考研數(shù)學導數(shù)的重點和應用
考研的導數(shù)的由來深淵，應用也很廣泛，出題比例大，考生要重點學習。小編為大家精心準備了考研數(shù)學導數(shù)的重點和應用指南，歡迎大家前來閱讀。
考研數(shù)學有哪些導數(shù)的重點和應用
【導數(shù)定義和求導要注意的】
第一，理解并牢記導數(shù)定義。導數(shù)定義是考研數(shù)學的出題點，大部分以選擇題的形式出題，01年數(shù)一考一道選題，考查在一點處可導的充要條件，這個并不會直接教材上的導數(shù)充要條件，他是變換形式后的，這就需要同學們真正理解導數(shù)的定義，要記住幾個關鍵點：
1)在某點的領域范圍內(nèi)。
2)趨近于這一點時極限存在，極限存在就要保證左右極限都存在，這一點至關重要，也是01年數(shù)一考查的點，我們要從四個選項中找出表示左導數(shù)和右導數(shù)都存在且相等的選項。
3)導數(shù)定義中一定要出現(xiàn)這一點的函數(shù)值，如果已知告訴等于零，那極限表達式中就可以不出現(xiàn)，否就不能推出在這一點可導，請同學們記清楚了。
4)掌握導數(shù)定義的不同書寫形式。
第二，導數(shù)定義相關計算。這里有幾種題型：1)已知某點處導數(shù)存在，計算極限，這需要掌握導數(shù)的廣義化形式，還要注意是在這一點處導數(shù)存在的前提下，否則是不一定成立的。
第三，導數(shù)、可微與連續(xù)的關系。函數(shù)在一點處可導與可微是等價的，可以推出在這一點處是連續(xù)的，反過來則是不成立的，相信這一點大家都很清楚，而我要提醒大家的是可導推連續(xù)的逆否命題：函數(shù)在一點處不連續(xù)，則在一點處不可導。這也常常應用在做題中。
第四，導數(shù)的計算。導數(shù)的計算可以說在每一年的考研數(shù)學中都會涉及到，而且形式不一，考查的方法也不同。要能很好的掌握不同類型題，首先就需要我們把基本的導數(shù)計算弄明白：1)基本的求導公式。指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)這些基本的初等函數(shù)導數(shù)都是需要記住的，這也告訴我們在對函數(shù)變形到什么形式的時候就可以直接代公式，也為后面學習不定積分和定積分打基礎。2)求導法則。求導法則這里無非是四則運算，復合函數(shù)求導和反函數(shù)求導，要求四則運算記住求導公式;復合函數(shù)要會寫出它的復合過程，按照復合函數(shù)的求導法則一次求導就可以了，也是通過這個復合函數(shù)求導法則，我們可求出很多函數(shù)的導數(shù);反函數(shù)求導法則為我們開辟了一條新路，建立函數(shù)與其反函數(shù)之間的導數(shù)關系，從而也使我們得到反三角函數(shù)求導公式，這些公式都將要列為基本導數(shù)公式，也要很好的理解并掌握反函數(shù)的求導思路，在13年數(shù)二的考試中相應的考過，請同學們注意。3)常見考試類型的求導。通常在考研中出現(xiàn)四種類型：冪指函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程和抽象函數(shù)。這四種類型的求導方法要熟悉，并且可以解決他們之間的'綜合題，有時候也會與變現(xiàn)積分求導結合，94年，96年，08年和10年都查了參數(shù)方程和變現(xiàn)積分綜合的題目。
第五，高階導數(shù)計算。高階導數(shù)的計算在歷年考試出現(xiàn)過，比如03年，07年，10年，都以填空題考查的，00年是一道解答題。需要同學們記住幾個常見的高階導數(shù)公式，將其他函數(shù)都轉化成我們這幾種常見的函數(shù)，代入公式就可以了，也有通過求一階導數(shù)，二階，三階的方法來找出他們之間關系的。這里還有一種題型就是結合萊布尼茨公式求高階導數(shù)的，00年出的題目就是考察的這兩個知識點。
【導數(shù)的應用】
導數(shù)的應用主要有以下幾種：(1)切線和法線;(2)單調(diào)性;(3)極值;(4)凹凸性;(5)拐點;(6)漸近線;(7)(曲率)(只有數(shù)一和數(shù)二的考);(8)經(jīng)濟應用(只有數(shù)三的考)。我們一一說明每個應用在考研中有哪些注意的。
▶切線和法線
主要是依據(jù)導數(shù)的幾何意義，得出曲線在一點處的切線方程和法線方程。
▶單調(diào)性
在考研中單調(diào)性主要以四種題型考查，第一：求已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;第二：證明某函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào);第三：不等式證明;第四：方程根的討論。這些題型都離不開導數(shù)的計算，只要按照步驟計算即可。做題過程中要仔細分析每種的處理方法，多加練習。
▶極值
需要掌握極值的定義、必要條件和充分條件即可。
▶凹凸性和拐點
考查的內(nèi)容也是其定義、必要條件、充分條件和判別法。對于這塊內(nèi)容所涉及到的定義定理比較多，使很多同學弄糊涂了，所以希望同學們可以列表對比學習記憶。
▶漸近線
當曲線上一點M沿曲線無限遠離原點時，如果M到一條直線的距離無限趨近于零，那么這條直線稱為這條曲線的漸近線。需要注意的是：并不是所有的曲線都有漸近線，漸近線反映了某些曲線在無限延伸時的變化情況。根據(jù)漸近線的位置，可將漸近線分為三類：垂直漸近線、水平漸近線、斜漸近線。
考研中會考察給一曲線計算漸近線條數(shù)，計算順序為垂直漸近線、水平漸近線、斜漸近線。
▶條數(shù)計算
垂直漸近線就直接算就可以了，有幾條算幾條，而水平漸近線和斜漸近線要分別x趨于正無窮計算一次，和x趨于負無窮計算一次，當趨于正無窮和負無窮的水平漸近線或者斜漸近線相同則計為一條漸近線，若是不同，則計為兩條漸近線。另外，在趨于正無窮或者負無窮時，有水平漸近線就不會有斜漸近線。
▶曲率
這塊屬于導數(shù)的物理應用，這塊是數(shù)一數(shù)二的同學考的，需要掌握曲率、曲率半徑、曲率圓。理解并記清楚公式。
▶導數(shù)的經(jīng)濟應用
導數(shù)的經(jīng)濟學應用是數(shù)三特考的，這個主要是考察彈性，邊際利潤，邊際收益等。記住公式會計算即可。
希望同學們多加練習，弄清楚每種題型的主要解題思路，結合不同的出題方式，將知識點和題型結合起來。切記：熟能生巧，萬變不離其綜。
考研數(shù)學沖刺高數(shù)各部分考察形式分析
1、函數(shù)、極限與連續(xù)。主要考查極限的計算或已知極限確定原式中的常數(shù)、討論函數(shù)連續(xù)性和判斷間斷點類型、無窮小階的比較、討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間上零點的個數(shù)或確定方程在給定區(qū)間上有無實根。求分段函數(shù)的復合函數(shù);求極限或已知極限確定原式中的常數(shù);討論函數(shù)的連續(xù)性，判斷間斷點的類型;無窮小階的比較;討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間上零點的個數(shù)，或確定方程在給定區(qū)間上有無實根。這一部分更多的會以選擇題，填空題，或者作為構成大題的一個部件來考核，關鍵是要對這些概念有本質(zhì)的理解，在此基礎上找習題強化。
2、一元函數(shù)微分學。主要考查導數(shù)與微分的定義、各種函數(shù)導數(shù)與微分的計算、利用洛比達法則求不定式極限、函數(shù)極值、方程的的個數(shù)、證明函數(shù)不等式、與中值定理相關的證明、最大值、最小值在物理、經(jīng)濟等方面實際應用、用導數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖形、求曲線漸近線。求給定函數(shù)的導數(shù)與微分(包括高階導數(shù))，隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導，特別是分段函數(shù)和帶有絕對值的函數(shù)可導性的討論;利用洛比達法則求不定式極限;討論函數(shù)極值，方程的根，證明函數(shù)不等式;利用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理證明有關命題，此類問題證明經(jīng)常需要構造輔助函數(shù);幾何、物理、經(jīng)濟等方面的最大值、最小值應用問題，解這類問題，主要是確定目標函數(shù)和約束條件，判定所討論區(qū)間;利用導數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖形，求曲線漸近線。
3、一元函數(shù)積分學。主要考查不定積分、定積分及廣義積分的計算、變上限積分的求導、極限等、積分中值定理和積分性質(zhì)的證明、定積分的應用，如計算旋轉面面積、旋轉體體積、變力作功等計算題：計算不定積分、定積分及廣義積分;關于變上限積分的題：如求導、求極限等;有關積分中值定理和積分性質(zhì)的證明題;定積分應用題：計算面積，旋轉體體積，平面曲線弧長，旋轉面面積，壓力，引力，變力作功等;綜合性試題。這一部分主要以計算應用題出現(xiàn)，只需多加練習即可。
4、向量代數(shù)和空間解析幾何。計算題：求向量的數(shù)量積，向量積及混合積;求直線方程，平面方程;判定平面與直線間平行、垂直的關系，求夾角;建立旋轉面的方程;與多元函數(shù)微分學在幾何上的應用或與線性代數(shù)相關聯(lián)的題目。這一部分的難度在考研數(shù)學中應該是相對簡單的，找輔導書上的習題練習，需要做到快速正確的求解。
5、多元函數(shù)的微分學。主要考查偏導數(shù)存在、可微、連續(xù)的判斷、多元函數(shù)和隱函數(shù)的一階、二階偏導數(shù)、多元函數(shù)極值或條件極值在與經(jīng)濟上的應用、二元連續(xù)函數(shù)在有界平面區(qū)域上的最大值和最小值。此外，數(shù)學一還要求會計算方向導數(shù)、梯度、曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線判定一個二元函數(shù)在一點是否連續(xù)，偏導數(shù)是否存在、是否可微，偏導數(shù)是否連續(xù);求多元函數(shù)(特別是含有抽象函數(shù))的一階、二階偏導數(shù)，求隱函數(shù)的一階、二階偏導數(shù);求二元、三元函數(shù)的方向導數(shù)和梯度;求曲面的切平面和法線，求空間曲線的切線與法平面，該類型題是多元函數(shù)的微分學與前面向量代數(shù)與空間解析幾何的綜合題，應結合起來復習;多元函數(shù)的極值或條件極值在幾何、物理與經(jīng)濟上的應用題;求一個二元連續(xù)函數(shù)在一個有界平面區(qū)域上的最大值和最小值。這部分應用題多要用到其他領域的知識，在復習時要引起注意，可以找一些題目做做，找找這類題目的感覺。
6、多元函數(shù)的積分學。包括二重積分在各種坐標下的計算，累次積分交換次序。數(shù)一還要求掌握三重積分，曲線積分和曲面積分以及相關的重要公式。二重、三重積分在各種坐標下的計算，累次積分交換次序;第一型曲線積分、曲面積分計算;第二型(對坐標)曲線積分的計算，格林公式，斯托克斯公式及其應用;第二型(對坐標)曲面積分的計算，高斯公式及其應用;梯度、散度、旋度的綜合計算;重積分，線面積分應用;求面積，體積，重量，重心，引力，變力作功等。
7、微分方程。主要考查一階微分方程的通解或特解、二階線性常系數(shù)齊次和非齊次方程的特解或通解、微分方程的建立與求解。差分方程的基本概念與一介常系數(shù)線形方程求解方法。求典型類型的一階微分方程的通解或特解：這類問題首先是判別方程類型，求線性常系數(shù)齊次和非齊次方程的特解或通解;根據(jù)實際問題或給定的條件建立微分方程并求解;綜合題，常見的是以下內(nèi)容的綜合：變上限定積分，變積分域的重積分，線積分與路徑無關，全微分的充要條件，偏導數(shù)等。
考研數(shù)學微積分的難點
一、夯實基礎
事實上，數(shù)學三考微積分相關內(nèi)容的題目都不是太難，但是出題老師似乎對基本計算及應用情有獨鐘，所以對基礎知識扎扎實實地復習一遍是最好的應對方法。閱讀教材雖然是奠定基礎的一種良方，但參考一下一些輔導資料，如《微積分過關與提高》等，能夠有效幫助同學們從不同角度理解基本概念、基本原理，加深對定理、公式的印象，增加基本方法及技巧的攝入量。對基本內(nèi)容的復習不能只注重速度而忽視質(zhì)量。在看書時帶著思考，并不時提出問題，這才是好的讀懂知識的方法。
二、關注重點知識
在看教材及輔導資料時要依三大塊分清重點、次重點、非重點。閱讀數(shù)學圖書與其他文藝社科類圖書有個區(qū)別，就是內(nèi)容沒有那么強的故事性，同時所述理論有一定抽象性，所以在此再一次提醒同學們讀書需要不斷思考其邏輯結構。比如在看函數(shù)極限的性質(zhì)中的局部有界性時，能夠聯(lián)系其在幾何上的表現(xiàn)來理解，并思考其實質(zhì)含義及應用。三大塊內(nèi)容中，一元函數(shù)的微積分是基礎，定義一元函數(shù)微積分的極限及微積分的主要研究對象——函數(shù)及連續(xù)是基礎中的基礎。這個部分也是每年必定會出題考查的，必須引起注意。多元函數(shù)微積分，主要是二元函數(shù)微積分，這個部分大家需要記很多公式及解題捷徑。無窮級數(shù)和常微分方程與差分方程部分的重點很容易把握，考點就那幾個，需要注意的是其與實際問題結合出題的情況。
三、適度做題
大量做題是學習數(shù)學區(qū)別與其他文科類科目的最大區(qū)別。在大學里，我們常常會看到，平時不斷輾轉于各自習室占坐埋頭苦干的多數(shù)是學數(shù)學的，而那些平時總抱著小說看，還時不時花前月下的同學多半是文科院系的。并不是對兩個院系的同學有什么詬病，這種狀況只是所學專業(yè)特點使然。在備考研究生考試數(shù)學的時候，如果充分了解其特點，就能對癥下藥。微積分的選擇及填空題考查的是基本知識的掌握程度及技巧的靈活運用，可做做《考研數(shù)學客觀題1500題》，必定能達到所希望的結果。微積分的解答題注重計算及綜合應用能力，平時多做這方面的題目既可以練習做題速度及提高質(zhì)量，也能檢測復習效果。
【考研數(shù)學導數(shù)的重點和應用】相關文章：
考研數(shù)學導數(shù)有哪些復習重點及應用12-15
考研數(shù)學綜合性試題和應用題訓練的復習重點12-20