2018屆長春市高考理科數學模擬試卷及答案
備考高考理科數學最簡單有效的方法就是多做理科數學模擬試卷題，通過多做試卷題熟悉理科數學的解題技巧和思路，這樣才能考到好成績，下面是小編為大家精心推薦的2018屆長春市高考理科數學模擬試卷，希望能夠對您有所幫助。
2018屆長春市高考理科數學模擬試卷題目
一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.
1. 為虛數單位，則
A. B. C. D.
2.已知集合 ，則
A. B. C. D.
3.已知函數 ，則函數 的值域為
A. B. C. D.R
4. 下面四個殘差圖中可以反映出回歸模型擬合精度較好的為
A. 圖1 B. 圖2 C. 圖3 D. 圖3
5.公元263年左右，我國古代數學家劉徽用圓內接正多邊形的面積去逼近圓的面積求圓周率 ，劉徽稱這個方法為“割圓術”，并且把“割圓術”的特點概括為“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”.右圖是根據劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖.運行該程序，則輸出的n的值為：(參考數據： )
A. 48 B. 36 C. 30 D. 24
6.將函數 的圖象向左平移 個單位后得到函數 的圖象，則下列說法中正確的是
A. 是奇函數，最小值為-2 B. 是偶函數，最小值為-2
C. 是奇函數，最小值為 D. 是偶函數，最小值為
7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為
A. B.
C. D.
8.二項式 的展開式中， 項的系數為
A. B. C. 15 D. -15
9.據統計，某城市的火車站春運期間日接送旅客人數 (單位：萬)服從正態分布 ，則日接送人數在6萬到6.8萬之間的概率為( )
A. B. C. D.
10.球面上有A,B,C三點，球心O到平面ABC的距離是球半徑的 ，且 ，則球O的表面積是
A. B. C. D.
11.已知 是雙曲線 的兩個焦點，P是雙曲線C上的一點，若 ，且 的`最小內角的大小為 ，則雙曲線C的漸近線方程為
A. B. C. D.
12.已知函數 ，若 是函數 的唯一極值點，則實數 的取值范圍為
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知實數 滿足約束條件 ，則 的最小值為 .
14. 若非零向量 滿足 ，則向量 夾角的余弦值為 .
15. 已知銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c， ，AD是角A的平分線，D在BC上，則 .
16. 有甲、乙兩人去看望高中數學張老師，期間他們做了一個游戲，張老師的生日是m月n日，張老師把m告訴了甲，把n告訴了乙，然后張老師列出了如下10個日期供選擇：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日.看完日期后，甲說：“我不知道，但你一定也不知道”，乙聽了甲的話后說，“本來我不知道，但現在我知道了”，甲接著說“哦，現在我也知道了”，請問：張老師的生日是 .
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.
17.(本題滿分12分)
等差數列 的前 項和為 ，數列 是等比數列，滿足 ，
(1)求數列 和 的通項公式;
(2)若 ，設數列 的前 項和為 ，求 .
18.(本題滿分12分)
某市對大學生畢業后自主創業人員給予小額貸款補貼，貸款期限分為6個月，12個月，18個月，24個月，36個月五種，對于這五種期限的貸款政府分別補貼200元、300元、300元、400元、400元，從2016年享受此項政策的自主創業人員中抽取了100人進行調查統計，選取貸款期限的頻數如下表：
以上表中各種貸款期限的頻率作為2017年自主創業人員選擇各種貸款期限的概率.
(1)某大學2017年畢業生中共有3人準備申報此項貸款，計算其中恰有兩人選擇貸款期限為12個月的概率;
(2)設給某享受此項政策的自主創業人員補貼為X元，寫出X的分布列;該市政府要做預算，若預計2017年全市有600人申報此項貸款，則估計2017年該市共要補貼多少萬元.
19.(本題滿分12分)
如圖，四棱柱 中，底面 是菱形， 平面 ， 為 的中點.
(1)證明：平面 平面 ;
(2)若二面角 為 ， 求三棱錐 的體積.
20.(本題滿分12分)
如圖，在矩形 中， 為 的中點， 分別是 , 的上的點，且滿足：① ;②直線 與 的交點在橢圓 上.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設R為橢圓E的右頂點，M為橢圓E第一象限部分上一點，作MN垂直于 軸，垂足為N,求梯形ORMN的面積的最大值.
21.(本題滿分12分)
已知函數
(1)當 時，討論函數 的單調性;
(2)在(1)的條件下，求函數 在區間 上的最大值;
(3)設函數 ，求證：當 時，對 恒成立.
請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按照所做的第一題計分.
22.(本題滿分10分)選修4-4：極坐標與參數方程
在平面直角坐標系 中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為，曲線 ( 為參數).
的極坐標方程為，曲線(為參數).
(1)求曲線 的直角坐標方程和 的普通方程;
(2)極坐標系中兩點 都在曲線 上，求 的值.
23.(本題滿分10分)選修4-5：不等式選講
(1)已知函數 ，若不等式 的解集為 ，求 的值;
(2)已知實數 ，且 ，求證：
2018屆長春市高考理科數學模擬試卷答案
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)
1. A 2. B 3. B 4. A 5. D 6. C
7. D 8. B 9. D 10. B 11. A 12. A
簡答與提示：
1. 【命題意圖】本題考查復數的基本概念及運算.
【試題解析】A 由 可知，原式 . 故選A.
2. 【命題意圖】本題考查集合交、補運算.
【試題解析】B 由 ， ，
故 . 故選B.
3. 【命題意圖】本題考查分段函數的圖像與性質.
【試題解析】B 根據分段函數的 的圖像可知，該函數的值域為 .
故選B.
4. 【命題意圖】本題考查統計學中殘差圖的概念.
【試題解析】A 根據殘差圖顯示的分布情況即可看出圖1顯示的殘差分布集中，擬合度較好，故選A.
5. 【命題意圖】本題依據中華傳統文化算法割圓術考查程序框圖.
【試題解析】D 運行算法可獲得結果24，故選D.
6. 【命題意圖】本題主要考查三角變換公式與三角函數的圖像與性質.
【試題解析】C 由 ，則 . 故選C.
7. 【命題意圖】本題考查三視圖.
【試題解析】D 由圖形補全法，將圖形補全為長方體，進而獲得該幾何體的直觀圖，再求得該幾何體的表面積為：
.
故選D.
8. 【命題意圖】本題考查二項式相關問題.
【試題解析】B 的展開式中， 的系數是 . 故選B.
9. 【命題意圖】本題主要考查正態分布的相關知識.
【試題解析】D . 故選D.
10. 【命題意圖】本題主要考查球內的幾何體的相關性質.
【試題解析】B 由題可知 為△ 的直徑，令球的半徑為 ，則 ，可得 ，則球的表面積為 . 故選B.
11. 【命題意圖】本題考查雙曲線的定義.
【試題解析】A 不妨設 ，則 ，則 ， ，且 ，即 為最小邊，即 ，則△ 為直角三角形，且 ，即漸近線方程為 ，故選A.
12. 【命題意圖】本題是考查函數與導數的應用問題.
【試題解析】A 已知 ，則 ，
當 時， 恒成立，因此 . 故選A.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13. 14. 15. 16. 8月4日
簡答與提示：
13. 【命題意圖】本題考查線性規劃的相關知識.
【試題解析】由題意可先畫出可行域，再由目標函數的幾何意義，判斷最優解為 故， 的最小值為 .
14. 【命題意圖】本題考查向量的運算和幾何意義.
【試題解析】由題意 ，則 ，
即 ，故 .
15. 【命題意圖】本題考查解三角形的問題.
【試題解析】由正弦定理可得 ，可得 ，由余弦定理可得 ，再根據角分線定理可知， .
16. 【命題意圖】本題考查學生的邏輯推理能力.
【試題解析】根據甲說“我不知道，但你一定也不知道”，
可排除5月5日、5月6日、9月4日、9月6日、9月9日;
乙聽了甲的話后，說“本來我不知道，但現在我知道了”，
可排除2月7日、8月7日;甲接著說“哦，現在我也知道了”，
現在可以得知張老師生日為8月4日.
三、解答題
17. (本小題滿分12分)
【命題意圖】本題考查等差數列、等比數列的相關知識.
【試題解析】(1)設等差數列 的公差為 ，等比數列 的公比為 .
(12分)
18. (本小題滿分12分)
【命題意圖】本小題主要考查學生對概率統計知識的理解，同時考查學生的數據處理能力.
【試題解析】(1)由題意知，每人選擇貸款期限為12個月的概率為 ， (2分)
所以3人中恰有2人選擇此貸款的概率為 (6分)
(2)由題意知，享受補貼200元的概率為 ,享受補貼300元的概率為 ，
享受補貼400元的概率為 ，即隨機變量 的分布列為 (9分)
X 200 300 400 (10分)
， 元.
所以，2017年政府需要補貼全市600人補貼款18萬元. (12分)
19. (本小題滿分12分)
【命題意圖】本題以四棱柱為載體，考查平面與平面垂直，以及二面角、體積等問題.
【試題解析】(Ⅰ)證明：連接 ，設 與 的交點為 ，連接 ，
因為 為 中點， 為 中點，所以 ，所以 平面 ，
又因為 在平面 內，所以平面 平面 . (6分)
(Ⅱ)由于四邊形 是菱形，所以以 為坐標原點，
分別以 ， ， 為 軸，建立空間直角坐標系，
設 ， ，有 ，
， ， ， ，有 ， ，
設平面 的法向量為 ，平面ACE的法向量為 ，
(8分)
由題意知 ，解得 . (10分)
所以菱形 為正方形，
所以三棱錐 的體積 . (12分)
20. (本小題滿分12分)
【命題意圖】本小題考查橢圓的標準方程及面積最值問題，考查學生的邏輯思維能力和運算求解能力.
【試題解析】(Ⅰ)設 于 交點 為 ， ， ，由題可知，
， (4分)
從而有 ，整理得 ，即為橢圓方程. (6分)
(Ⅱ) ，設 ，有 ，
從而所求梯形面積 ， (8分)
令 ， ，
令 ， (10分)
當 時， 單調遞增，
當 時， 單調遞減，所以當 時 取最大值 . (12分)
21. (本小題滿分12分)
【命題意圖】本小題主要考查函數與導數的知識，具體涉及到導數的運算，用導數來研究函數的單調性等，考查學生解決問題的綜合能力.
【試題解析】(Ⅰ) ，令 可得， 或 .
(2分)
又 ，則可知 在 和 上單調遞減;在 上單調遞增.
(4分)
(Ⅱ)在(Ⅰ)條件下，當 ，即 時， 在 上單調遞增，
則 最大值為 ; (6分)
當 ，即 時， 在 單調遞增，在 上單調遞減，
則 的最大值為 . (9分)
(Ⅲ)要證 ，即證 ， (10分)
令 ，則 ，
又 ，可知在 內存在極大值點，又 ， ，
則 在 上恒大于2， (11分)
而 在 上恒小于2，因此 在 上恒成立.
(12分)
22. (本小題滿分10分)
【命題意圖】本小題主要考查極坐標系與參數方程的相關知識，具體涉及到極坐標方程與平面直角坐標方程的互化.
【試題解析】(Ⅰ)由題意可知 . (5分)
(Ⅱ)由點 在曲線 上，則
，
， ，
因此 . (10分)
23. (本小題滿分10分)
【命題意圖】本小題主要考查含絕對值不等式以及不等式證明的相關知識，本小題重點考查考生的化歸與轉化思想.
【試題解析】(Ⅰ) 因為 ，所以 ，
又因為不等式 的解集為 或 ，解得 . (5分)
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