高等數學集合與函數知識點

　　在現實學習生活中，是不是聽到知識點，就立刻清醒了？知識點就是掌握某個問題/知識的學習要點。掌握知識點是我們提高成績的關鍵！以下是小編整理的高等數學集合與函數知識點，希望對大家有所幫助。

　　高等數學與函數知識點 1

　　一、集合有關概念

　　1.集合的含義

　　2.集合的中元素的三個特性：

　　（1）元素的確定性如：世界上的山

　　（2）元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H，A，P，Y}

　　（3）元素的無序性：如：{a，b，c}和{a，c，b}是表示同一個集合

　　3.集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

　　（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5}

　　（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　注意：常用數集及其記法：

　　非負整數集（即自然數集）記作：N

　　正整數集：N_或N+

　　整數集：Z

　　有理數集：Q

　　實數集：R

　　1）列舉法：{a，b，c……}

　　2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合{x？R|x—3>2}，{x|x—3>2}

　　3）語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　4）Venn圖：

　　4.集合的分類：

　　（1）有限集含有有限個元素的集合

　　（2）無限集含有無限個元素的集合

　　（3）空集不含任何元素的集合例：{x|x2=—5｝

　　二、集合間的基本關系

　　1.“包含”關系—子集

　　注意：有兩種可能

　　（1）A是B的一部分，；

　　（2）A與B是同一集合。

　　反之：集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，記作AB或BA

　　2.“相等”關系：A=B（5≥5，且5≤5，則5=5） 實

　　例：設A={x|x2—1=0}B={—1，1}“元素相同則兩集合相等”

　　即：

　　①任何一個集合是它本身的子集。AíA

　　②真子集：如果AíB，且A1B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB（或BA）

　　③如果AíB，BíC，那么AíC

　　④如果AíB同時BíA那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

　　規定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　4.子集個數：

　　有n個元素的集合，含有2n個子集，2n—1個真子集，含有2n—1個非空子集，含有2n—1個非空真子集

　　三、集合的運算

　　運算類型交集并集補集

　　定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做A，B的交集。記作AB（讀作‘A交B’），即AB={x|xA，且xB｝。

　　由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A，B的并集。記作：AB（讀作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB}）。

　　高等數學與函數知識點 2

　　一、函數

　　（1）定義：設在某變化過程中有兩個變量x、y，對于x的每一個值，y都有唯一的值與之對應，那么就說x是自變量，y是因變量，此時，也稱y是x的函數。

　　（2）本質：一一對應關系或多一對應關系。

　　有序實數對平面直角坐標系上的點

　　（3）表示方法：解析法、列表法、圖象法。

　　（4）自變量取值范圍：

　　對于實際問題，自變量取值必須使實際問題有意義；

　　對于純數學問題，自變量取值必須保證函數關系式有意義：

　　①分式中，分母≠0；

　　②二次根式中，被開方數≥0；

　　③整式中，自變量取全體實數；

　　④混合運算式中，自變量取各解集的公共部份。

　　二、正比例函數與反比例函數

　　兩函數的異同點

　　三、一次函數（圖象為直線）

　　（1）定義式：y=kx+b（k、b為常數，k≠0）；自變量取全體實數。

　　（2）性質：

　　①k>0，過第一、三象限，y隨x的增大而增大；

　　k<0，過第二、四象限，y隨x的增大而減小。

　　②b=0，圖象過（0，0）；

　　b>0，圖象與y軸的交點（0，b）在x軸上方；

　　b<0，圖象與y軸的交點（0，b）在x軸下方。

　　四、二次函數（圖象為拋物線）

　　（1）自變量取全體實數

　　一般式：y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0），其中（0，c）為拋物線與y軸的交點；

　　頂點式：y=a（x—h）2+k（a、h、k為常數，a≠0），其中（h，k）為拋物線頂點；

　　h=—，k=零點式：y=a（x—x1）（x—x2）（a、x1、x2為常數，a≠0）其中（x1，0）、（x2，0）為拋物線與x軸的交點。x1、x2 =（b 2 —4ac ≥0）

　　（2）性質：

　　①對稱軸：x=—或x=h；

　　②頂點：（—，）或（h，k）；

　　③最值：當x=—時，y有最大（小）值，為或當x=h時，y有最大（小）值，為k；

　　高等數學與函數知識點 3

　　1. 函數的奇偶性

　　(1)若f(x)是偶函數，那么f(x)=f(-x) ；

　　(2)若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則 f(0)=0(可用于求參數)；

　　(3)判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0)；

　　(4)若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性；

　　(5)奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性；偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性；

　　2. 復合函數的有關問題

　　(1)復合函數定義域求法：若已知 的定義域為[a，b]，其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；若已知f[g(x)]的定義域為[a，b]，求 f(x)的定義域，相當于x∈[a，b]時，求g(x)的值域(即 f(x)的定義域)；研究函數的問題一定要注意定義域優先的原則。

　　(2)復合函數的單調性由“同增異減”判定；

　　3.函數圖像（或方程曲線的對稱性）

　　(1)證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上；

　　(2)證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在C2上，反之亦然；

　　(3)曲線C1：f(x，y)=0，關于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a，x+a)=0(或f(-y+a，-x+a)=0)；

　　(4)曲線C1:f(x，y)=0關于點(a，b)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x，2b-y)=0；

　　(5)若函數y=f(x)對x∈R時，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱；

　　(6)函數y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關于直線x= 對稱；

　　4.函數的周期性

　　(1)y=f(x)對x∈R時，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立，則y=f(x)是周期為2a的周期函數；

　　(2)若y=f(x)是偶函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數；

　　(3)若y=f(x)奇函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數；

　　(4)若y=f(x)關于點(a，0)，(b，0)對稱，則f(x)是周期為2 的周期函數；

　　(5)y=f(x)的圖象關于直線x=a，x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期為2 的周期函數；

　　(6)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，則y=f(x)是周期為2 的周期函數；

　　5.方程k=f(x)有解 k∈D(D為f(x)的值域)；

　　a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max； a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min；

　　(1) (a>0，a≠1，b>0，n∈R+)；

　　(2) l og a N= ( a>0，a≠1，b>0，b≠1)；

　　(3) l og a b的符號由口訣“同正異負”記憶；

　　(4) a log a N= N ( a>0，a≠1，N>0 )；

　　6. 判斷對應是否為映射時，抓住兩點：

　　(1)A中元素必須都有象且唯一；

　　(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象。

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