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隨州市中考數(shù)學(xué)試題及答案
數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門科學(xué)。它在科學(xué)發(fā)展和現(xiàn)代生活生產(chǎn)中的應(yīng)用非常廣泛，是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基本工具。下面百分網(wǎng)小編為大帶來2016年隨州市中考的數(shù)學(xué)試題，文末附有答案，有需要的同學(xué)可以看一看，更多內(nèi)容歡迎關(guān)注應(yīng)屆畢業(yè)生網(wǎng)!
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分.每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的)
1.﹣ 的相反數(shù)是( )
A.﹣ B. C. D.﹣
2.隨著我國經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，轎車進(jìn)入百姓家庭，小明同學(xué)在街頭觀察出下列四種汽車標(biāo)志，其中既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3.下列運算正確的是( )
A.a2a3=a6B.a5÷a2=a3C.(﹣3a)3=﹣9a3D.2x2+3x2=5x4
4.如圖，直線a∥b，直線c分別與a、b相交于A、B兩點，AC⊥AB于點A，交直線b于點C.已知∠1=42°，則∠2的度數(shù)是( )
A.38° B.42° C.48° D.58°
5.不等式組 的解集表示在數(shù)軸上，正確的是( )
A. B. C. D.
6.為了響應(yīng)學(xué)校“書香校園”建設(shè)，陽光班的同學(xué)們積極捐書，其中宏志學(xué)習(xí)小組的同學(xué)捐書冊數(shù)分別是：5，7，x，3，4，6.已知他們平均每人捐5本，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和方差分別是( )
A.5，5， B.5，5，10 C.6，5.5， D.5，5，
7.如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，且DE∥AC，AE、CD相交于點O，若S△DOE：S△COA=1：25，則S△BDE與S△CDE的比是( )
A.1：3 B.1：4 C.1：5 D.1：25
8.隨州市尚市“桃花節(jié)”觀賞人數(shù)逐年增加，據(jù)有關(guān)部門統(tǒng)計，2014年約為20萬人次，2016年約為28.8萬人次，設(shè)觀賞人數(shù)年均增長率為x，則下列方程中正確的是( )
A.20(1+2x)=28.8 B.28.8(1+x)2=20
C.20(1+x)2=28.8 D.20+20(1+x)+20(1+x)2=28.8
9.如圖是某工件的三視圖，則此工件的表面積為( )
A.15πcm2B.51πcm2C.66πcm2D.24πcm2
10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示，圖象過點(﹣1，0)，對稱軸為直線x=2，下列結(jié)論：(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若點A(﹣3，y1)、點B(﹣ ，y2)、點C( ，y3)在該函數(shù)圖象上，則y1
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)
11.2015年“圣地車都”﹣﹣隨州改裝車的總產(chǎn)值為14.966億元，其中14.966億元用科學(xué)記數(shù)法表示為 元.
12.已知等腰三角形的一邊長為9，另一邊長為方程x2﹣8x+15=0的根，則該等腰三角形的周長為 .
13.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分別是AB、AC的中點，延長BC至點D，使CD= BD，連接DM、DN、MN.若AB=6，則DN= .
14.如圖，直線y=x+4與雙曲線y= (k≠0)相交于A(﹣1，a)、B兩點，在y軸上找一點P，當(dāng)PA+PB的值最小時，點P的坐標(biāo)為 .
15.如圖(1)，PT與⊙O1相切于點T，PAB與⊙O1相交于A、B兩點，可證明△PTA∽△PBT，從而有PT2=PAPB.請應(yīng)用以上結(jié)論解決下列問題：如圖(2)，PAB、PCD分別與⊙O2相交于A、B、C、D四點，已知PA=2，PB=7，PC=3，則CD= .
16.如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O.有直角∠MPN，使直角頂點P與點O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時針旋轉(zhuǎn)∠MPN，旋轉(zhuǎn)角為θ(0°<θ<90°)，PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點，連接EF交OB于點G，則下列結(jié)論中正確的是 .
(1)EF= OE;(2)S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4;(3)BE+BF= OA;(4)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時，AE= ;(5)OGBD=AE2+CF2.
三、解答題(本題共9小題，共72分，解答應(yīng)寫出必要演算步驟，文字說明或證明過程)
17.計算：﹣|﹣1|+ cos30°﹣(﹣ )﹣2+(π﹣3.14)0.
18.先化簡，再求值：( ﹣x+1)÷ ，其中x= ﹣2.
19.某校學(xué)生利用雙休時間去距學(xué)校10km的炎帝故里參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20min后，其余學(xué)生乘汽車沿相同路線出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá).已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，求騎車學(xué)生的速度和汽車的速度.
20.國務(wù)院辦公廳2015年3月16日發(fā)布了《中國足球改革的總體方案》，這是中國足球歷史上的重大改革.為了進(jìn)一步普及足球知識，傳播足球文化，我市舉行了“足球進(jìn)校園”知識競賽活動，為了解足球知識的普及情況，隨機(jī)抽取了部分獲獎情況進(jìn)行整理，得到下列不完整的統(tǒng)計圖表：
獲獎等次 頻數(shù) 頻率
一等獎 10 0.05
二等獎 20 0.10
三等獎 30 b
優(yōu)勝獎 a 0.30
鼓勵獎 80 0.40
請根據(jù)所給信息，解答下列問題：
(1)a= ，b= ，且補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(2)若用扇形統(tǒng)計圖來描述獲獎分布情況，問獲得優(yōu)勝獎對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是多少?
(3)在這次競賽中，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都獲得一等獎，若從這四位同學(xué)中隨機(jī)選取兩位同學(xué)代表我市參加上一級競賽，請用樹狀圖或列表的方法，計算恰好選中甲、乙二人的概率.
21.某班數(shù)學(xué)興趣小組利用數(shù)學(xué)活動課時間測量位于烈山山頂?shù)难椎鄣裣窀叨龋阎疑狡旅媾c水平面的夾角為30°，山高857.5尺，組員從山腳D處沿山坡向著雕像方向前進(jìn)1620尺到達(dá)E點，在點E處測得雕像頂端A的仰角為60°，求雕像AB的高度.
22.如圖，AB是⊙O的弦，點C為半徑OA的中點，過點C作CD⊥OA交弦AB于點E，連接BD，且DE=DB.
(1)判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由;
(2)若CD=15，BE=10，tanA= ，求⊙O的直徑.
23.九年級(3)班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查整理出某種商品在第x天(1≤x≤90，且x為整數(shù))的售價與銷售量的相關(guān)信息如下.已知商品的進(jìn)價為30元/件，設(shè)該商品的售價為y(單位：元/件)，每天的銷售量為p(單位：件)，每天的銷售利潤為w(單位：元).
時間x(天) 1 30 60 90
每天銷售量p(件) 198 140 80 20
(1)求出w與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)問銷售該商品第幾天時，當(dāng)天的銷售利潤最大?并求出最大利潤;
(3)該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元?請直接寫出結(jié)果.
24.愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖(1)、圖(2)、圖(3)中，AM、BN是△ABC的中線，AN⊥BN于點P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=a，AC=b，AB=c.
【特例探究】
(1)如圖1，當(dāng)tan∠PAB=1，c=4 時，a= ，b= ;
如圖2，當(dāng)∠PAB=30°，c=2時，a= ，b= ;
【歸納證明】
(2)請你觀察(1)中的計算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結(jié)論.
【拓展證明】
(3)如圖4，ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點G，AD=3 ，AB=3，求AF的長.
25.已知拋物線y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0)，與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，經(jīng)過點A的直線y=﹣ x+b與拋物線的另一個交點為D.
(1)若點D的橫坐標(biāo)為2，求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標(biāo);
(3)在(1)的條件下，設(shè)點E是線段AD上的一點(不含端點)，連接BE.一動點Q從點B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E，再沿線段ED以每秒 個單位的速度運動到點D后停止，問當(dāng)點E的坐標(biāo)是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最少?
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分.每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的)
1.﹣ 的相反數(shù)是( )
A.﹣ B. C. D.﹣
【考點】實數(shù)的性質(zhì).
【分析】利用相反數(shù)的定義計算即可得到結(jié)果.
【解答】解：﹣ 的相反數(shù)是 ，
故選C
2.隨著我國經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，轎車進(jìn)入百姓家庭，小明同學(xué)在街頭觀察出下列四種汽車標(biāo)志，其中既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點】中心對稱圖形;軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形;
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形;
C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形;
D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形.
故選C.
3.下列運算正確的是( )
A.a2a3=a6B.a5÷a2=a3C.(﹣3a)3=﹣9a3D.2x2+3x2=5x4
【考點】同底數(shù)冪的除法;合并同類項;同底數(shù)冪的乘法;冪的乘方與積的乘方.
【分析】直接根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方運算法則計算出各選項結(jié)果，進(jìn)而作出判斷.
【解答】解：A、a2a3=a5，此選項錯誤;
B、a5÷a2=a3，此選項正確;
C、(﹣3a)3=﹣27a3，此選項錯誤;
D、2x2+3x2=5x2，此選項錯誤;
故選B.
4.如圖，直線a∥b，直線c分別與a、b相交于A、B兩點，AC⊥AB于點A，交直線b于點C.已知∠1=42°，則∠2的度數(shù)是( )
A.38° B.42° C.48° D.58°
【考點】平行線的性質(zhì).
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)垂直的定義和余角的性質(zhì)求出∠2的度數(shù).
【解答】解：∵直線a∥b，
∴∠1=∠BCA，
∵∠1=42°，
∴∠BCA=42°，
∵AC⊥AB，
∴∠2+∠BCA=90°，
∴∠2=48°，
故選C.
5.不等式組 的解集表示在數(shù)軸上，正確的是( )
A. B. C. D.
【考點】解一元一次不等式組;在數(shù)軸上表示不等式的解集.
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：大小小大中間找確定不等式組的解集，再根據(jù)“大于向右，小于向左，包括端點用實心，不包括端點用空心”的原則分析選項可得答案.
【解答】解：解不等式 x﹣1≤7﹣ x，得：x≤4，
解不等式5x﹣2>3(x+1)，得：x> ，
∴不等式組的解集為：
故選：A.
6.為了響應(yīng)學(xué)校“書香校園”建設(shè)，陽光班的同學(xué)們積極捐書，其中宏志學(xué)習(xí)小組的同學(xué)捐書冊數(shù)分別是：5，7，x，3，4，6.已知他們平均每人捐5本，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和方差分別是( )
A.5，5， B.5，5，10 C.6，5.5， D.5，5，
【考點】方差;中位數(shù);眾數(shù).
【分析】根據(jù)平均數(shù)，可得x的值，根據(jù)眾數(shù)的定義、中位數(shù)的定義、方差的定義，可得答案.
【解答】解：由5，7，x，3，4，6.已知他們平均每人捐5本，得
x=5.
眾數(shù)是5，中位數(shù)是5，
方差 = ，
故選：D.
7.如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，且DE∥AC，AE、CD相交于點O，若S△DOE：S△COA=1：25，則S△BDE與S△CDE的比是( )
A.1：3 B.1：4 C.1：5 D.1：25
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理得到 = ， = = ，結(jié)合圖形得到 = ，得到答案.
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴ = ，
∵DE∥AC，
∴ = = ，
∴ = ，
∴S△BDE與S△CDE的比是1：4，
故選：B.
8.隨州市尚市“桃花節(jié)”觀賞人數(shù)逐年增加，據(jù)有關(guān)部門統(tǒng)計，2014年約為20萬人次，2016年約為28.8萬人次，設(shè)觀賞人數(shù)年均增長率為x，則下列方程中正確的是( )
A.20(1+2x)=28.8 B.28.8(1+x)2=20
C.20(1+x)2=28.8 D.20+20(1+x)+20(1+x)2=28.8
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.
【分析】設(shè)這兩年觀賞人數(shù)年均增長率為x，根據(jù)“2014年約為20萬人次，2016年約為28.8萬人次”，可得出方程.
【解答】解：設(shè)觀賞人數(shù)年均增長率為x，那么依題意得20(1+x)2=28.8，
故選C.
9.如圖是某工件的三視圖，則此工件的表面積為( )
A.15πcm2B.51πcm2C.66πcm2D.24πcm2
【考點】由三視圖判斷幾何體.
【分析】根據(jù)三視圖，可得幾何體是圓錐，根據(jù)勾股定理，可得圓錐的母線長，根據(jù)扇形的面積公式，可得圓錐的側(cè)面積，根據(jù)圓的面積公式，可得圓錐的底面積，可得答案.
【解答】解：由三視圖，得
，
OB=3cm，0A=4cm，
由勾股定理，得AB= =5cm，
圓錐的側(cè)面積 ×6π×5=15πcm2，
圓錐的底面積π×( )2=9πcm，
圓錐的表面積15π+9π=24π(cm2)，
故選：D.
10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示，圖象過點(﹣1，0)，對稱軸為直線x=2，下列結(jié)論：(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若點A(﹣3，y1)、點B(﹣ ，y2)、點C( ，y3)在該函數(shù)圖象上，則y1
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】(1)正確.根據(jù)對稱軸公式計算即可.
(2)錯誤，利用x=﹣3時，y<0，即可判斷.
(3)正確.由圖象可知拋物線經(jīng)過(﹣1，0)和(5，0)，列出方程組求出a、b即可判斷.
(4)錯誤.利用函數(shù)圖象即可判斷.
(5)正確.利用二次函數(shù)與二次不等式關(guān)系即可解決問題.
【解答】解：(1)正確.∵﹣ =2，
∴4a+b=0.故正確.
(2)錯誤.∵x=﹣3時，y<0，
∴9a﹣3b+c<0，
∴9a+c<3b，故(2)錯誤.
(3)正確.由圖象可知拋物線經(jīng)過(﹣1，0)和(5，0)，
∴ 解得 ，
∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
∵a<0，
∴8a+7b=2c>0，故(3)正確.
(4)錯誤，∵點A(﹣3，y1)、點B(﹣ ，y2)、點C( ，y3)，
∵ ﹣2= ，2﹣(﹣ )= ，
∴ <
∴點C離對稱軸的距離近，
∴y3>y2，
∵a<0，﹣3<﹣ <2，
∴y1
∴y1
(5)正確.∵a<0，
∴(x+1)(x﹣5)=﹣3/a>0，
即(x+1)(x﹣5)>0，
故x<﹣1或x>5，故(5)正確.
∴正確的有三個，
故選B.
二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)
11.2015年“圣地車都”﹣﹣隨州改裝車的總產(chǎn)值為14.966億元，其中14.966億元用科學(xué)記數(shù)法表示為 1.4966×109 元.
【考點】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式.其中1≤|a|<10，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值>10時，n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時，n是負(fù)數(shù).
【解答】解：14.966億=1.4966×109.
故答案為：1.4966×109.
12.已知等腰三角形的一邊長為9，另一邊長為方程x2﹣8x+15=0的根，則該等腰三角形的周長為 19或21或23 .
【考點】解一元二次方程-因式分解法;三角形三邊關(guān)系;等腰三角形的性質(zhì).
【分析】求出方程的解，分為兩種情況，看看是否符合三角形三邊關(guān)系定理，求出即可.
【解答】解：由方程x2﹣8x+15=0得：(x﹣3)(x﹣5)=0，
∴x﹣3=0或x﹣5=0，
解得：x=3或x=5，
當(dāng)?shù)妊切蔚娜呴L為9、9、3時，其周長為21;
當(dāng)?shù)妊切蔚娜呴L為9、9、5時，其周長為23;
當(dāng)?shù)妊切蔚娜呴L為9、3、3時，3+3<9，不符合三角形三邊關(guān)系定理，舍去;
當(dāng)?shù)妊切蔚娜呴L為9、5、5時，其周長為19;
綜上，該等腰三角形的周長為19或21或23，
故答案為：19或21或23.
13.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分別是AB、AC的中點，延長BC至點D，使CD= BD，連接DM、DN、MN.若AB=6，則DN= 3 .
【考點】三角形中位線定理;直角三角形斜邊上的中線;平行四邊形的判定與性質(zhì).
【分析】連接CM，根據(jù)三角形中位線定理得到NM= CB，MN∥BC，證明四邊形DCMN是平行四邊形，得到DN=CM，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CM= AB=3，等量代換即可.
【解答】解：連接CM，
∵M(jìn)、N分別是AB、AC的中點，
∴NM= CB，MN∥BC，又CD= BD，
∴MN=CD，又MN∥BC，
∴四邊形DCMN是平行四邊形，
∴DN=CM，
∵∠ACB=90°，M是AB的中點，
∴CM= AB=3，
∴DN=3，
故答案為：3.
14.如圖，直線y=x+4與雙曲線y= (k≠0)相交于A(﹣1，a)、B兩點，在y軸上找一點P，當(dāng)PA+PB的值最小時，點P的坐標(biāo)為 (0， ) .
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題;軸對稱-最短路線問題.
【分析】根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式求出點A、B的坐標(biāo)，然后作出點A關(guān)于y軸的對稱點C，連接BC，與y軸的交點即為點P，然后求出直線BC的解析式，求出點P的坐標(biāo).
【解答】解：把點A坐標(biāo)代入y=x+4得，
﹣1+4=a，
a=3，
即A(﹣1，3)，
把點A坐標(biāo)代入雙曲線的解析式：3=﹣k，
解得：k=﹣3，
聯(lián)立兩函數(shù)解析式得： ，
解得： ， ，
即點B坐標(biāo)為：(﹣3，1)，
作出點A關(guān)于y軸的對稱點C，連接BC，與y軸的交點即為點P，使得PA+PB的值最小，
則點C坐標(biāo)為：(1，3)，
設(shè)直線BC的解析式為：y=ax+b，
把B、C的坐標(biāo)代入得： ，
解得： ，
函數(shù)解析式為：y= x+ ，
則與y軸的交點為：(0， ).
故答案為：(0， ).
15.如圖(1)，PT與⊙O1相切于點T，PAB與⊙O1相交于A、B兩點，可證明△PTA∽△PBT，從而有PT2=PAPB.請應(yīng)用以上結(jié)論解決下列問題：如圖(2)，PAB、PCD分別與⊙O2相交于A、B、C、D四點，已知PA=2，PB=7，PC=3，則CD= .
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);切線的性質(zhì).
【分析】如圖2中，過點P作⊙O的切線PT，切點是T，根據(jù)PT2=PAPB=PCPD，求出PD即可解決問題.
【解答】解：如圖2中，過點P作⊙O的切線PT，切點是T.
∵PT2=PAPB=PCPD，
∵PA=2，PB=7，PC=3，
∴2×7=3×PD，
∴PD=
∴CD=PD﹣PC= ﹣3= .
16.如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O.有直角∠MPN，使直角頂點P與點O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時針旋轉(zhuǎn)∠MPN，旋轉(zhuǎn)角為θ(0°<θ<90°)，PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點，連接EF交OB于點G，則下列結(jié)論中正確的是 (1)，(2)，(3)，(5) .
(1)EF= OE;(2)S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4;(3)BE+BF= OA;(4)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時，AE= ;(5)OGBD=AE2+CF2.
【考點】四邊形綜合題.
【分析】(1)由四邊形ABCD是正方形，直角∠MPN，易證得△BOE≌△COF(ASA)，則可證得結(jié)論;
(2)由(1)易證得S四邊形OEBF=S△BOC= S正方形ABCD，則可證得結(jié)論;
(3)由BE=CF，可得BE+BF=BC，然后由等腰直角三角形的性質(zhì)，證得BE+BF= OA;
(4)首先設(shè)AE=x，則BE=CF=1﹣x，BF=x，繼而表示出△BEF與△COF的面積之和，然后利用二次函數(shù)的最值問題，求得答案;
(5)易證得△OEG∽△OBE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得OGOB=OE2，再利用OB與BD的關(guān)系，OE與EF的關(guān)系，即可證得結(jié)論.
【解答】解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOF+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，BE=CF，
∴EF= OE;故正確;
(2)∵S四邊形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC= S正方形ABCD，
∴S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4;故正確;
(3)∴BE+BF=BF+CF=BC= OA;故正確;
(4)過點O作OH⊥BC，
∵BC=1，
∴OH= BC= ，
設(shè)AE=x，則BE=CF=1﹣x，BF=x，
∴S△BEF+S△COF= BEBF+ CFOH= x(1﹣x)+ (1﹣x)× =﹣ (x﹣ )2+ ，
∵a=﹣<0，
∴當(dāng)x= 時，S△BEF+S△COF最大;
即在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時，AE= ;故錯誤;
(5)∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，
∴△OEG∽△OBE，
∴OE：OB=OG：OE，
∴OGOB=OE2，
∵OB= BD，OE= EF，
∴OGBD=EF2，
∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，
∴EF2=AE2+CF2，
∴OGBD=AE2+CF2.故正確.
故答案為：(1)，(2)，(3)，(5).
三、解答題(本題共9小題，共72分，解答應(yīng)寫出必要演算步驟，文字說明或證明過程)
17.計算：﹣|﹣1|+ cos30°﹣(﹣ )﹣2+(π﹣3.14)0.
【考點】實數(shù)的運算;零指數(shù)冪;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】本題涉及絕對值、二次根式化簡、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪5個考點.在計算時，需要針對每個考點分別進(jìn)行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果.
【解答】解：原式=﹣1+2 × ﹣4+1
=﹣1+3﹣4+1
=﹣1.
18.先化簡，再求值：( ﹣x+1)÷ ，其中x= ﹣2.
【考點】分式的化簡求值.
【分析】首先將括號里面的通分相減，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法，化簡后代入x的值即可求解.
【解答】解：原式=[ ﹣ ]
=
= ，
當(dāng)x= ﹣2時，
原式= = =2 .
19.某校學(xué)生利用雙休時間去距學(xué)校10km的炎帝故里參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20min后，其余學(xué)生乘汽車沿相同路線出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá).已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，求騎車學(xué)生的速度和汽車的速度.
【考點】分式方程的應(yīng)用.
【分析】求速度，路程已知，根據(jù)時間來列等量關(guān)系.關(guān)鍵描述語為：“一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20min后，其余學(xué)生乘汽車沿相同路線出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá)”，根據(jù)等量關(guān)系列出方程.
【解答】解：設(shè)騎車學(xué)生的速度為x千米/小時，汽車的速度為2x千米/小時，
可得： ，
解得：x=15，
經(jīng)檢驗x=15是原方程的解，
2x=2×15=30，
答：騎車學(xué)生的速度和汽車的速度分別是每小時15km，30km.
20.國務(wù)院辦公廳2015年3月16日發(fā)布了《中國足球改革的總體方案》，這是中國足球歷史上的重大改革.為了進(jìn)一步普及足球知識，傳播足球文化，我市舉行了“足球進(jìn)校園”知識競賽活動，為了解足球知識的普及情況，隨機(jī)抽取了部分獲獎情況進(jìn)行整理，得到下列不完整的統(tǒng)計圖表：
獲獎等次 頻數(shù) 頻率
一等獎 10 0.05
二等獎 20 0.10
三等獎 30 b
優(yōu)勝獎 a 0.30
鼓勵獎 80 0.40
請根據(jù)所給信息，解答下列問題：
(1)a= 60 ，b= 0.15 ，且補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(2)若用扇形統(tǒng)計圖來描述獲獎分布情況，問獲得優(yōu)勝獎對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是多少?
(3)在這次競賽中，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都獲得一等獎，若從這四位同學(xué)中隨機(jī)選取兩位同學(xué)代表我市參加上一級競賽，請用樹狀圖或列表的方法，計算恰好選中甲、乙二人的概率.
【考點】列表法與樹狀圖法;頻數(shù)(率)分布表;頻數(shù)(率)分布直方圖;扇形統(tǒng)計圖.
【分析】(1)根據(jù)公式頻率=頻數(shù)÷樣本總數(shù)，求得樣本總數(shù)，再根據(jù)公式得出a，b的值即可;
(2)根據(jù)公式優(yōu)勝獎對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)=優(yōu)勝獎的頻率×360°計算即可;
(3)畫樹狀圖或列表將所有等可能的結(jié)果列舉出來，利用概率公式求解即可.
【解答】解：(1)樣本總數(shù)為10÷0.05=200人，
a=200﹣10﹣20﹣30﹣80=60人，
b=30÷200=0.15，
故答案為200，0.15;
(2)優(yōu)勝獎所在扇形的圓心角為0.30×360°=108°;
(2)列表：甲乙丙丁分別用ABCD表示，
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
∵共有12種等可能的結(jié)果，恰好選中A、B的有2種，
畫樹狀圖如下：
∴P(選中A、B)= = .
21.某班數(shù)學(xué)興趣小組利用數(shù)學(xué)活動課時間測量位于烈山山頂?shù)难椎鄣裣窀叨龋阎疑狡旅媾c水平面的夾角為30°，山高857.5尺，組員從山腳D處沿山坡向著雕像方向前進(jìn)1620尺到達(dá)E點，在點E處測得雕像頂端A的仰角為60°，求雕像AB的高度.
【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.
【分析】構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)，進(jìn)行簡單計算即可.
【解答】解：如圖，
過點E作EF⊥AC，EG⊥CD，
在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，
∴EG=DEsin∠D=1620× =810，
∵BC=857.5，CF=EG，
∴BF=BC﹣CF=47.5，
在Rt△BEF中，tan∠BEF= ，
∴EF= BF，
在Rt△AEF中，∠AEF=60°，設(shè)AB=x，
∵tan∠AEF= ，
∴AF=EF×tan∠AEF，
∴x+47.5=3×47.5，
∴x=95，
答：雕像AB的高度為95尺.
22.如圖，AB是⊙O的弦，點C為半徑OA的中點，過點C作CD⊥OA交弦AB于點E，連接BD，且DE=DB.
(1)判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由;
(2)若CD=15，BE=10，tanA= ，求⊙O的直徑.
【考點】直線與圓的位置關(guān)系;垂徑定理;相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)連接OB，由圓的半徑相等和已知條件證明∠OBD=90°，即可證明BD是⊙O的切線;
(2)過點D作DG⊥BE于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EG= BE=5，由兩角相等的三角形相似，△ACE∽△DGE，利用相似三角形對應(yīng)角相等得到sin∠EDG=sinA= ，在Rt△EDG中，利用勾股定理求出DG的長，根據(jù)三角形相似得到比例式，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果.
【解答】(1)證明：連接OB，
∵OB=OA，DE=DB，
∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，
∴∠OBA+∠ABD=90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切線;
(2)如圖，過點D作DG⊥BE于G，
∵DE=DB，
∴EG= BE=5，
∵∠ACE=∠DGE=90°，∠AEC=∠GED，
∴∠GDE=∠A，
∴△ACE∽△DGE，
∴sin∠EDG=sinA= = ，即CE=13，
在Rt△ECG中，
∵DG= =12，
∵CD=15，DE=13，
∴DE=2，
∵△ACE∽△DGE，
∴ = ，
∴AC= DG= ，
∴⊙O的直徑2OA=4AD= .
23.九年級(3)班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查整理出某種商品在第x天(1≤x≤90，且x為整數(shù))的售價與銷售量的相關(guān)信息如下.已知商品的進(jìn)價為30元/件，設(shè)該商品的售價為y(單位：元/件)，每天的銷售量為p(單位：件)，每天的銷售利潤為w(單位：元).
時間x(天) 1 30 60 90
每天銷售量p(件) 198 140 80 20
(1)求出w與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)問銷售該商品第幾天時，當(dāng)天的銷售利潤最大?并求出最大利潤;
(3)該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元?請直接寫出結(jié)果.
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用;一元一次不等式的應(yīng)用.
【分析】(1)當(dāng)0≤x≤50時，設(shè)商品的售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，由點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出此時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)圖形可得出當(dāng)50
(2)根據(jù)w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，分段考慮其最值問題.當(dāng)0≤x≤50時，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值;當(dāng)50
(3)令w≥5600，可得出關(guān)于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，由此即可得出結(jié)論.
【解答】解：(1)當(dāng)0≤x≤50時，設(shè)商品的售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k、b為常數(shù)且k≠0)，
∵y=kx+b經(jīng)過點(0，40)、(50，90)，
∴ ，解得： ，
∴售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y=x+40;
當(dāng)50
∴售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y= .
由書記可知每天的銷售量p與時間x成一次函數(shù)關(guān)系，
設(shè)每天的銷售量p與時間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n(m、n為常數(shù)，且m≠0)，
∵p=mx+n過點(60，80)、(30，140)，
∴ ，解得： ，
∴p=﹣2x+200(0≤x≤90，且x為整數(shù))，
當(dāng)0≤x≤50時，w=(y﹣30)p=(x+40﹣30)(﹣2x+200)=﹣2x2+180x+2000;
當(dāng)50
綜上所示，每天的銷售利潤w與時間x的函數(shù)關(guān)系式是w= .
(2)當(dāng)0≤x≤50時，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2(x﹣45)2+6050，
∵a=﹣2<0且0≤x≤50，
∴當(dāng)x=45時，w取最大值，最大值為6050元.
當(dāng)50
∵k=﹣120<0，w隨x增大而減小，
∴當(dāng)x=50時，w取最大值，最大值為6000元.
∵6050>6000，
∴當(dāng)x=45時，w最大，最大值為6050元.
即銷售第45天時，當(dāng)天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元.
(3)當(dāng)0≤x≤50時，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，
解得：30≤x≤50，
50﹣30+1=21(天);
當(dāng)50
解得：50
∵x為整數(shù)，
∴50
53﹣50=3(天).
綜上可知：21+3=24(天)，
故該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤不低于5600元.
24.愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖(1)、圖(2)、圖(3)中，AM、BN是△ABC的中線，AN⊥BN于點P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=a，AC=b，AB=c.
【特例探究】
(1)如圖1，當(dāng)tan∠PAB=1，c=4 時，a= 4 ，b= 4 ;
如圖2，當(dāng)∠PAB=30°，c=2時，a= ，b= ;
【歸納證明】
(2)請你觀察(1)中的計算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結(jié)論.
【拓展證明】
(3)如圖4，ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點G，AD=3 ，AB=3，求AF的長.
【考點】四邊形綜合題.
【分析】(1)①首先證明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解決問題.
②連接EF，在RT△PAB，RT△PEF中，利用30°性質(zhì)求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解決問題.
(2)結(jié)論a2+b2=5c2.設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問題.
(3)取AB中點H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點，首先證明△ABF是中垂三角形，利用(2)中結(jié)論列出方程即可解決問題.
【解答】(1)解：如圖1中，∵CE=AE，CF=BF，
∴EF∥AB，EF= AB=2 ，
∵tan∠PAB=1，
∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°，
∴PF=PE=2，PB=PA=4，
∴AE=BF= =2 .
∴b=AC=2AE=4 ，a=BC=4 .
故答案為4 ，4 .
如圖2中，連接EF，
，∵CE=AE，CF=BF，
∴EF∥AB，EF= AB=1，
∵∠PAB=30°，
∴PB=1，PA= ，
在RT△EFP中，∵∠EFP=∠PAB=30°，
∴PE= ，PF= ，
∴AE= = ，BF= = ，
∴a=BC=2BF= ，b=AC=2AE= ，
故答案分別為 ， .
(2)結(jié)論a2+b2=5c2.
證明：如圖3中，連接EF.
∵AF、BE是中線，
∴EF∥AB，EF= AB，
∴△FPE∽△APB，
∴ = = ，
設(shè)FP=x，EP=y，則AP=2x，BP=2y，
∴a2=BC2=4BF2=4(FP2+BP2)=4x2+16y2，
b2=AC2=4AE2=4(PE2+AP2)=4y2+16x2，
c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，
∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2.
(3)解：如圖4中，在△AGE和△FGB中，
，
∴△AGE≌△FGB，
∴BG=FG，取AB中點H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點，
同理可證△APH≌△BFH，
∴AP=BF，PE=CF=2BF，
即PE∥CF，PE=CF，
∴四邊形CEPF是平行四邊形，
∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由(2)可知AB2+AF2=5BF2，
∵AB=3，BF= AD= ，
∴9+AF2=5×( )2，
∴AF=4.
25.已知拋物線y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0)，與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，經(jīng)過點A的直線y=﹣ x+b與拋物線的另一個交點為D.
(1)若點D的橫坐標(biāo)為2，求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標(biāo);
(3)在(1)的條件下，設(shè)點E是線段AD上的一點(不含端點)，連接BE.一動點Q從點B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E，再沿線段ED以每秒 個單位的速度運動到點D后停止，問當(dāng)點E的坐標(biāo)是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最少?
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的交點式確定點A、B的坐標(biāo)，求出直線的解析式，求出點D的坐標(biāo)，求出拋物線的解析式;
(2)作PH⊥x軸于H，設(shè)點P的坐標(biāo)為(m，n)，分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可;
(3)作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，根據(jù)正切的定義求出Q的運動時間t=BE+EF時，t最小即可.
【解答】解：(1)∵y=a(x+3)(x﹣1)，
∴點A的坐標(biāo)為(﹣3，0)、點B兩的坐標(biāo)為(1，0)，
∵直線y=﹣ x+b經(jīng)過點A，
∴b=﹣3 ，
∴y=﹣ x﹣3 ，
當(dāng)x=2時，y=﹣5 ，
則點D的坐標(biāo)為(2，﹣5 )，
∵點D在拋物線上，
∴a(2+3)(2﹣1)=﹣5 ，
解得，a=﹣ ，
則拋物線的解析式為y=﹣ (x+3)(x﹣1)=﹣ x2﹣2 x+3 ;
(2)作PH⊥x軸于H，
設(shè)點P的坐標(biāo)為(m，n)，
當(dāng)△BPA∽△ABC時，∠BAC=∠PBA，
∴tan∠BAC=tan∠PBA，即 = ，
∴ = ，即n=﹣a(m﹣1)，
∴ ，
解得，m1=﹣4，m2=1(不合題意，舍去)，
當(dāng)m=﹣4時，n=5a，
∵△BPA∽△ABC，
∴ = ，即AB2=ACPB，
∴42= ，
解得，a1= (不合題意，舍去)，a2=﹣ ，
則n=5a=﹣ ，
∴點P的坐標(biāo)為(﹣4，﹣ );
當(dāng)△PBA∽△ABC時，∠CBA=∠PBA，
∴tan∠CBA=tan∠PBA，即 = ，
∴ = ，即n=﹣3a(m﹣1)，
∴ ，
解得，m1=﹣6，m2=1(不合題意，舍去)，
當(dāng)m=﹣6時，n=21a，
∵△PBA∽△ABC，
∴ = ，即AB2=BCPB，
∴42= ，
解得，a1= (不合題意，舍去)，a2=﹣ ，
則點P的坐標(biāo)為(﹣6，﹣ )，
綜上所述，符合條件的點P的坐標(biāo)為(﹣4，﹣ )和(﹣6，﹣ );
(3)作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，
則tan∠DAN= = = ，
∴∠DAN=60°，
∴∠EDF=60°，
∴DE= = EF，
∴Q的運動時間t= + =BE+EF，
∴當(dāng)BE和EF共線時，t最小，
則BE⊥DM，y=﹣4 .
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