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最新向量法證明不等式計算方法

　　向量法會怎樣證明不等式呢?這類的不等式有有哪些解答竅門呢?下面就是學習啦小編給大家整理的向量法證明不等式內容，希望大家喜歡。

最新向量法證明不等式計算方法

　　向量法證明不等式

　　高中新教材引入平面向量和空間向量，將其延伸到歐氏空間上的n維向量，向量的加、減、數乘運算都沒有發生改變. 若在歐式空間中規定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數量積的運算，則高中階段的向量即為n=2，3時的情況.

　　設a，b是歐氏空間的兩向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

　　規定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.

　　(注：a·b可記為(a，b)，表示兩向量的內積)，有

　　由上，我們就可以利用向量模的和與和向量的`模的不等式及數量積的不等式建立一系列n元不等式，進而構造n維向量來證明其他不等式.

　　一、利用向量模的和與和向量的模的不等式(即

　　例1設a，b，c∈R+，求證：(a+b+c)≤++≤.

　　證明：先證左邊，設m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，

　　則由

　　綜上，原不等式成立.

　　點評：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式證明左邊，利用向量數量積建立不等式證明右邊.

　　作單位向量j⊥AC

　　j(AC+CB)=jAB

　　jAC+jCB=jAB

　　jCB=jAB

　　|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

　　即|CB|sinC=|AB|sinA

　　a/sinA=c/sinC

　　其余邊同理

　　在三角形ABC平面上做一單位向量i,i⊥BC,因為 BA+AC+CB=0恒成立，兩邊乘以i得 i*BA+i*AC=0① 根據向量內積定義，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理 i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得 csinB-bsinC=0 所以b/sinB=c/sinC 類似地，做另外兩邊的單位垂直向量可證a/sinA=b/sinB, 所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

　　步驟1

　　記向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

　　∴a+b+c=0

　　則i(a+b+c)

　　=i·a+i·b+i·c

　　=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

　　=-asinC+csinA=0