數學知識點:函數的概念
在日復一日的學習中，大家最熟悉的就是知識點吧？知識點也可以通俗的理解為重要的內容。還在苦惱沒有知識點總結嗎？下面是小編為大家收集的數學知識點:函數的概念，僅供參考，歡迎大家閱讀。
數學知識點:函數的概念 1
十七世紀函數概念
十七世紀伽俐略(G.Galileo，意，1564-1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎全部包含函數或稱為變量關系的這一概念，用文字和比例的語言表達函數的關系。1637年前后笛卡爾(Descartes，法，1596-1650)在他的解析幾何中，已注意到一個變量對另一個變量的依賴關系，但因當時尚未意識到要提煉函數概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數的一般意義，大部分函數是被當作曲線來研究的。
1673年，萊布尼茲首次使用“function”(函數)表示“冪”，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用“流量”來表示變量間的關系。
十八世紀函數概念
1718年約翰·柏努利(JohannBernoulli，瑞士，1667-1748)在萊布尼茲函數概念的基礎上對函數概念進行了定義：“由任一變量和常數的任一形式所構成的量。”他的意思是凡變量x和常量構成的式子都叫做x的函數，并強調函數要用公式來表示。1748年，柏努利的學生歐拉在《無窮分析引論》一書中說：“一個變量的函數是由該變量的一些數或常量與任何一種方式構成的解析表達式。
1755，歐拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)把函數定義為“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數。”
18世紀中葉歐拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)給出了定義：“一個變量的函數是由這個變量和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。”他把約翰·貝努利給出的函數定義稱為解析函數，并進一步把它區分為代數函數和超越函數，還考慮了“隨意函數”。不難看出，歐拉給出的函數定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。
十九世紀函數概念
1821年，柯西(Cauchy，法，1789-1857)從定義變量起給出了定義：“在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫做函數。”在柯西的定義中，首先出現了自變量一詞，同時指出對函數來說不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函數關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。
1822年傅里葉(Fourier，法國，1768——1830)發現某些函數也已用曲線表示，也可以用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數的認識又推進了一個新層次。
1837年狄利克雷(Dirichlet，德國，1805-1859)突破了這一局限，認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數概念，指出：“對于在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那么y叫做x的函數。”這個定義避免了函數定義中對依賴關系的描述，以清晰的方式被所有數學家接受。這就是人們常說的經典函數定義。
等到康托(Cantor，德國，1845-1918)創立的集合論在數學中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，1880-1960)用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數定義，通過集合概念把函數的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數”的極限，變量可以是數，也可以是其它對象。
現代函數概念
1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念“序偶”來定義函數，其避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴謹了。
1930年新的現代函數定義為“若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。”
數學知識點:函數的概念 2
一、函數的概念
設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，是對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作：y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域。
注意：
如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合；函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式。
二、構成函數的三要素
定義域、對應關系、值域。
由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等(或為同一函數)。
三、函數圖像知識歸納
（1）定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) ， (x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖像。
C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上，即記為C={ P(x,y) | y= f(x) ， x∈A }。
圖像C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線)，也可能是由與任意平行于Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。
（2）畫法：
A. 描點法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x, y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來。
B. 圖像變換法（請參考必修4三角函數）：常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換
（3）作用：
A. 直觀的看出函數的性質；
B. 利用數形結合的方法分析解題的思路，提高解題的速度。
C. 發現解題中的錯誤。
四、常用的函數表示法及各自的優點
（1）解析法：必須注明函數的定義域——便于算出函數值。
（2）圖像法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域；化簡函數的解析式；觀察函數的特征——便于查出函數值。
（3）列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征——便于量出函數值。
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