關(guān)于奧數(shù)題約數(shù)倍數(shù)問題及答案

　　約數(shù)倍數(shù)：(高等難度)

　　若 a , b , c 是三個互不相等的大于0的自然數(shù)，且a + b + c = 1155 ，則它們的最大公約數(shù)的最大值為()，最小公倍數(shù)的最小值為()，最小公倍數(shù)的最大值為()

　　約數(shù)倍數(shù)答案：

　　解答：165、660、57065085

　　1) 由于a + b + c = 1155，而1155=3×5×7×11。令a=mp，b=mq，c=ms.m為a，b，c的最大公約數(shù)，則p+q+s最小取7。此時m=165.

　　2) 為了使最小公倍數(shù)盡量小，應(yīng)使三個數(shù)的最大公約數(shù)m盡量大，并且使A，B，C的最小公倍數(shù)盡量小，所以應(yīng)使m=165，A=1，B=2，C=4，此時三個數(shù)分別為165，330，660，它們的最小公倍數(shù)為660，所以最小公倍數(shù)的最小值為660。

　　3) 為了使最小公倍數(shù)盡量小，應(yīng)使三個數(shù)兩兩互質(zhì)且乘積盡量大。當(dāng)三個數(shù)的和一定時，為了使它們的.乘積盡量大，應(yīng)使它們盡量接近。由于相鄰的自然數(shù)是互質(zhì)的，所以可以令1155=384+385+386，但是在這種情況下384和386有公約數(shù)2，而當(dāng)1155=383+385+387時，三個數(shù)兩兩互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)為383×385×387=57065085，即最小公倍數(shù)的最大值為57065085。

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