關于數學專題復習的幾點看法

　　如何讓每一堂課都有屬于自己的精彩，將每一個知識點在講透徹的前提下又能講得有層次，做到后進生吃的消，中等生吃的飽，優等生吃得好是每一個教師都在關注和思考的問題。下面，我談談關于專題復習的幾點看法。

　　一、合理地創設問題情境

　　合適的情境可以激發學生的學習興趣和尋求知識的欲望，為下一個教學環節的實施打下堅實的基礎。《初中數學課程標準》提出：數學教學應該從學生實際出發，創設有助于學生自主學習的問題情境。因此，創設恰當的問題情境，可以在很大程度上降低學生的認知困難，讓整堂課的教學過程變得順理成章。

　　例如在探究“線段之和最小值”這一問題時，一開始，我便拋出了這一問題：

　　例1：白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河。詩中隱含著一個有趣的數學問題：詩中將軍在觀望烽火之后從山腳上的A點出發，奔向交河旁邊的P點飲馬，飲馬后再到B點宿營，試問怎樣走，才能使總的路程最短？如圖，在定直線l同側有兩個定點A、B，在定直線l上有一動點P，請找到使PA+PB 最短的點P位置。

　　分析：這題主要是利用圖形的軸對稱性，將在直線同側的兩條線段轉變成異側，從而借助“兩點之間線段最短”這一知識點解決問題。歷史情境的加入使得這一道題目一拋出便吸引了學生，激發他們之后對這一問題更深層次的探究的興趣。

　　良好的問題情境可使教學內容觸及學生的情緒和意志領域，吸引學生進一步學習數學，簡單的問題情境則可以讓學生在情境中獲取成功的喜悅，從而有更多的信心去探究新問題。

　　二、遞進式地構建知識

　　學生對知識的理解一般要經歷從未知到已知，從不確定到確定，從表面的掌握到內部的理解這一個過程。因此，在進行專題復習時，教師要特別講究層次性，通過“一題多變”，做到由易到難、由淺入深、層層推進，從而拾級而上。

　　例如在探究“線段之和最小值”這一問題時，為了讓學生能夠很好地掌握這一模型，體會解決這類問題的思維方式，我在引入之后又安排了以下幾個題目：

　　例2：如圖所示，四邊形OABC 為正方形，邊長為6，點A、C分別在X軸， Y軸的正半軸上，點D在OA上，且 點D的坐標為x（2，0）， P是OB上的一動點，試求PD+PA和的最小值是（ ）

　　A. B. C. 4 D.6

　　分析：這個問題緊跟著課堂引入，是“馬飲水模型”最簡單的應用。學生在解決這個問題時，只需先尋找定點關于直線的對稱點，再連接兩點便能求得結果。而正方形這一圖形的加入，讓對稱點的尋找更有指向性，從而簡化解題步驟。

　　例3：如圖，在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x、y軸的`正半軸上，OA=3，OB=4，D為OB邊的中點，E是OA邊上的一個動點，當△CDE的周長最小時，E點坐標為―――。

　　分析：這道題目雖然表面是考察周長最短這一知識點，然而仔細觀察，我們可以發現對于△CDE來說，邊長CD為定值，因此周長最短問題馬上可以轉化為DE+CE之和最短的問題，即“馬飲水模型”。

　　例4： 如圖，矩形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OC=4，D為邊OC的中點，E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形BDEF的周長最小時，點E的坐標為―――。

　　分析：這是上一題的變式，考察四邊形周長最短問題（其中有兩邊為定值），故可以將其轉化為兩邊之和最短這一問題。這一堂課的設計圍繞著“馬飲水模型”展開，每個問題的設置遵循了學生的認知規律和學生的心理發展規律，由簡單到復雜，由直接到間接，層層推進，在夯實基礎內容的前提下，激發學生新的思潮和靈感，從而造就創新的產生。

　　三、及時地歸納總結模型

　　每一道幾何題目背后都有著一定的法則和規律，建立恰當的模型，可以起到事半功倍的效果。模型的建立又非一朝一夕，需要同學們在大量的實戰做題中培養出來。因此，在幾何復習時，及時地、有意識地歸納總結一些模型是教學過程中必不可少的環節。下面就 “一線三等角”模型展示其在解題過程中的高效作用。

　　例5：如圖，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，點P為BC邊上一動點（不與點B、C重合），過點P作射線PM交AC于點M，使∠APM=∠B;

　　（1）求證：△ABP∽△PCM;

　　（2）設BP=x，CM=y.求 y與x的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍。

　　（3）當△APM為等腰三角形時，求PB的長。

　　分析：這是“一線三等角”模型的經典題型。根據模型，學生很快可以將第一個問題解決，之后借助相似三角形的對應邊成比例解決第二個問題。第三個問題利用分類討論思想進行邊的討論從而解決。

　　例6：如圖，經過原點的拋物線y=-x2+2mx（m>0）與x軸的另一個交點為A。過點P（1，m）作直線PM⊥x軸于點M，交拋物線于點B.記點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C（B、C不重合）。連接CB，CP。

　　（1）當m=3時，求點A的坐標及BC的長;

　　（2）當m>1時，連接CA，問m為何值時CA⊥CP？

　　（3）過點P作PE⊥PC且PE=PC，問是否存在m，使得點E落在坐標軸上？若存在，求出所有滿足要求的m的值，并定出相對應的點E坐標;若不存在，請說明理由。

　　分析：在這道題目中，一眼看去，沒有明顯的“一線三等角”模型。然而CA⊥CP的存在，引導學生通過添輔助線去構造“一線三等角”模型，再借助相似三角形解決這個問題。而“一線三等角”模型的構造降低了這道題目的難度，讓學生深感模型的優勢。

　　學生不僅要會解決那些具有明顯模型特征的題目，還要對特征并不明顯的題目也能具備添加輔助線去挖掘圖形當中的隱藏屬性的能力。這種能力的培養，需要教師在平時注重滲透，做到 “深挖洞，廣積糧”，方可在碰到問題時實現方法的最優化，避免走太多的彎路。

　　在幾何專題復習中，教師要達到預期的效果，必須事先要進行大量的收集、整理，歸納總結各類問題，形成一定的體系，從而在課堂上做到有的放矢，發揮最大的課題效果，為社會培養更多的優秀人才。

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