導數的概念是什么及幾何意義

　　我們專升本是以計算為主的,下面讓我們一起學習導數定義以及幾何意義在考試中的考查內容及相關題型的解法吧!以下是小編整理的導數的概念是什么及幾何意義，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

　　導數的概念

　　導數(Derivative)是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f(x)的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'(x0)或df(x0)/dx。

　　導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。如果函數的自變量和取值都是實數的話，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的`概念對函數進行局部的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對于時間的導數就是物體的瞬時速度。

　　不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。然而，可導的函數一定連續;不連續的函數一定不可導。

　　對于可導的函數f(x)，xf'(x)也是一個函數，稱作f(x)的導函數(簡稱導數)。尋找已知的函數在某點的導數或其導函數的過程稱為求導。實質上，求導就是一個求極限的過程，導數的四則運算法則也來源于極限的四則運算法則。反之，已知導函數也可以倒過來求原來的函數，即不定積分。微積分基本定理說明了求原函數與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學中最為基礎的概念。

　　導數的求導法則

　　由基本函數的和、差、積、商或相互復合構成的函數的導函數則可以通過函數的求導法則來推導。基本的求導法則如下：

　　1、求導的線性：對函數的線性組合求導，等于先對其中每個部分求導后再取線性組合(即①式)。

　　2、兩個函數的乘積的導函數：一導乘二+一乘二導(即②式)。

　　3、兩個函數的商的導函數也是一個分式：(子導乘母-子乘母導)除以母平方(即③式)。

　　4、如果有復合函數，則用鏈式法則求導。

　　導數的歷史沿革

　　起源

　　大約在1629年，法國數學家費馬研究了作曲線的切線和求函數極值的方法;1637年左右，他寫一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。在作切線時，他構造了差分f(A+E)-f(A)，發現的因子E就是我們所說的導數f'(A)。

　　發展

　　17世紀生產力的發展推動了自然科學和技術的發展，在前人創造性研究的基礎上，大數學家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開始系統地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱為“流數術”，他稱變量為流量，稱變量的變化率為流數，相當于我們所說的導數。牛頓的有關“流數術”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計算法》和《流數術和無窮級數》，流數理論的實質概括為：他的重點在于一個變量的函數而不在于多變量的方程;在于自變量的變化與函數的變化的比的構成;最在于決定這個比當變化趨于零時的極限。

　　成熟

　　1750年達朗貝爾在為法國科學家院出版的《百科全書》第四版寫的“微分”條目中提出了關于導數的一種觀點，可以用現代符號簡單表示： 。

　　1823年，柯西在他的《無窮小分析概論》中定義導數：如果函數y=f(x)在變量x的兩個給定的界限之間保持連續，并且我們為這樣的變量指定一個包含在這兩個不同界限之間的值，那么是使變量得到一個無窮小增量。19世紀60年代以后，魏爾斯特拉斯創造了ε-δ語言，對微積分中出現的各種類型的極限重加表達。

　　微積分學理論基礎，大體可以分為兩個部分。一個是實無限理論，即無限是一個具體的東西，一種真實的存在;另一種是潛無限理論，指一種意識形態上的過程，比如無限接近。

　　就數學歷史來看，兩種理論都有一定的道理，實無限就使用了150年。

　　光是電磁波還是粒子是一個物理學長期爭論的問題，后來由波粒二象性來統一。微積分無論是用現代極限論還是150年前的理論，都不是最好的方法。

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