奧數期末自測題答案解析素材

　　1.已知a，b，c，d都是正數，并且

　　a+d

　　求證：ac+bd

　　2.已知甲種商品的原價是乙種商品原價的1.5倍.因市場變化，乙種商品提價的百分數是甲種商品降價的百分數的2倍.調價后，甲乙兩種商品單價之和比原單價之和提高了2%，求乙種商品提價的百分數.

　　3.在銳角三角形ABC中，三個內角都是質數.求三角形的三個內角.

　　4.某工廠三年計劃中，每年產量遞增相同，若第三年比原計劃多生產1000臺，那么每年比上一年增長的百分數就相同，而且第三年的產量恰為原計劃三年總產量的一半，求原計劃每年各生產多少臺?

　　z=|x+y|+|y+1|+|x-2y+4|，

　　求z的最大值與最小值.

　　8.從1到500的自然數中，有多少個數出現1或5?

　　9.從19，20，21，，98這80個數中，選取兩個不同的數，使它們的和為偶數的選法有多少種?

　　答案解析：

　　1.由對稱性，不妨設ba，則

　　ac+bdac+ad=a(c+d)

　　2.設乙種商品原單價為x元，則甲種商品的原單價為1.5x元.設甲商品降價y%，則乙商品提價2y%.依題意有

　　1.5x(1-y%)+x(1+2y%)=(1.5x+x)(1+2%)，

　　化簡得

　　1.5-1.5y+1+2y=2.51.02.

　　所以y=0.1=10%，

　　所以甲種商品降價10%，乙種商品提價20%.

　　3.因為B+C=180，所以A，B，C中必有偶數.唯一的偶質數為2，所以

　　C=2.

　　所以

　　B=178.

　　由于需A，B為奇質數，這樣的解不唯一，如

　　4.設每年增產d千臺，則這三年的每一年計劃的千臺數分別為a-d，a，a+d.依題意有

　　解之得

　　所以三年產量分別是4千臺、6千臺、8千臺.

　　不等式組：

　　所以 x

　　無解.

　　6.設原式為S，則

　　所以

　　又

　　0.112-0.001=0.111.

　　因為

　　所以

　　=0.105

　　即為所求.

　　7.由|x|1，|y|1得

　　-11，-11.

　　所以

　　y+10，

　　x-2y+4-1-21+4=10.

　　所以

　　z=|x+y|+(y+1)+(x-2y+4)

　　=|x+y|+x-y+5.

　　(1)當x+y+0時，

　　z=-(x+y)+x-y+5=5-2y.

　　由-11可推得37，所以這時，z的`最小值為3、最大值為7.

　　(2)當x+y0時，

　　z=(x+y)+(x-y+5)=2x+5.

　　由-11及可推得37，所以這時z的最小值為3、最大值為7.

　　由(1)，(2)知，z的最小值為3，最大值為7.

　　8.百位上數字只是1的數有100，101，，199共100個數;十位上數字是1或5的(其百位上不為1)有

　　2310=60(個).

　　個位上出現1或5的(其百位和十位上都不是1或5)有

　　238=48(個).

　　再加上500這個數，所以，滿足題意的數共有

　　100+60+48+1=209(個).

　　9.從19到98共計80個不同的整數，其中有40個奇數，40個偶數.第一個數可以任選，有80種選法.第一個數如果是偶數，第二個數只能在其他的39個偶數中選取，有39種選法.同理，第一個數如果是奇數，第二個數也有39種選法，但第一個數為a，第二個為b與第一個為b，第二個為a是同一種選法，所以總的選法應該折半..

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