即y=﹣x2+2x，

　　聯立拋物線和直線解析式可得 ，解得 或 ，

　　∴B(2，0)，C(﹣1，﹣3);

　　(2)如圖，分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，

　　則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，

　　∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，

　　∴△ABC是直角三角形;

　　(3)假設存在滿足條件的點N，設N(x，0)，則M(x，﹣x2+2x)，

　　∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，

　　由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分別求得AB= ，BC=3 ，

　　∵MN⊥x軸于點N

　　∴∠ABC=∠MNO=90°，

　　∴當△ABC和△MNO相似時有 = 或 = ，

　　①當 = 時，則有 = ，即|x||﹣x+2|= |x|，

　　∵當x=0時M、O、N不能構成三角形，

　　∴x≠0，

　　∴|﹣x+2|= ，即﹣x+2=± ，解得x= 或x= ，

　　此時N點坐標為( ，0)或( ，0);

　　②當 = 時，則有 = ，即|x||﹣x+2|=3|x|，

　　∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，

　　此時N點坐標為(﹣1，0)或(5，0)，

　　綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為( ，0)或( ，0)或(﹣1，0)或(5，0).

　　【點評】本題為二次函數的綜合應用，涉及知識點有待定系數法、圖象的交點問題、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性質及分類討論等.在(1)中注意頂點式的運用，在(3)中設出N、M的坐標，利用相似三角形的性質得到關于坐標的方程是解題的關鍵，注意相似三角形點的對應.本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中.

【南寧市中考數學試題及答案】相關文章：

2015安徽中考數學試題及答案03-23

隨州市中考數學試題及答案11-30

2016年寧夏中考數學試題及答案解析03-23

2024年威海市中考數學試題及答案06-08

2016年沈陽市中考數學試題及答案03-05

2016年無錫市中考數學試題及答案03-15

2016年上海市中考數學試題及答案03-15

2016年深圳市中考數學試題及答案03-15

2016年邵陽市中考數學試題及答案11-30