2016年邵陽市中考數學試題及答案

　　經過三年的學習，就是為了沖刺中考，考上一個好的高中。下面百分網小編為大家帶來一份2016年邵陽市中考的數學試題及答案，希望能對大家有幫助，更多內容歡迎關注應屆畢業生網!

　　一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分

　　1.﹣ 的相反數是(　　)

　　A. B.﹣ C.﹣ D.﹣2

　　2.下面四個手機應用圖標中是軸對稱圖形的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　3.如圖所示，直線AB、CD被直線EF所截，若AB∥CD，∠1=100°，則∠2的大小是(　　)

　　A.10° B.50° C.80° D.100°

　　4.在學校演講比賽中，10名選手的成績統計圖如圖所示，則這10名選手成績的眾數是(　　)

　　A.95 B.90 C.85 D.80

　　5.一次函數y=﹣x+2的圖象不經過的象限是(　　)

　　A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

　　6.分式方程 = 的解是(　　)

　　A.x=﹣1 B.x=1 C.x=2 D.x=3

　　7.一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情況是(　　)

　　A.有兩個相等的實數根 B.有兩個不相等的實數根

　　C.只有一個實數根 D.沒有實數根

　　8.如圖所示，點D是△ABC的邊AC上一點(不含端點)，AD=BD，則下列結論正確的是(　　)

　　A.AC>BC B.AC=BC C.∠A>∠ABC D.∠A=∠ABC

　　9.如圖所示，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O外一點，CA，CD是⊙O的切線，A，D為切點，連接BD，AD.若∠ACD=30°，則∠DBA的大小是(　　)

　　A.15° B.30° C.60° D.75°

　　10.如圖所示，下列各三角形中的三個數之間均具有相同的規律，根據此規律，最后一個三角形中y與n之間的關系是(　　)

　　A.y=2n+1 B.y=2n+n C.y=2n+1+n D.y=2n+n+1

　　二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分

　　11.將多項式m3﹣mn2因式分解的結果是　　　　　　.

　　12.學校射擊隊計劃從甲、乙兩人中選拔一人參加運動會射擊比賽，在選拔過程中，每人射擊10次，計算他們的平均成績及方差如下表：

　　選手 甲 乙

　　平均數(環) 9.5 9.5

　　方差 0.035 0.015

　　請你根據上表中的數據選一人參加比賽，最適合的人選是　　　　　　.

　　13.將等邊△CBA繞點C順時針旋轉∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三點在同一直線上，如圖所示，則∠α的大小是　　　　　　.

　　14.已知反比例函數y= (k≠0)的圖象如圖所示，則k的值可能是　　　　　　(寫一個即可).

　　15.不等式組 的解集是　　　　　　.

　　16.2015年7月，第四十五屆“世界超級計算機500強排行榜”榜單發布，我國國防科技大學研制的“天河二號”以每秒3386×1013次的浮點運算速度第五次蟬聯冠軍，若將3386×1013用科學記數法表示成a×10n的形式，則n的值是　　　　　　.

　　17.如圖所示，四邊形ABCD的對角線相交于點O，若AB∥CD，請添加一個條件　　　　　　(寫一個即可)，使四邊形ABCD是平行四邊形.

　　18.如圖所示，在3×3的方格紙中，每個小方格都是邊長為1的正方形，點O，A，B均為格點，則扇形OAB的面積大小是　　　　　　.

　　三、解答題：本大題共3小題，每小題8分，共24分

　　19.計算：(﹣2)2+2cos60°﹣( )0.

　　20.先化簡，再求值：(m﹣n)2﹣m(m﹣2n)，其中m= ，n= .

　　21.如圖所示，點E，F是平行四邊形ABCD對角線BD上的點，BF=DE，求證：AE=CF.

　　四、解答題：本大題共3小題，每小題8分，共24分

　　22.如圖為放置在水平桌面上的臺燈的平面示意圖，燈臂AO長為40cm，與水平面所形成的夾角∠OAM為75°.由光源O射出的邊緣光線OC，OB與水平面所形成的夾角∠OCA，∠OBA分別為90°和30°，求該臺燈照亮水平面的寬度BC(不考慮其他因素，結果精確到0.1cm.溫馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26， ).

　　23.為了響應“足球進校園”的目標，某校計劃為學校足球隊購買一批足球，已知購買2個A品牌的足球和3個B品牌的足球共需380元;購買4個A品牌的足球和2個B品牌的足球共需360元.

　　(1)求A，B兩種品牌的足球的單價.

　　(2)求該校購買20個A品牌的足球和2個B品牌的足球的總費用.

　　24.為了解市民對全市創衛工作的滿意程度，某中學教學興趣小組在全市甲、乙兩個區內進行了調查統計，將調查結果分為不滿意，一般，滿意，非常滿意四類，回收、整理好全部問卷后，得到下列不完整的統計圖.

　　請結合圖中信息，解決下列問題：

　　(1)求此次調查中接受調查的人數.

　　(2)求此次調查中結果為非常滿意的人數.

　　(3)興趣小組準備從調查結果為不滿意的4位市民中隨機選擇2為進行回訪，已知4為市民中有2位來自甲區，另2位來自乙區，請用列表或用畫樹狀圖的方法求出選擇的市民均來自甲區的概率.

　　五、綜合題：本大題共2小題，其中25題8分，26題10分，共18分

　　25.尤秀同學遇到了這樣一個問題：如圖1所示，已知AF，BE是△ABC的中線，且AF⊥BE，垂足為P，設BC=a，AC=b，AB=c.

　　求證：a2+b2=5c2

　　該同學仔細分析后，得到如下解題思路：

　　先連接EF，利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA，故 ，設PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分別表示出來，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理計算，消去m，n即可得證

　　(1)請你根據以上解題思路幫尤秀同學寫出證明過程.

　　(2)利用題中的結論，解答下列問題：

　　在邊長為3的菱形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，E，F分別為線段AO，DO的中點，連接BE，CF并延長交于點M，BM，CM分別交AD于點G，H，如圖2所示，求MG2+MH2的值.

　　26.已知拋物線y=ax2﹣4a(a>0)與x軸相交于A，B兩點(點A在點B的左側)，點P是拋物線上一點，且PB=AB，∠PBA=120°，如圖所示.

　　(1)求拋物線的解析式.

　　(2)設點M(m，n)為拋物線上的一個動點，且在曲線PA上移動.

　　①當點M在曲線PB之間(含端點)移動時，是否存在點M使△APM的面積為 ?若存在，求點M的坐標;若不存在，請說明理由.

　　②當點M在曲線BA之間(含端點)移動時，求|m|+|n|的最大值及取得最大值時點M的坐標.

 

　　參考答案與試題解析

　　一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分

　　1.﹣ 的相反數是(　　)

　　A. B.﹣ C.﹣ D.﹣2

　　【考點】實數的性質.

　　【分析】根據只有符號不同的兩個數叫做互為相反數解答.

　　【解答】解：﹣ 的相反數是 .

　　故選A.

　　2.下面四個手機應用圖標中是軸對稱圖形的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　【考點】軸對稱圖形.

　　【分析】分別根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的性質對各選項進行逐一分析即可.

　　【解答】解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤;

　　B、是中心對稱圖形，故本選項錯誤;

　　C、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤;

　　D、是軸對稱圖形，故本選項正確.

　　故選D.

　　3.如圖所示，直線AB、CD被直線EF所截，若AB∥CD，∠1=100°，則∠2的大小是(　　)

　　A.10° B.50° C.80° D.100°

　　【考點】平行線的性質.

　　【分析】根據平行線的性質得到∠3=∠1=100°，根據平角的定義即可得到結論.

　　【解答】解：∵AB∥CD，∠3=∠1=100°，

　　∴∠2=180°﹣∠3=80°，

　　故選C.

　　4.在學校演講比賽中，10名選手的成績統計圖如圖所示，則這10名選手成績的眾數是(　　)

　　A.95 B.90 C.85 D.80

　　【考點】眾數;折線統計圖.

　　【分析】根據眾數的定義和給出的數據可直接得出答案.

　　【解答】解：根據折線統計圖可得：

　　90分的人數有5個，人數最多，則眾數是90;

　　故選B.

　　5.一次函數y=﹣x+2的圖象不經過的象限是(　　)

　　A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

　　【考點】一次函數的圖象;一次函數圖象與系數的關系.

　　【分析】根據一次函數的系數確定函數圖象經過的象限，由此即可得出結論.

　　【解答】解：∵一次函數y=﹣x+2中k=﹣1<0，b=2>0，

　　∴該函數圖象經過第一、二、四象限.

　　故選C.

　　6.分式方程 = 的解是(　　)

　　A.x=﹣1 B.x=1 C.x=2 D.x=3

　　【考點】分式方程的解.

　　【分析】觀察可得最簡公分母是x(x+1)，方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解.

　　【解答】解：兩邊都乘以x(x+1)得：3(x+1)=4x，

　　去括號，得：3x+3=4x，

　　移項、合并，得：x=3，

　　經檢驗x=3是原分式方程的解，

　　故選：D.

　　7.一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情況是(　　)

　　A.有兩個相等的實數根 B.有兩個不相等的實數根

　　C.只有一個實數根 D.沒有實數根

　　【考點】根的判別式.

　　【分析】代入數據求出根的判別式△=b2﹣4ac的值，根據△的正負即可得出結論.

　　【解答】解：∵△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×2×1=1>0，

　　∴該方程有兩個不相等的實數根.

　　故選B.

　　8.如圖所示，點D是△ABC的邊AC上一點(不含端點)，AD=BD，則下列結論正確的是(　　)

　　A.AC>BC B.AC=BC C.∠A>∠ABC D.∠A=∠ABC

　　【考點】等腰三角形的性質.

　　【分析】根據等腰三角形的兩個底角相等，由AD=BD得到∠A=∠ABD，所以∠ABC>∠A，則對各C、D選項進行判斷;根據大邊對大角可對A、B進行判斷.

　　【解答】解：∵AD=BD，

　　∴∠A=∠ABD，

　　∴∠ABC>∠A，所以C選項和D選項錯誤;

　　∴AC>BC，所以A選項正確;B選項錯誤.

　　故選A.

　　9.如圖所示，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O外一點，CA，CD是⊙O的切線，A，D為切點，連接BD，AD.若∠ACD=30°，則∠DBA的大小是(　　)

　　A.15° B.30° C.60° D.75°

　　【考點】切線的性質;圓周角定理.

　　【分析】首先連接OD，由CA，CD是⊙O的切線，∠ACD=30°，即可求得∠AOD的度數，又由OB=OD，即可求得答案.

　　【解答】解：連接OD，

　　∵CA，CD是⊙O的切線，

　　∴OA⊥AC，OD⊥CD，

　　∴∠OAC=∠ODC=90°，

　　∵∠ACD=30°，

　　∴∠AOD=360°﹣∠C﹣∠OAC﹣∠ODC=150°，

　　∵OB=OD，

　　∴∠DBA=∠ODB= ∠AOD=75°.

　　故選D.

　　10.如圖所示，下列各三角形中的三個數之間均具有相同的規律，根據此規律，最后一個三角形中y與n之間的關系是(　　)

　　A.y=2n+1 B.y=2n+n C.y=2n+1+n D.y=2n+n+1

　　【考點】規律型：數字的變化類.

　　【分析】由題意可得下邊三角形的數字規律為：n+2n，繼而求得答案.

　　【解答】解：∵觀察可知：左邊三角形的數字規律為：1，2，…，n，

　　右邊三角形的數字規律為：2，22，…，2n，

　　下邊三角形的數字規律為：1+2，2+22，…，n+2n，

　　∴y=2n+n.

　　故選B.

　　二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分

　　11.將多項式m3﹣mn2因式分解的結果是　m(m+n)(m﹣n)　.

　　【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

　　【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可.

　　【解答】解：原式=m(m2﹣n2)=m(m+n)(m﹣n).

　　故答案為：m(m+n)(m﹣n)

　　12.學校射擊隊計劃從甲、乙兩人中選拔一人參加運動會射擊比賽，在選拔過程中，每人射擊10次，計算他們的平均成績及方差如下表：

　　選手 甲 乙

　　平均數(環) 9.5 9.5

　　方差 0.035 0.015

　　請你根據上表中的數據選一人參加比賽，最適合的人選是　乙　.

　　【考點】方差;算術平均數.

　　【分析】根據方差的定義，方差越小數據越穩定.

　　【解答】解：因為S甲2=0.035>S乙2=0.015，方差小的為乙，

　　所以本題中成績比較穩定的是乙.

　　故答案為乙.

　　13.將等邊△CBA繞點C順時針旋轉∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三點在同一直線上，如圖所示，則∠α的大小是　120°　.

　　【考點】旋轉的性質;等邊三角形的性質.

　　【分析】根據旋轉的性質和等邊三角形的性質解答即可.

　　【解答】解：∵三角形ABC是等邊三角形，

　　∴∠ACB=60°，

　　∵等邊△CBA繞點C順時針旋轉∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三點在同一直線上，

　　∴∠BCA'=180°，∠B'CA'=60°，

　　∴∠ACB'=60°，

　　∴∠α=60°+60°=120°，

　　故答案為：120°.

　　14.已知反比例函數y= (k≠0)的圖象如圖所示，則k的值可能是　﹣1　(寫一個即可).

　　【考點】反比例函數的性質.

　　【分析】利用反比例函數的性質得到k<0，然后在此范圍內取一個值即可.

　　【解答】解：∵雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，

　　∴k<0，

　　∴k可取﹣1.

　　故答案為﹣1.

　　15.不等式組 的解集是　﹣2

　　【考點】解一元一次不等式組.

　　【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.

　　【解答】解： ，

　　由①得，x≤1，

　　由②得，x>﹣2，

　　故不等式組的解集為：﹣2

　　故答案為：﹣2

　　16.2015年7月，第四十五屆“世界超級計算機500強排行榜”榜單發布，我國國防科技大學研制的“天河二號”以每秒3386×1013次的浮點運算速度第五次蟬聯冠軍，若將3386×1013用科學記數法表示成a×10n的形式，則n的值是　16　.

　　【考點】科學記數法—表示較大的數.

　　【分析】直接利用科學記數法的表示方法分析得出n的值.

　　【解答】解：3386×1013=3.386×1016，

　　則n=16.

　　故答案為：16.

　　17.如圖所示，四邊形ABCD的對角線相交于點O，若AB∥CD，請添加一個條件　AD∥BC　(寫一個即可)，使四邊形ABCD是平行四邊形.

　　【考點】平行四邊形的判定.

　　【分析】根據平行四邊形的定義或判定定理即可解答.

　　【解答】解：可以添加：AD∥BC(答案不唯一).

　　故答案是：AD∥BC.

　　18.如圖所示，在3×3的方格紙中，每個小方格都是邊長為1的正方形，點O，A，B均為格點，則扇形OAB的面積大小是　 　.

　　【考點】扇形面積的計算.

　　【分析】根據題意知，該扇形的圓心角是90°.根據勾股定理可以求得OA=OB= ，由扇形面積公式可得出結論.

　　【解答】解：∵每個小方格都是邊長為1的正方形，

　　∴OA=OB= = ，

　　∴S扇形OAB= = = .

　　故答案為： .

　　三、解答題：本大題共3小題，每小題8分，共24分

　　19.計算：(﹣2)2+2cos60°﹣( )0.

　　【考點】實數的運算;零指數冪;特殊角的三角函數值.

　　【分析】原式利用乘方的意義，特殊角的三角函數值，以及零指數冪法則計算即可得到結果.

　　【解答】解：原式=4+2× ﹣1

　　=4+1﹣1

　　=4.

　　20.先化簡，再求值：(m﹣n)2﹣m(m﹣2n)，其中m= ，n= .

　　【考點】整式的混合運算—化簡求值.

　　【分析】原式利用完全平方公式，以及單項式乘以多項式法則計算，去括號合并得到最簡結果，把m與n的值代入計算即可求出值.

　　【解答】解：原式=m2﹣2mn+n2﹣m2+2mn=n2，

　　當n= 時，原式=2.

　　21.如圖所示，點E，F是平行四邊形ABCD對角線BD上的點，BF=DE，求證：AE=CF.

　　【考點】平行四邊形的性質;全等三角形的判定與性質.

　　【分析】根據平行四邊形的性質可得AD∥BC，AD=BC，根據平行線的性質可得∠EDA=∠FBC，再加上條件ED=BF可利用SAS判定△AED≌△CFB，進而可得AE=CF.

　　【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

　　∴AD∥BC，AD=BC，

　　∴∠EDA=∠FBC，

　　在△AED和△CFB中，

　　，

　　∴△AED≌△CFB(SAS)，

　　∴AE=CF.

　　四、解答題：本大題共3小題，每小題8分，共24分

　　22.如圖為放置在水平桌面上的臺燈的平面示意圖，燈臂AO長為40cm，與水平面所形成的夾角∠OAM為75°.由光源O射出的邊緣光線OC，OB與水平面所形成的夾角∠OCA，∠OBA分別為90°和30°，求該臺燈照亮水平面的寬度BC(不考慮其他因素，結果精確到0.1cm.溫馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26， ).

　　【考點】解直角三角形的應用.

　　【分析】根據sin75°= = ，求出OC的長，根據tan30°= ，再求出BC的長，即可求解.

　　【解答】解：在直角三角形ACO中，sin75°= = ≈0.97，

　　解得OC≈38.8，

　　在直角三角形BCO中，tan30°= = ≈ ，

　　解得BC≈67.3.

　　答：該臺燈照亮水平面的寬度BC大約是67.3cm.

　　23.為了響應“足球進校園”的目標，某校計劃為學校足球隊購買一批足球，已知購買2個A品牌的足球和3個B品牌的足球共需380元;購買4個A品牌的足球和2個B品牌的足球共需360元.

　　(1)求A，B兩種品牌的足球的單價.

　　(2)求該校購買20個A品牌的足球和2個B品牌的足球的總費用.

　　【考點】二元一次方程組的應用.

　　【分析】(1)設一個A品牌的足球需x元，則一個B品牌的足球需y元，根據“購買2個A品牌的足球和3個B品牌的足球共需380元;購買4個A品牌的足球和2個B品牌的足球共需360元”列出方程組并解答;

　　(2)把(1)中的數據代入求值即可.

　　【解答】解：(1)設一個A品牌的足球需x元，則一個B品牌的足球需y元，

　　依題意得： ，

　　解得 .

　　答：一個A品牌的足球需90元，則一個B品牌的足球需100元;

　　(2)依題意得：20×90+2×100=1900(元).

　　答：該校購買20個A品牌的足球和2個B品牌的足球的總費用是1900元.

　　24.為了解市民對全市創衛工作的滿意程度，某中學教學興趣小組在全市甲、乙兩個區內進行了調查統計，將調查結果分為不滿意，一般，滿意，非常滿意四類，回收、整理好全部問卷后，得到下列不完整的統計圖.

　　請結合圖中信息，解決下列問題：

　　(1)求此次調查中接受調查的人數.

　　(2)求此次調查中結果為非常滿意的人數.

　　(3)興趣小組準備從調查結果為不滿意的4位市民中隨機選擇2為進行回訪，已知4為市民中有2位來自甲區，另2位來自乙區，請用列表或用畫樹狀圖的方法求出選擇的市民均來自甲區的概率.

　　【考點】列表法與樹狀圖法;扇形統計圖;條形統計圖.

　　【分析】(1)由滿意的有20人，占40%，即可求得此次調查中接受調查的人數.

　　(2)由(1)，即可求得此次調查中結果為非常滿意的人數.

　　(3)首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與選擇的市民均來自甲區的情況，再利用概率公式即可求得答案.

　　【解答】解：(1)∵滿意的有20人，占40%，

　　∴此次調查中接受調查的人數：20÷40%=50(人);

　　(2)此次調查中結果為非常滿意的人數為：50﹣4﹣8﹣20=18(人);

　　(3)畫樹狀圖得：

　　∵共有12種等可能的結果，選擇的市民均來自甲區的有2種情況，

　　∴選擇的市民均來自甲區的概率為： = .

　　五、綜合題：本大題共2小題，其中25題8分，26題10分，共18分

　　25.尤秀同學遇到了這樣一個問題：如圖1所示，已知AF，BE是△ABC的中線，且AF⊥BE，垂足為P，設BC=a，AC=b，AB=c.

　　求證：a2+b2=5c2

　　該同學仔細分析后，得到如下解題思路：

　　先連接EF，利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA，故 ，設PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分別表示出來，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理計算，消去m，n即可得證

　　(1)請你根據以上解題思路幫尤秀同學寫出證明過程.

　　(2)利用題中的結論，解答下列問題：

　　在邊長為3的菱形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，E， F分別為線段AO，DO的中點，連接BE，CF并延長交于點M，BM，CM分別交AD于點G，H，如圖2所示，求MG2+MH2的值.

　　【考點】相似三角形的判定;三角形中位線定理.

　　【分析】(1)設PF=m，PE=n，連結EF，如圖1，根據三角形中位線性質得EF∥AB，EF= c，則可判斷△EFP∽△BPA，利用相似比得到PB=2n，PA=2m，接著根據勾股定理得到n2+4m2= b2，m2+4n2= a2，則5(n2+m2)= (a2+b2)，而n2+m2=EF2= c2，所以a2+b2=5c2;

　　(2)利用(1)的結論得MB2+MC2=5BC2=5×32=45，再利用△AEG∽△CEB可計算出AG=1，同理可得DH=1，則GH=1，然后利用GH∥BC，根據平行線分線段長比例定理得到MB=3GM，MC=3MH，然后等量代換后可得MG2+MH2=5.

　　【解答】解：(1)設PF=m，PE=n，連結EF，如圖1，

　　∵AF，BE是△ABC的中線，

　　∴EF為△ABC的中位線，AE= b，BF= a，

　　∴EF∥AB，EF= c，

　　∴△EFP∽△BPA，

　　∴ ，即 = = ，

　　∴PB=2n，PA=2m，

　　在Rt△AEP中，∵PE2+PA2=AE2，

　　∴n2+4m2= b2①，

　　在Rt△AEP中，∵PF2+PB2=BF2，

　　∴m2+4n2= a2②，

　　①+②得5(n2+m2)= (a2+b2)，

　　在Rt△EFP中，∵PE2+PF2=EF2，

　　∴n2+m2=EF2= c2，

　　∴5• c2= (a2+b2)，

　　∴a2+b2=5c2;

　　(2)∵四邊形ABCD為菱形，

　　∴BD⊥AC，

　　∵E，F分別為線段AO，DO的中點，

　　由(1)的結論得MB2+MC2=5BC2=5×32=45，

　　∵AG∥BC，

　　∴△AEG∽△CEB，

　　∴ = = ，

　　∴AG=1，

　　同理可得DH=1，

　　∴GH=1，

　　∴GH∥BC，

　　∴ = = = ，

　　∴MB=3GM，MC=3MH，

　　∴9MG2+9MH2=45，

　　∴MG2+MH2=5.

　　26.已知拋物線y=ax2﹣4a(a>0)與x軸相交于A，B兩點(點A在點B的左側)，點P是拋物線上一點，且PB=AB，∠PBA=120°，如圖所示.

　　(1)求拋物線的解析式.

　　(2)設點M(m，n)為拋物線上的一個動點，且在曲線PA上移動.

　　①當點M在曲線PB之間(含端點)移動時，是否存在點M使△APM的面積為 ?若存在，求點M的坐標;若不存在，請說明理由.

　　②當點M在曲線BA之間(含端點)移動時，求|m|+|n|的最大值及取得最大值時點M的坐標.

　　【考點】二次函數綜合題.

　　【分析】(1)先求出A、B兩點坐標，然后過點P作PC⊥x軸于點C，根據∠PBA=120°，PB=AB，分別求出BC和PC的長度即可得出點P的坐標，最后將點P的坐標代入二次函數解析式即;

　　(2)①過點M作ME⊥x軸于點E，交AP于點D，分別用含m的式子表示點D、M的坐標，然后代入△APM的面積公式 DM•AC，根據題意列出方程求出m的值;

　　②根據題意可知：n<0，然后對m的值進行分類討論，當﹣2≤m≤0時，|m|=﹣m;當0

　　【解答】解：(1)如圖1，令y=0代入y=ax2﹣4a，

　　∴0=ax2﹣4a，

　　∵a>0，

　　∴x2﹣4=0，

　　∴x=±2，

　　∴A(﹣2，0)，B(2，0)，

　　∴AB=4，

　　過點P作PC⊥x軸于點C，

　　∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°，

　　∵PB=AB=4，

　　∴cos∠PBC= ，

　　∴BC=2，

　　由勾股定理可求得：PC=2 ，

　　∵OC=OC+BC=4，

　　∴P(4，2 )，

　　把P(4，2 )代入y=ax2﹣4a，

　　∴2 =16a﹣4a，

　　∴a= ，

　　∴拋物線解析式為;y= x2﹣ ;

　　(2)∵點M在拋物線上，

　　∴n= m2﹣ ，

　　∴M的坐標為(m， m2﹣ )，

　　①當點M在曲線PB之間(含端點)移動時，

　　∴2≤m≤4，

　　如圖2，過點M作ME⊥x軸于點E，交AP于點D，

　　設直線AP的解析式為y=kx+b，

　　把A(﹣2，0)與P(4，2 )代入y=kx+b，

　　得： ，

　　解得

　　∴直線AP的解析式為：y= x+ ，

　　令x=m代入y= x+ ，

　　∴y= m+ ，

　　∴D的坐標為(m， m+ )，

　　∴DM=( m+ )﹣( m2﹣ )=﹣ m2+ m+ ，

　　∴S△APM= DM•AE+ DM•CE

　　= DM(AE+CE)

　　= DM•AC

　　=﹣ m2+ m+4

　　當S△APM= 時，

　　∴ =﹣ m2+ m+4 ，

　　∴解得m=3或m=﹣1，

　　∵2≤m≤4，

　　∴m=3，

　　此時，M的坐標為(3， );

　　②當點M在曲線BA之間(含端點)移動時，

　　∴﹣2≤m≤2，n<0，

　　當﹣2≤m≤0時，

　　∴|m|+|n|=﹣m﹣n=﹣ m2﹣m+ =﹣ (m+ )2+ ，

　　當m=﹣ 時，

　　∴|m|+|n|可取得最大值，最大值為 ，

　　此時，M的坐標為(﹣ ，﹣ )，

　　當0

　　∴|m|+|n|=m﹣n=﹣ m2+m+ =﹣ (m﹣ )2+ ，

　　當m= 時，

　　∴|m|+|n|可取得最大值，最大值為 ，

　　此時，M的坐標為( ，﹣ )，

　　綜上所述，當點M在曲線BA之間(含端點)移動時，M的坐標為( ，﹣ )或(﹣ ，﹣ )時，|m|+|n|的最大值為 .

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