小學數(shù)學難題巧妙解題方法
文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數(shù)學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。
連比法
把應用題中的數(shù)量關系巧妙地轉化為連比，不僅可使有些問題順利獲解，而且還可以培養(yǎng)學生思維的靈活性，提高解題能力。
例1 某廠有三個車間，第一車間工人數(shù)是第二車間工人數(shù)的5倍，第三車間的工人數(shù)等于第一、二兩個車間工人數(shù)之和。已知第一車間比第三車間少52人，問三個車間共有多少工人?
依題意知，一車間人數(shù)與二車間人數(shù)的比是5∶1;三車間人數(shù)是5+1=6(份)。因此，第一、二、三車間工人數(shù)的連比是5∶1∶6，故三個車間共有工人：
例2 A、B、C三人共做零件900個，A做總數(shù)的30%，B比C多做
一般思路：
A做 900×30%=270(個)
由條件知，B、C做的個數(shù)比是(1+3)∶3=4∶3，A與B和C做的個數(shù)比是30%∶(1-30%)=3∶7，而4+3恰好等于7。
所以A、B、C三人所做零件個數(shù)的連比是3∶4∶3，總份數(shù)3+4+3=10.
例3 有一水槽，裝有甲、乙注水管和丙放水管，槽空時，單開甲管5分鐘可以注滿，單開乙管10分鐘可以注滿，槽滿時開丙管15分鐘可以放完。現(xiàn)在甲、乙、丙三管齊開，2分鐘后閉上乙管，問還需幾分鐘可以注滿水槽?
連比法：〔30-(6+3-2)×2〕÷(6-2)=4(分鐘)
算理：根據(jù)連比可知，把總工作量平均分成30份，甲、乙兩管開1分鐘分別注進6份和3份，丙管開1分鐘放出2份。三管齊開進(6+3-2)份，閉上乙管1分鐘進(6-2)份，故有上式。
若設待植棵數(shù)“1”，則算式為
若設已植了x棵，由題意
用連比解：
例5 煤礦中學有數(shù)學、美術、音樂三個研究小組，數(shù)學組人數(shù)是總數(shù)的
解：∵數(shù)學組人數(shù)∶總數(shù)=3∶5，∴美音總人數(shù)∶總數(shù)=2∶5，而
美音總人數(shù)∶美術組人數(shù)∶音樂組人數(shù)=8∶3∶5。所以
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聯(lián)想
聯(lián)想是由一事物想到另一事物的心理過程。它能夠把一事物與其它事物的某些共同點，聯(lián)系起來思維，是一種不依常規(guī)、尋求變異的思維形式，是創(chuàng)造思維的核心。對應用題的條件和問題進行全面剖析聯(lián)想，解一步、看兩步、想到第三步，多方探求答案，是發(fā)散思維的基礎，解題優(yōu)化的先導。
例1今有面值3分和8分的郵票共50張，總值3.25元，兩種郵票各多少張?
聯(lián)想《雞兔同籠》問題，可這樣理解：將兩種郵票看作兩種動物，只有3只腳一個頭和8只腳一個頭的動物50個，腳共為325只，這兩種動物各有多少個?
8分郵票(325-3×50)÷(8-3)=35(張)
3分郵票50-35-15(張)
或(8×50-325)÷(8-3)=15(張)
根據(jù)小學生的思維特點，當兩個量含有倍數(shù)(或分率)、相差關系時，用線段圖形象地揭示它們之間的數(shù)量關系是有效的分析方法。
據(jù)圖縱橫聯(lián)想：
(一)由條件“乙給甲200本”可想到：
①現(xiàn)乙比原乙少200本;
②現(xiàn)甲比原甲多200本;
③總量未變;
④等量關系：原甲=現(xiàn)乙、原乙=現(xiàn)甲、原乙(現(xiàn)甲)-原甲(現(xiàn)乙)=200(本);
③原甲(現(xiàn)乙)：原乙(現(xiàn)甲)=5∶(2+5)=5∶7。
通過上述剖析聯(lián)想，學生頓開茅塞。衍生出求問題：“作家乙原有書多少本?”的思路：可由總數(shù)求，也可由原甲(現(xiàn)乙)求，還可直接求。解題思路越開闊，迅速作出判斷的靈感和能力也就越強。鼓勵學生爭論，克服從眾心理，培養(yǎng)競爭意識，學生興趣盎然，對算式與算理各抒己見。
(1)先求總數(shù)
此解的關鍵是200對應總數(shù)的分率，由于原乙與現(xiàn)甲、原甲與現(xiàn)乙可等量代換。其解法如下：
=700(本)(以下各式略)
(2)先求原甲(現(xiàn)乙)
(一)原甲→總數(shù)→所求
(二)現(xiàn)乙→所求
(3)直接求
直覺思維，由布魯納提出。是一種粗線條的、簡約的、瞬間綜合的，不按邏輯程序進行的思維形式。它通過對客觀事物的敏銳觀察、整體感知實質、憑借已有的知識和經(jīng)驗，進行緊張思考，準確判斷，跳越邏輯法則，采用捷徑直接解決問題。
在肯定這些解法的認知結構有創(chuàng)造性的基礎上，誘導進一步觀察線段圖推敲題意，學生的直覺思維將得到開拓。算式為
200×3+100 100×5+100
200×4-100 100×7
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列表看看
例1 甲乙兩人共需做140個零件。甲做自己任務的80%，乙做自己任務的75%，這時甲乙共剩下32個零件未完成。問各需做多少個?
由題意，知甲乙已完成108(140-32)個，甲剩自己任務的20%(1-80%)，乙剩自己任務的25%(1-75%)。為計算方便，先把甲項或乙項中的數(shù)量變?yōu)橄嗤渌嚓P數(shù)量順理轉化。
可見：個數(shù)欄內(nèi)下比上多20個，是因為乙欄內(nèi)下比上多
25%，這二者是相對應的，由此得：
甲需做20÷25%=80(個)
乙需做140-80=60(個)
當題目因缺乏某一條件難以解答時，可假設出所需條件，作為輔助已知數(shù)，然后在增加條件的情況下研究解題方法。
例2 一登山運動員從山腳到山頂，再原路返回，他上山的速度是每小時4千米，下山的速度是每小時6千米，這個運動員上下山的平均速度為每小時多少千米?
從上表可看出，從山腳到山頂?shù)穆烦滩徽撌嵌嗌伲钠骄俣榷际?.8千米。因此可以設路程為“1”，則往返的路程為1×2，1÷4，1÷6分別為往返的時間。得后種解法。
例3 一個正好裝12千克油的桶裝滿了油，想從中倒出6千克。但沒有6千克的容器，也沒有秤，僅有一個8千克和一個5千克的容器。怎樣的倒法才能使8千克容器中恰好裝了6千克的油?
用列表方法，說明這題的兩種解法：
解法一：
解法二：
例4 智力題：某商店規(guī)定，話梅五分錢一個、三個話梅核可換一個話梅。小勇買了八角錢的話梅，你知道他最多可以吃到多少個話梅嗎?
可見：第一次用八角錢可買話梅80÷5=16(個)，同時有16個話梅核。
第二次用第一次吃剩的16個話梅核去換話梅，可換5個，還余1個話梅核;同時吃了5個話梅，就留有5個話梅核，共計6個。
第三次用6個話梅核去換2個話梅，吃了2個，還剩下兩個話梅核。
第四次在處理2個話梅核時，有兩種方法：其一，先借1個話梅核，湊全了3個換吃1個話梅，將吃剩的話梅核作歸還;其二，先借吃1個話梅，將吃剩的1個話梅核與原先剩的2個話梅核湊齊，換來1個話梅作歸還。這樣，用2個話梅核便能換吃1個話梅。
他最多可以吃到16+5+2+1=24(個)話梅。
最佳思路：根據(jù)上述分析，用2個話梅核就能換吃1個話梅，于是每買2個話梅，實際上能吃到3個話梅，買話梅的個數(shù)與實際吃到的話梅個數(shù)的比是2∶3.這樣，用八角錢能買16個話梅，可吃到
3×(16÷2)=24(個) 或
也可這樣解：按規(guī)定，每買1個話梅，就可用吃剩的1個話梅核，換回
依次下去，實際上能吃到的話梅的個數(shù)應是：
q1=1，故
列 舉 法
這是一種不完全歸納法，有些抽象。結論難以確定正誤時，根據(jù)需要既要列舉一些有代表性的數(shù)據(jù)(如0與1)，也要照顧到各種情況，否則會出現(xiàn)以偏概全的錯誤。通過觀察計算，從中得到啟示，找出規(guī)律，確定結論是否成立。
例5 一個數(shù)乘以真分數(shù)，積一定小于這個數(shù)。( )
顯然，結論中的“一定”不確切。
例6 判斷，圓心角一定，扇形的半徑與面積成不成比例。( )
用公式推導，繁雜不易理解。列舉些數(shù)據(jù)：
設圓心角為45°，r為半徑，S為面積。
當r=1時，S=0.3925;
當r=2時，S=1.57;
當r=3時，S=3.5325;
當r=4時，S=6.28.
r與S的比值或積都不一定，因而扇形的半徑與面積不成比例。
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邏輯推理
例1 從代號為A、B、C、D、E、F六名刑警中挑選若干人執(zhí)行任務。人選配備要求：
(1)A、B兩人中至少去1人;
(2)A、D不能一起去;
(3)A、E、F三人中派2人去;
(4)B、C兩人都去或都不去;
(5)C、D兩人中去1人;
(6)若D不去，則E也不去。
應派誰去?為什么?
可這樣思考：由條件(1)，
假設A去B不去，由(2)知D不去，由(5)知C一定去。這樣，則與條件(4)B、C兩人都去或都不去矛盾。
假設A、B都去，由(2)知D不去，由(5)知C一定去，由(6)知E不去，由(3)知F一定去。無矛盾，(4)也符合。
故應由A、B、C、F四人去。
例2 河邊有四只船，一個船夫，每只船上標有該船到達對岸所需的時間。如果船夫一次劃兩只船過河，按花費時間多的那只船計算，全部劃到對岸至少要用幾分鐘?
至少要用2+1+10+2+2=17(分鐘)
例3甲、乙、丙三人和三只熊A、B、C同時來到一條河的南岸，都要到北岸去。現(xiàn)在只有一條船，船上只能載兩個人或兩只熊或一個人加一只熊，不管什么情況，只要熊比人數(shù)多，熊就會把人吃掉。人中只有甲，熊中只有A會劃船，問怎樣才能安全渡河?
這里只給出一種推理方法：
枚舉法
把問題分為既不重復，也不遺漏的有限種情況，一一列舉問題的解答，最后達到解決整個問題的目的。
例4 公社每個村準備安裝自動電話。負責電話編碼的雅琴師傅只用了1、2、3三個數(shù)字，排列了所有不相同的三位數(shù)作電話號碼，每個村剛好一個，這個公社有多少個村?
運用枚舉法可以很快地排出如下27個電話號碼：
所以該公社有 27(3×9)個村。
例5 國小學數(shù)學奧林匹克，第二次(1980年12月)3題：一個盒中裝有7枚硬幣：2枚1分的，2枚5分的，2枚10分的，1枚25分的。每次取出兩枚，記下它們的和，然后放回盒中，如此反復。那么記下的和至多有多少種不同的數(shù)?
枚舉出兩枚硬幣搭配的所有情況
共有9種可能的和。
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模式法
在解決問題時，尋找模式的思考方法是一種十分有效的策略。運用這種方法時，從問題的最簡單例子或其變式著手，根據(jù)這些具體例子來發(fā)現(xiàn)其中的模式或規(guī)則，然后以此來獲取問題的一般解。
尋找模式，提出并檢驗猜想以及用公式表示判斷準則，雖然不是數(shù)學的全部內(nèi)容，但它們是數(shù)學思想、思維、概括數(shù)學知識的核心問題。
例1 階梯問題：造4步的階梯需要方塊10個，造10步的階梯需要多少塊?造20步的需要多少塊?
4步的階梯，第一步用1塊，第二步用2塊(右邊第二列)，第三步用3塊，等等。
加起來就得到所需的總數(shù)：
1+2+3+4=10
建造10步的階梯，可從四步的階梯開始首先加上第五步的5塊這一列，隨之是第六步的6塊這一列，等等，直到第10步。總數(shù)是：
1+2+3+……+9+10=55(塊)
不難發(fā)現(xiàn)這樣的模式：每加上一步所需的塊數(shù)正好是這一步的順序數(shù)。因此把1到20的整數(shù)相加就可得到20步階梯的方塊總數(shù)。然而要計算這個總和比較麻煩。要直接得到這個總和，除非有個計算公式。如果學生不熟悉這種公式，則可以從以下的數(shù)字資料中去尋找可能模式：
4步階梯 需要10塊
10步階梯 需要55塊
能否察覺步數(shù)與所需塊數(shù)之和間的關系?從僅有的兩個例子來發(fā)現(xiàn)模式是有困難的，需要考察更多的特殊例子。為此可把一些比較簡單的例子集中起來，將有關數(shù)據(jù)記錄在表中。
讓學生試著去發(fā)現(xiàn)步數(shù)與所需塊數(shù)之間的關系。因關系很不明顯，學生只能看出得數(shù)是整數(shù)。這時如能作出一個猜想，并進而檢驗這個猜想，便是解決這個問題的良好開端。學生可以思考4與10、5與15、7與28等等有著怎樣的關系。
幾次“追蹤”后，可給學生指出(4×5)÷2=10，同樣地(5×6)÷2=15。于是學生似乎感到有法則可依循。然后再一起來檢驗這個法則：(6×7)÷2=21，……(10×11)÷2=55，學生猜測幾步階梯所需的方塊數(shù)總和是由公式n(n+1)÷2來確定的。在這個時候學生有理由相信20步階梯所需的總塊數(shù)是(20×21)÷2=210。但還不能完全肯定這個結果。
我們所以要尋求規(guī)律，目的是要能夠以此作出一個可以導致解決問題的一般公式的猜想或假設。但這必須小心謹慎，因為往往會出現(xiàn)所作的猜想對列舉的例子是成立的，而對于一般化的問題卻不成立的情況。
只有猜想得到了證明，才是求得了一般解的公式，為此必須確立猜想的有效性。可以通過以下兩者之一來實現(xiàn)：
(1)歸納。證明法則在第一個例子中是成立的、假定對某個給定的例子的前面所有例子都成立，證明某個給定的例子后一個例子也成立，由此可證得猜想成立。
(2)演繹。根據(jù)已知的事實，通過邏輯推理而導出。只有在這時猜想才可稱作判斷準則。如果能找出一個不滿足猜想的例子，則就足以否定猜想的有效性。
怎樣確定階梯的步數(shù)與所需的塊數(shù)之間的假設關系是有效的呢?學生猜測所需的.方塊數(shù)是由n(n+1)÷2式確定的。n是步數(shù)，學生可以通過實驗來驗證這個猜想。在建造階梯的過程中學生已經(jīng)看到，如果有n步，需要的塊數(shù)是前n個自然數(shù)的和，即
1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n
如果第一個數(shù)加最后一個數(shù)，和是n+1;第二個數(shù)加上倒數(shù)第二個數(shù)，得2+(n-1)=n+1;第三個數(shù)加上倒數(shù)第三個數(shù)，得3+(n-2)=n+1。同樣的方法連續(xù)配對相加，各對數(shù)的和均是n+1。
這就是所作的猜想。這樣，就得到了判斷前n個自然數(shù)的和的方法即法則，同時也解決了原先的問題。
例2 根據(jù)模式
你能預測下圖的結果嗎?
仔細審視考察表：
可以作出何種猜想?分析這個表可發(fā)現(xiàn)區(qū)域數(shù)是由公式2n-1確定的，其中n是點子數(shù)。n=1、2、3、4、5都是正確的。
根據(jù)相應的法則，6個點的區(qū)域數(shù)應是數(shù)26-1=32，但實際上不是這個數(shù)字，而是30或31(見圖)。所以這個猜想不能概括為法則。
小學數(shù)學難題解法大全之巧妙解題方法（十六）
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逆推
也稱倒推法。思考的途徑是從題目的問題出發(fā)，倒著推理，逐步靠攏已知條件，直到解決問題。有些題目用順推法頗感困難，而用倒推法解卻能化難為易。
例1 一種細菌每小時可增長1倍，現(xiàn)有一批這樣的細菌，10小時可增長到100萬個。問增長到25萬個時需要幾小時?
因為細菌每小時增長1倍，所以增長到25萬個后再經(jīng)過1小時就可以增長到25×2=50(萬個)，增長到50萬個后又經(jīng)過1小時就可以增長到50×2=100(萬個)。
從25萬個增長到100萬個要用1+1=2(小時)，所以增長到25萬個時需要10-2=8(小時)。
把第二天運走后再余下的噸數(shù)看作單位“1”，還剩下的12噸占第二天
又把第一天運走后余下的噸數(shù)看作單位“1”， 16噸貨占第一天運走
=30(噸)
例3(國外有趣的故事題)傳說捷克的公主柳布莎，決定她所要嫁的人必須能解下面的問題：一只籃中有若干李子，取出它的一半又一枚給第一人，再取出其余的一半又一枚給第二人，又取出最后所余的一半又一枚給第三人，那末籃中的李子就沒有剩余。籃內(nèi)有李子多少枚?
逆推法：〔(3×2+1)×2+1〕×2
=〔7×2+1〕×2
=15×2
=30(枚)
若抓住“1”的轉移，算式為
例4 甲、乙兩人從1開始輪流報數(shù)，每人每次只能輪流報1至3個連續(xù)自然數(shù)，如甲報1、2，乙可報3或3、4;或3、4、5，誰先報到100誰勝;乙怎樣報才能獲勝?
解題分析：如果某一次乙報后還剩下100或99、100;或98、99、100，那么甲取勝，乙則敗。但是乙要取勝，他倒數(shù)第二次報后必須剩下4個數(shù)，使甲一次不能報完。因為100是4的倍數(shù)，甲先報，無論甲報幾個數(shù)，乙只要報自己報的數(shù)字個數(shù)與甲報的個數(shù)加起來是4。這樣，剩下的數(shù)字個數(shù)總是4的倍數(shù)，乙定獲勝。
例5 有甲、乙兩堆小球，各有小球若干，如果按照下列規(guī)律挪動小球;第一次從甲堆拿出和乙堆同樣多的小球放到乙堆，第二次從乙堆拿出和甲堆剩下的同樣多的小球放到甲堆，那么如此挪動四次后，甲、乙兩堆的所有小球恰好都是16個，問甲、乙兩堆小球最初各有多少個?
此題用逆推法列表分析如下：
從表中可明顯看出甲堆最初有21個小球，乙堆有11個。
小學數(shù)學難題解法大全之巧妙解題方法（十五）
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巧虛構
虛構求解是一種重要的數(shù)學思維方法，可幫助我們從困境中解脫出來，是假設法的一種。
例1 我國運動員為參加十一屆亞運會進行長跑訓練。跑10000米的時
設過去跑10000米需要21分鐘，那么縮短的時間為1分鐘，現(xiàn)在所需的時間為20分鐘，因此過去與現(xiàn)在所需時間的比為21∶20。
根據(jù)路程一定，速度與時間成反比例，則過去與現(xiàn)在的速度比為20∶21。所求為
(21-20)÷20=5%
例2 甲、乙、丙三人進行競走比賽。甲按某一速度的2倍走完全程的一半，又按某一速度的一半，走完余下的路程。乙在一半的時間內(nèi)，按某一速度的2倍行走，在另一半的時間內(nèi)，卻按某一速度的一半行走。丙始終按某一速度走完了全程。問誰先到達目的地?誰最后到達目的地?
設三人競走的全程為400米，某一速度為每分鐘行100米。那么甲行完全程需要的時間為(400÷2)÷(100×2)+(400÷2)÷(100÷2)=5(分鐘)。
又設乙行完全程的時間為x分鐘，則得：
解得 x=3.2
丙行完全程的時間為400÷100=4(分鐘)
例3 A、B、C、D、E五個代表隊參加某項知識競賽，結果的得分情況是這樣的：
A隊比B隊多50分;…………………………………①
C隊比A隊少70分;…………………………………②
B 隊比D隊少30分;…………………………………③
E隊比C隊多80分。………………………………④
請按各隊的得分的多少，給這五個隊排一個先后名次。分析：從這四個關系中解出五個隊的得分數(shù)是不可能的。于是，我們可以給這五個隊中任意一個隊虛構一個分數(shù)，并由此逐個算出其四個隊的分數(shù)(當然也是虛構的)最終以這些虛構的分數(shù)來回答名次的排序問題。
解：設A隊得200分。
則由①知：B隊得200-50=150(分)
由②知：C隊得200-70=130(分)
由③知：D隊得150+30=180(分)
由④知：E隊得130+80=210(分)
名次為E、A、D、B、C。
例4 劉師傅和古師傅加工同一種零件。劉加工的零件
傅加工這種零件的技術水平是否相同?如果不同誰的技術好些?
分析：比較兩人技術水平的高低，可以比在同一時間內(nèi)誰加工的零件數(shù)多，也可以比加工同樣數(shù)量的零件誰用的時間少。
現(xiàn)在問題中既沒有給出兩位師傅各自加工的零件數(shù)、也沒給出他們加工零件所用的具體時間數(shù)。并且這兩種量的具體數(shù)值是求不出來的。和前面的一樣，可任我們虛構。
=2(小時)。
所以劉師傅平均每小時加工的零件數(shù)為
古師傅平均每小時加工的零件數(shù)為
30÷2=15(個)
顯然，古師傅的技術水平高一些。
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