高一關(guān)于集合間的基本關(guān)系的數(shù)學(xué)知識點歸納
【例1】
已知集合M={x|x=m+ ，m∈Z}，N={x|x= ，n∈Z}，P={x|x= ，p∈Z}，則M，N，P滿足關(guān)系
A） M=N P B） M N=P C） M N P D） N P M
分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一：對于集合M：{x|x= ，m∈Z}；對于集合N：{x|x= ，n∈Z}，
對于集合P：{x|x= ，p∈Z}，由于3（n—1）+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以M N=P，故選B。
分析二：簡單列舉集合中的元素。
解答二：M={…， ，…}，N={…， ， ， ，…}，P={…， ， ，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。
= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，
變式：設(shè)集合 ， ，則（ B ），
A。M=N B。M N C。N M D。
解：
當(dāng) 時，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選B
【例2】
定義集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1，3，5，7}，B={2，3，5}，則A*B的子集個數(shù)為A）1 B）2 C）3 D）4。
分析：確定集合A*B子集的個數(shù)，首先要確定元素的個數(shù)，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。
解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1，7}，有兩個元素，故A*B的'子集共有22個。選D。
變式1：已知非空集合M {1，2，3，4，5}，且若a∈M，則6？a∈M，那么集合M的個數(shù)為？
A）5個 B）6個 C）7個 D）8個
變式2：已知{a，b} A {a，b，c，d，e}，求集合A。
解：由已知，集合中必須含有元素a，b。
集合A可能是{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}。
評析 本題集合A的個數(shù)實為集合{c，d，e}的真子集的個數(shù)，所以共有 個 。
【例3】
已知集合A={x|x2+px+q=0}，B={x|x2？4x+r=0}，且A∩B={1}，A∪B={？2，1，3}，求實數(shù)p，q，r的值。
解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12？4×1+r=0，r=3。
∴B={x|x2？4x+r=0}={1，3}， ∵A∪B={？2，1，3}，？2 B， ∴？2∈A
∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的兩根為—2和1，
∴ ∴
變式：已知集合A={x|x2+bx+c=0}，B={x|x2+mx+6=0}，且A∩B={2}，A∪B=B，求實數(shù)b，c，m的值。
解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m？2+6=0，m=—5
∴B={x|x2—5x+6=0}={2，3} ∵A∪B=B ∴
又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=—（2+2）=4，c=2×2=4
∴b=—4，c=4，m=—5
【例4】
已知集合A={x|（x—1）（x+1）（x+2）>0}，集合B滿足：A∪B={x|x>—2}，且A∩B={x|1
分析：先化簡集合A，然后由A∪B和A∩B分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于B，哪些元素不屬于B。
解答：A={x|—21}。由A∩B={x|1—2}可知[—1，1] B，而（—∞，—2）∩B=ф。
綜合以上各式有B={x|—1≤x≤5}
變式1：若A={x|x3+2x2—8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0}，已知A∪B={x|x>—4}，A∩B=，求a，b。（答案：a=—2，b=0）
變式2：設(shè)M={x|x2—2x—3=0}，N={x|ax—1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。
解答：M={—1，3} ， ∵M∩N=N， ∴N M
�、佼�(dāng) 時，ax—1=0無解，∴a=0 ②
綜①②得：所求集合為{—1，0， }
【例5】
已知集合 ，函數(shù)y=log2（ax2—2x+2）的定義域為Q，若P∩Q≠，求實數(shù)a的取值范圍。
分析：先將原問題轉(zhuǎn)化為不等式ax2—2x+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。
解答：（1）若 ， 在 內(nèi)有有解
令 當(dāng) 時，
所以a>—4，所以a的取值范圍是
變式：若關(guān)于x的方程 有實根，求實數(shù)a的取值范圍。
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