數學思想方法的突破

　　一、模糊數學產生的背景

　　模糊數學是在特定的歷史背景中產生的，它是數學適應現代科學技術需要的產物。

　　首先，現實世界中存在著大量模糊的量，對這類量的描述和研究需要一種新的數學工具。我們知道，現實世界中的量是多種多樣的，如果按著界限是否分明，可把這無限多樣的量分為兩類：一類是明晰的，另一類是模糊的。實踐表明，在自然界、生產、科學技術以及生活中，模糊的量是普遍存在的。例如“高壓”、“低溫”、“偏上”、“適度”、“附近”、“美麗”、“溫和”、“老年”、“健康”等等。這些概念作為現實世界事物和現象的狀態反映，在量上是沒有明晰界限的。

　　模糊數學產生之前的數學，只能精確地描述和研究那些界限分明的量，即明晰的量，把它們用于描述和研究模糊的量就失效了。對那些模糊的量，只有用一種“模糊”的方法去描述和處理，才能使結果符合實際。因此，隨著社會實踐的深化和科學技術的發展，對“模糊”數學方法進行研究也就成為十分必要的了。

　　其次，電子計算機的發展為模糊數學的誕生準備了搖籃。自本世紀40年代電子計算機問世以來，電子計算機在生產、科學技術各領域的應用日益廣泛。電子計算機發展的一個重要方向是模擬人腦的思維，以便能處理生物系統、航天系統以及各種復雜的社會系統。而人腦本身就是一種極其復雜的`系統。人腦中的思維活動之所以具有高度的靈活性，能夠應付復雜多變的環境，一個重要原因是邏輯思維和非邏輯思維同時在起作用。一般說來，邏輯思維活動可用明晰數學來描述和刻畫，而非邏輯思維活動卻具有很大的模糊性，無法用明晰數學來描述和刻劃。因此，以二值邏輯為理論基礎的電子計算機，也就無法真實地模擬人腦的思維活動，自然也就不具備人腦處理復雜問題的能力。這對電子計算機特別是人工智能的發展，無疑是一個極大的障礙。為了把人的自然語言算法化并編入程序，讓電子計算機能夠描述和處理那些具有模糊量的事物，從而完成更為復雜的工作，就必須建立起一種能夠描述和處理模糊的量及其關系的數學理論。這就是模糊數學產生的直接背景。

　　模糊數學的創立者是美國加利福尼亞大學的札德教授。為了改進和提高電子計算機的功能，他認真研究了傳統數學的基礎-集合論。他認為，要想從根本上解決電子計算機發展與數學工具局限性的矛盾，必須建立起一種新的集合理論。1965年，他發表了題為《模糊集合》的論文，由此開拓出了模糊數學這一新的數學領域。

　　二、模糊數學的理論基礎

　　明晰數學的理論基礎是普通集合論，模糊數學的理論基礎則是模糊集合論。札德也正是從模糊集合論著手，建立起模糊數學的。

　　模糊集合論與普通集合論的根本區別，在于兩者賴以存在的基本概念-集合的意義不同。普通集合論的基本概念是普通集合即明晰集合。對于這種集合，一個事物與它有著明確的隸屬關系，要么屬于這個集合，要么不屬于這個集合，兩者必居其一，不可模棱兩可。如果用函數關系式表示，可寫成

　　這里的A(u)稱為集合A的特征函數。特征函數的邏輯基礎是二值邏輯，它是對事物“非此即彼”狀態的定量描述，但不能用于刻劃某些事物在中介過渡時所呈現出的“亦此亦彼”性。例如，取A為老年人集合，u為一個年齡為50歲的人，我們拿不出什么令人信服的理由來確定A(u)的值是1還是0.這正是普通集合論的局限之所在。

　　與普通集合不同，模糊集合的邏輯基礎是多值邏輯。對于這種集合，一個事物與它沒有“屬于”或“不屬于”這種絕對分明的隸屬關系，因而也就不能用特征函數A(u)來描述。那么，怎樣才能定量地描述模糊集合的性質和特征呢?模糊集合論的創立者札德給出了隸屬函數的概念，用以代替普通集合論中的特征函數概念。隸屬函數的實質，是將特征函數由二值{0，1｝推廣到[0，1]閉區間上的任意值。通常把隸屬函數表示為μ(u)，它滿足

　　0≤μ(u)≤1（或記作μ(u)∈[0，1]）

　　有了隸屬函數概念，就可給模糊集合下一個準確的定義了。札德在1965年的論文中給出了如下的定義：

　　隸屬函數的選取是一個較為復雜的問題，目前還沒有一個固定和通用的模式，它依問題的不同可以有不同的表達形式。在許多情況下，它是憑借經驗或統計分析確定的。

　　例如，某小組有五名同學，記作u1，u2，u3，u4，u5，取論域.現在取為由“性格穩重”的同學組成的集合，顯然這是一個模糊集合。為確定每個同學隸屬于的程度，我們分別給每個同學的性格穩重程度打分，按百分制給分，再除以100.

　　這里實際上就是求隸屬函數，如果打分的結果是

　　u1得85分，u2得75分，u3得98分，u4得30分，u5得60分

　　那么隸屬函數的值應是

　　可表示為

　　還可表示為

　　或

　　普通集合與模糊集合有著內在的聯系，這可由特征函數A(u)和隸屬函數的關系來分析。事實上，當隸屬函數只取[0,1]閉區間的兩端點值0，1時，隸屬函數也就退化為特征函數A(u)，從而模糊子集也就轉化為普通集合A.這就表明普通集合是模糊集合的特殊情況，模糊集合是普通集合的推廣，它們既相互區別，又相互聯結，而且在一定條件下相互轉化。正因為有此內在的聯系，決定了模糊數學可以廣泛地使用明晰數學的方法，從明晰數學到模糊數學存在著由此達彼的橋梁。

　　模糊數學作為一門新興的數學學科，雖然它的歷史很短，但由于它是在現代科學技術迫切需要下應運而生的，因而對于它的研究，無論是基礎理論還是實際應用，都得到了迅速的發展。

　　就其基礎理論而言，模糊數學研究的課題已涉及到廣泛的范圍，如模糊數、模糊關系、模糊矩陣、模糊圖、模糊映射和變換、模糊概率、模糊判斷、模糊規劃、模糊邏輯、模糊識別和模糊控制等。

　　在應用方面，模糊數學的思想與方法正在廣泛滲透到科學和技術的各個領域，如物理學、化學、生物學、醫學、心理學、氣象學、地質學、經濟學、語言學、系統論、信息論、控制論和人工智能等。同時，在工農業生產的許多部門已取得明顯的社會效益。

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