試論數學思想方法研究意義

　　【編者按】數學同其它各門學科一樣，在其發展的過程中，形成了一系列適合于自身特點的思想方法。這些思想方法不斷為人們所掌握和運用，并創造出一個又一個成果。過去對數學成果本身的收集、分析與說明較為重視，發表了許多論著，這是有益的。但是，由于種種原因，對數學思想方法的考察與研究卻有所忽略。而正因為對數學思想方法缺乏應有的重視，所以，在一定程度上影響了數學成果的取得和數學人才的培養。因此，把數學思想方法作為一個獨立領域加以研究，從方法論的高度，探討其對象、內容、功能以及孕育、形成與發展的規律，無疑對數學的發展與哲學的研究，都是有重要意義的。

　　從數學發展史上看，長期以來，數學家們對自己所從事研究領域的思想方法是重視的，并有許多發明和創造。但是，對數學思想方法本身尤其是把它作為一個獨立的領域或學問來進行研究，卻是很不夠的。究其原因，主要是對數學思想方法研究的意義缺乏應有的認識，那么，研究數學思想方法到底有何意義呢?

　　一、有利于培養數學能力與改革數學教育

　　我們知道，數學教育的根本目的在于培養數學能力，即運用數學解決實際問題和進行發明創造的本領，而這種能力和本領，不僅表現在對數學知識的記憶，而且更主要地反映在數學思想方法的素養。事實上，我們說一個人數學能力強，有數學才能，并不簡單指他記憶了多少數學知識，而主要是說他運用數學思想方法解決實際問題和創造數學理論的本領。伽羅華之所以創立群論，羅巴切夫斯基之所以創立非歐幾何，維納之所以創立控制論，不僅僅在于數學知識的積累與記憶，而主要是由于他們在數學思想方法上實行了革命性的變革所致。對一個科技工作者來說，需要記憶的數學知識可多可少，但掌握數學思想方法則是絕對必要的，因為后者是創造的源泉，發展的基礎，也是數學能力的集中體現。在過去的數學教育中，正是因為過于重視知識的傳授和背誦，而忽略思想方法的講解和分析，加之傳統的考試制度，所以出現了“高分低能”的現象。要想改變這種狀況，就要狠抓數學思想方法的研究與教學，并把它作為數學教育改革的重要內容，堅持下去，取得成效。

　　二、有利于充分發揮數學的功能

　　數學功能的發揮，同數學能力的培養一樣，關鍵不在于知識的積累與傳遞，而在于思想方法的領會、運用以及創造新的思想方法上面。實踐越來越證明，數學在科學技術各領域、社會科學各部門以及生產、生活的各行各業，都有廣泛的應用。這是因為，任何事物都是量與質的統一體，要想真正的認識某一事物，不僅要把握其質的規定性，而且還要了解其量的規定性，因此，數學能夠應用于各種物質運動形態。馬克思曾指出：一門科學只有當它達到了能夠運用數學時，才算真正發展了。那么怎樣在各方面更加廣泛地應用數學呢?我們認為，加強數學教育，特別是加強數學思想方法的教育，是至關重要的。數學的科學功能的發揮，主要是靠數學思想方法向科學各領域的滲透與移植，把數學作為一種工具加以運用，從而促進其發展。當代科學數學化的趨勢明顯地反映出這一點。數學的`思維功能的發揮也是如此。我們說數學是一種思維工具，實質上就是指它的思想方法。為什么往往通過數學的考核來判定一個兒童的思維能力與智力水平呢?其根據也在這里。至于數學的社會功能的發揮，同樣還是靠數學思想方法的運用。我們說某人辦事有數學頭腦，無非是說他能靈活地運用數學思想方法。歐拉作為一位數學家，之所以不僅在代數、數論、微積分等數學分支研究上取得了突出成果，而且還在力學、物理學、天文學、航海、造船、建筑等許多非數學領域與部門做出重大貢獻，集中到一點就是他具有深刻的數學思想和非凡的運用數學解決實際問題的才能。這也是他之所以能成為數學史上著名應用數學大師的根本原因所在。

　　三、有利于深刻認識數學本質與全面把握數學發展規律

　　在數學思想方法的研究中，我們可以通過對數學內容辯證性質的探討，進一步認識數學的本質。馬克思和恩格斯在自己的著作中，都對微積分內容的辯證性質作過精辟的分析，并從而概括其本質。馬克思在《數學手稿》中，著重對導函數概念作了探討。他認為，導函數生成的過程就是原函數經歷了“否定之否定”的發展過程，并深刻指出：“理解微積分運算時的全部困難（正像理解否定的否定本身時那樣），恰恰在于要看到微積分運算是怎樣區別于這樣簡單手續并因此導出實際結果的。”恩格斯在談到微積分的本質時，也曾經明確指出：“變數的數學-其中最重要的部分是微積分-本質上不外是辯證法在數學方面的運用”。事實上，微積分中所運用的思想方法，實質上就是辯證法。就拿微積分中最基本的牛頓-萊布尼茨公式來說，就是通過常量與變量的相互轉化而推得的。本來作為曲邊梯形面積的定積分是一個確定的常量，但為了推導牛頓-萊布尼茨公式，卻特地把此定積分看作是上限函數，即把常量轉化為變量。然后，在證明一個定理成立的基礎上，又反過來把變量轉化為常量，最終得到了這一公式。因此，我們可以說，牛頓-萊布厄茨公式就是常量與變量辯證統一的結果。

　　關于通過數學思想方法的研究，可更加全面把握數學規律的問題，前面已經講過，它可從數學內部的矛盾運動這個側面來發現和認識規律，以彌補過去只注重從外面研究的不足。比如，在關于數學潛形態的研究中，一方面可以提高對數學新思想萌發和形成規律的認識，另一方面，還可以加強對數學由“潛”到“顯”轉化機制的掌握。研究表明：對新事實的解釋、對理論體系自身矛盾的研究、對個體結論的推廣等，均是科學新思想產生的有效途徑;樹立科學成效觀、積極開展自由論爭、大力倡導科學伯樂精神、實行科學的組織管理等，都是加速科學由“潛”到“顯”轉化的重要機制。這對深入探討數學由“潛”到“顯”轉化的規律，顯然具有啟示意義和參考價值。

　　總之，數學思想方法的研究，具有十分重要而深遠的意義。我們相信，數學思想方法作為一個獨立的研究領域，必將不斷取得新的研究成果，為數學、自然科學、教育科學與哲學的發展，做出應有的貢獻。

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