關于數學思想方法研究的對象與范圍
一、數學思想方法的歷史演進
對數學思想方法作為歷史的考察，并分析其演變、發展的規律是數學思想方法研究的首要內容。其具體可分為兩大類：第一，數學思想方法的系統進化，即從整體上進行研究。比如，從古至今，數學思想方法發生了多少次重大轉折，每一次轉折如從算術到代數、從綜合幾何到幾何代數化、從常量數學到變量數學、從必然數學到或然數學、從明晰數學到模糊數學以及從手工證明到機器證明等，都是怎樣孕育和產生的，其要點和作用是什么，均屬于這一類。第二，數學思想方法的個體發育，主要是研究每一個數學思想產生、演變和發展的規律，以及本身的特征，在數學發展中的作用和方法論價值等。廣義一點講，從思想方法角度來研究概念、運算、公式、定理乃至學科產生發展的歷史，也可看成是此類研究的范圍。
二、數學的思維方式與數學研究的基本方法
數學的主要思維方式是什么?這是數學家們歷來關注的一個重要問題。本世紀初以來，圍繞什么是數學的基礎問題的討論，逐步形成了三個不同的學派，即邏輯派，直黨派與形式公理派。如果從思維方式上看數學基礎問題的討論，可以說，在邏輯主義學派看來，數學的主要思維方式是邏輯思維；在直覺主義學派看來，數學的主要思維方式是直覺（或靈感）思維；在形式主義學派看來，數學的主要思維方式是以符號為特征的純粹的抽象思維。到底什么是數學的主要思維方式?辯證思維在數學尤其是高等數學中占有怎樣的.地位?仍是一些尚待解決的問題。
數學中的一些常用方法，諸如公理法、模型法、構造法、解析法、遞歸法、極限法、逐次逼近法、統計法、對偶法、關系映射反演法、數學歸納法、反證法等，這是大家所熟悉的。那么，數學中到底有哪些基本方法?每個方法又是怎樣產生和發展的，其特征和作用如何?這是一些具有重要方法論價值且至今沒有很好解決的研究課題。
三、數學家的思想方法
數學家是在數學研究中做出貢獻的人，而數學家之所以取得成果做出貢獻，又往往與他在思想方法上實行某種變革有關，因此，考察與剖析數學家特別是著名數學家的思想方法，是把握數學思想方法的重要方面，也是探討數學創造規律，加強數學人才培養不可缺少的研究內容。眾所周知，古今中外有許多著名數學家，如歐幾里得、劉徽、祖沖之、笛卡兒、牛頓、萊布尼茨、歐拉、高斯、羅巴切夫斯基、伽羅華、康托爾、希爾伯特、彭加勒、維納、馮·諾伊曼、魯濱遜、札德、托姆、華羅庚等，不僅在數學研究中取得重大成果，而且在思想方法上也都有獨到之處，甚至是實行了革命性的變革。遺憾的是，以往對他們的成果記載比較詳盡，而對他們的思想方法卻考究很少，這不能不說是過去數學史研究中的一大缺陷。通過對數學家思想方法的挖掘與評論，可以使人們樹立起“作出成果是貢獻，創造思想方法是更大貢獻”的觀念，并將其作為評價數學家的重要方面之一。
四、數學學派的思想方法
如果說某一數學家的思想方法較為隱蔽，難以考證，不易作出準確的分析，那么數學學派卻不然，因為它本身往往就是通過某一特殊的思想方法把大家聯系在一起的，或者說，是因為思想方法不同而劃分成不同派的，因而，它的思想方法是較為明顯，容易作出判斷的。比如，前面提到的本世紀初以來形成的邏輯派、直覺派與形式公理派，其思想方法十分鮮明。本世紀30年代，在法國出現的布爾巴基學派，其思想方法也是非常明確的。他們認為，數學是以數學結構作為研究對象的科學，主張用數學結構（代數結構、序結構和拓撲結構）概括全部數學，所謂數學的理論發展，無非是各種結構的建成、改進與擴充而已。一句話，他們的數學思想方法就是數學結構主義。在數學結構主義指導下，經30多年的努力，到1973年共出版《數學原本》36卷，為數學發展作出了巨大貢獻。不僅如此，他們治學的思想方法，也有許多獨到之處，像學術討論上的“無情批判”，組織成員上的“自由流動”，撰寫論著上的“分工合作”等，都是很成功的，值得認真總結。當然，要完整、準確地概括某一學派的思想方法的實質、特點、歷史與作用，也是相當困難的。
五、數學的潛形態及其向顯形態轉化的機制
所謂“數學潛形態”有兩個含義：第一，從科學認識角度看，任何數學成果都有一個由孕育到成熟、由潛到顯的過程，存在一個孕育階段，我們就把孕育階段的數學思想稱之為“數學潛形態”，如數學問題、數學猜想、數學悖論等；第二，從數學發展的曲折性看，它指的是“處于待顯階段的數學成果”，因為一個數學成果取得后，并非都立即得到數學界的承認，而由于種種原因，往往被忽視、排斥、壓制、埋沒、拋棄、扼殺，有一個蒙難的歷程，我們就把雖然在認識上已達到顯階段，但并沒有被人們確認的，仍然處于“潛在階段”的數學成果，也叫做“數學潛形態”。這里，主要是研究數學潛形態的產生、演變、特征、作用及其向數學顯形態的轉化機制等。
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