數(shù)列知識(shí)在物理中的應(yīng)用
方法概述
數(shù)學(xué)是解決物理問題的重要工具，借助數(shù)學(xué)方法可使一些復(fù)雜的物理問題顯示出明顯的規(guī)律性，能達(dá)到打通關(guān)卡、長(zhǎng)驅(qū)直入地解決問題的目的．中學(xué)物理《考試大綱》中對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的能力作出了明確的要求，要求考生有“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題”的能力。
所謂數(shù)學(xué)方法，就是要把客觀事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來，并進(jìn)行推導(dǎo)、演算和分析，以形成對(duì)問題的判斷、解釋和預(yù)測(cè)．可以說，任何物理問題的分析、處理過程，都是數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用過程．本專題中所指的數(shù)學(xué)方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有極值法、幾何法、圖象法、數(shù)學(xué)歸納推理法、微元法、等差(比)數(shù)列求和法等。
一、極值法
數(shù)學(xué)中求極值的方法很多，物理極值問題中常用的極值法有：三角函數(shù)極值法、二次函數(shù)極值法、一元二次方程的判別式法等．
1．利用三角函數(shù)求極值
y＝acos θ＋bsin θ ab＝a＋b(θsin θ) a＋ba＋bab令sin φ，cos φ＝ a＋ba＋b
則有：y＝a＋b(sin φcos θ＋cos φsin θ)
＝a＋bsin (φ＋θ)
π所以當(dāng)φ＋θ＝y(tǒng)有最大值，且ymax＝a＋b． 2
2．利用二次函數(shù)求極值 2bb2b2b24ac－b22二次函數(shù)：y＝ax＋bx＋c＝a(x＋x＋)＋c－＝a(x＋)＋(其中a、b、ca4a4a2a4a
4ac－b2b為實(shí)常數(shù))，當(dāng)x＝－ 時(shí)，有極值ym＝(若二次項(xiàng)系數(shù)a>0，y有極小值；若a<0，2a4a
y有極大值)．
3．均值不等式
對(duì)于兩個(gè)大于零的變量a、b，若其和a＋b為一定值p，則當(dāng)a＝b時(shí)，其積ab取得極p2
大值 a、b、c，若其和a＋b＋c為一定值q，則當(dāng)a＝b＝c時(shí)，4
q3
其積abc取得極大值 ． 27
二、幾何法
利用幾何方法求解物理問題時(shí)，常用到的有“對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)”、“兩點(diǎn)間直線距離最短”、“直角三角形中斜邊大于直角邊”以及“全等、相似三角形的特性”等相關(guān)知識(shí)，如：帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)類問題，物體的變力分析時(shí)經(jīng)常要用到相似三角形法、作圖法等．與圓有關(guān)的幾何知識(shí)在力學(xué)部分和電學(xué)部分的解題中均有應(yīng)用，尤其在帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)類問題中應(yīng)用最多，此類問題的難點(diǎn)往往在圓心與半徑的確定上，確定方法有以下幾種．
1．依切線的性質(zhì)確定．從已給的圓弧上找兩條不平行的切線和對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)，過切點(diǎn)作
切線的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)為圓心，圓心與切點(diǎn)的連線為半徑．
2．依垂徑定理(垂直于弦的直徑平分該弦，且平分弦所對(duì)的弧)和相交弦定理(如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng))確定．
2 由EB＝CE·ED
＝CE·(2R－CE)
EB2CE得：R＝＋ 2CE2
也可由勾股定理得：
R2＝(R－CE)2＋EB2
EB2CE解得：R＋． 2CE2
以上兩種求半徑的方法常用于求解“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”這類習(xí)題中．
三、圖象法
中學(xué)物理中一些比較抽象的習(xí)題常較難求解，若能與數(shù)學(xué)圖形相結(jié)合，再恰當(dāng)?shù)匾胛锢韴D象，則可變抽象為形象，突破難點(diǎn)、疑點(diǎn)，使解題過程大大簡(jiǎn)化．圖象法是歷年高考的熱點(diǎn)，因而在復(fù)習(xí)中要密切關(guān)注圖象，掌握?qǐng)D象的識(shí)別、繪制等方法．
1．物理圖象的分類
整個(gè)高中教材中有很多不同類型的圖象，按圖形形狀的不同可分為以下幾類．
(1)直線型：如勻速直線運(yùn)動(dòng)的s－t圖象、勻變速直線運(yùn)動(dòng)的v－t 圖象、定值電阻的U－I圖象等．
(2)正弦曲線型：如簡(jiǎn)諧振動(dòng)的x－t圖象、簡(jiǎn)諧波的y－x 圖象、正弦式交變電流的e－t圖象、正弦式振蕩電流的i－t 圖象及電荷量的q－t 圖象等．
(3)其他型：如共振曲線的A－f圖象、分子力與分子間距離的f－r圖象等．
下面我們對(duì)高中物理中接觸到的典型物理圖象作一綜合回顧，以期對(duì)物理圖象有個(gè)較為
(1)利用圖象解題可使解題過程更簡(jiǎn)化，思路更清晰．
利用圖象法解題不僅思路清晰，而且在很多情況下可使解題過程得到簡(jiǎn)化，起到比解析法更巧妙、更靈活的獨(dú)特效果．甚至在有些情況下運(yùn)用解析法可能無能為力，但是運(yùn)用圖象法則會(huì)使你豁然開朗，如求解變力分析中的極值類問題等．
(2)利用圖象描述物理過程更直觀．
從物理圖象上可以比較直觀地觀察出物理過程的動(dòng)態(tài)特征．
(3)利用物理圖象分析物理實(shí)驗(yàn)．
運(yùn)用圖象處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是物理實(shí)驗(yàn)中常用的一種方法，這是因?yàn)樗司哂泻?jiǎn)明、直觀、便于比較和減少偶然誤差的特點(diǎn)外，還可以由圖象求解第三個(gè)相關(guān)物理量，尤其是無法從實(shí)驗(yàn)中直接得到的結(jié)論．
3．對(duì)圖象意義的理解
(1)首先應(yīng)明確所給的圖象是什么圖象，即認(rèn)清圖象中比縱橫軸所代表的物理量及它們的“函數(shù)關(guān)系”，特別是對(duì)那些圖形相似、容易混淆的圖象，更要注意區(qū)分．例如振動(dòng)圖象與波動(dòng)圖象、運(yùn)動(dòng)學(xué)中的 s－t 圖象和v－t圖象、電磁振蕩中的i－t圖象和q－t圖象等．
(2)要注意理解圖象中的“點(diǎn)”、“線”、“斜率”、“截距”、“面積”的物理意義．
①點(diǎn)：圖線上的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)研究對(duì)象的一個(gè)狀態(tài)．要特別注意“起點(diǎn)”、“終點(diǎn)”、“拐點(diǎn)”、“交點(diǎn)”，它們往往對(duì)應(yīng)著一個(gè)特殊狀態(tài)．如有的速度圖象中，拐點(diǎn)可能表示速度由增大(減小)變?yōu)闇p小(增大)，即加速度的方向發(fā)生變化的時(shí)刻，而速度圖線與時(shí)間軸的交點(diǎn)則代表速度的方向發(fā)生變化的時(shí)刻．
②線：注意觀察圖線是直線、曲線還是折線等，從而弄清圖象所反映的兩個(gè)物理量之間的關(guān)系．
③斜率：表示縱橫坐標(biāo)上兩物理量的比值．常有一個(gè)重要的物理量與之對(duì)應(yīng)，用于求解定量計(jì)算中所對(duì)應(yīng)的物理量的大小以及定性分析變化的快慢．如 v－t 圖象的斜率表示加速度．
④截距：表示縱橫坐標(biāo)兩物理量在“邊界”條件下物理量的大小．由此往往可得到一個(gè)很有意義的物理量．
⑤面積：有些物理圖象的圖線與橫軸所圍的面積往往代表一個(gè)物理量的大小．如v－t圖象中面積表示位移．
4．運(yùn)用圖象解答物理問題的步驟
(1)看清縱橫坐標(biāo)分別表示的物理量．
(2)看圖象本身，識(shí)別兩物理量的變化趨勢(shì)，從而分析具體的物理過程．
(3)看兩相關(guān)量的變化范圍及給出的相關(guān)條件，明確圖線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、圖線斜率、圖線與坐標(biāo)軸圍成的“面積”的物理意義．
四、數(shù)學(xué)歸納法
在解決某些物理過程中比較復(fù)雜的具體問題時(shí)，常從特殊情況出發(fā)，類推出一般情況下的猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，從而確定我們的猜想是正確的．利用數(shù)學(xué)歸納法解題要注意書寫上的規(guī)范，以便找出其中的規(guī)律．
五、微元法
利用微分思想的分析方法稱為微元法．它是將研究對(duì)象(物體或物理過程)進(jìn)行無限細(xì)分，再?gòu)闹谐槿∧骋晃⑿卧M(jìn)行討論，從而找出被研究對(duì)象的變化規(guī)律的一種思想方法．微元法解題的思維過程如下．
(1)隔離選擇恰當(dāng)?shù)奈⒃鳛檠芯繉?duì)象．微元可以是一小段線段、圓弧或一小塊面積，也可以是一個(gè)小體積、小質(zhì)量或一小段時(shí)間等，但必須具有整體對(duì)象的基本特征．
(2)將微元模型化(如視為點(diǎn)電荷、質(zhì)點(diǎn)、勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻速轉(zhuǎn)動(dòng)等)，并運(yùn)用相關(guān)的物理規(guī)律求解這個(gè)微元與所求物體之間的關(guān)聯(lián)．
(3)將一個(gè)微元的解答結(jié)果推廣到其他微元，并充分利用各微元間的對(duì)稱關(guān)系、矢量方向關(guān)系、近似極限關(guān)系等，對(duì)各微元的求解結(jié)果進(jìn)行疊加，以求得整體量的合理解答．
六、三角函數(shù)法
三角函數(shù)反映了三角形的邊、角之間的關(guān)系，在物理解題中有較廣泛的應(yīng)用．例如：討論三個(gè)共點(diǎn)的平衡力組成的力的三角形時(shí)，常用正弦定理求力的大小；用函數(shù)的單調(diào)變化的臨界狀態(tài)來求取某個(gè)物理量的極值；用三角函數(shù)的“和積公式”將結(jié)論進(jìn)行化簡(jiǎn)等．
七、數(shù)列法
凡涉及數(shù)列求解的物理問題都具有過程多、重復(fù)性強(qiáng)的特點(diǎn)，但每一個(gè)重復(fù)過程均不是原來的`完全重復(fù)，而是一種變化了的重復(fù)．隨著物理過程的重復(fù)，某些物理量逐步發(fā)生著前后有聯(lián)系的變化．該類問題求解的基本思路為：
(1)逐個(gè)分析開始的幾個(gè)物理過程；
(2)利用歸納法從中找出物理量變化的通項(xiàng)公式(這是解題的關(guān)鍵)；
(3)最后分析整個(gè)物理過程，應(yīng)用數(shù)列特點(diǎn)
和規(guī)律求解．
無窮數(shù)列的求和，一般是無窮遞減數(shù)列，有相應(yīng)的公式可用．
n(a1＋an)n(n－1)等差：Sn＝＝na1＋d(d為公差)． 22
a(1－qn)等比：Sn＝(q為公比)． 1－q
八、比例法
比例計(jì)算法可以避開與解題無關(guān)的量，直接列出已知和未知的比例式進(jìn)行計(jì)算，使解題過程大為簡(jiǎn)化．應(yīng)用比例法解物理題，要討論物理公式中變量之間的比例關(guān)系，要清楚公式的物理意義和每個(gè)量在公式中的作用，以及所要討論的比例關(guān)系是否成立．同時(shí)要注意以下幾點(diǎn)．
(1)比例條件是否滿足．物理過程中的變量往往有多個(gè)，討論某兩個(gè)量間的比例關(guān)系時(shí)要注意只有其他量為常量時(shí)才能成比例．
(2)比例是否符合物理意義．不能僅從數(shù)學(xué)關(guān)系來看物理公式中各量的比例關(guān)系，要注
U意每個(gè)物理量的意義．(如不能根據(jù)R 認(rèn)定電阻與電壓成正比) I
(3)比例是否存在．討論某公式中兩個(gè)量的比例關(guān)系時(shí)，要注意其他量是否能認(rèn)為是不
U2變量．如果該條件不成立，比例也不能成立．(如在串聯(lián)電路中，不能認(rèn)為P＝中P與RR成反比，因?yàn)镽變化的同時(shí)，U也隨之變化而并非常量)
m許多物理量都是用比值法來定義的，常稱之為“比值定義”．如密度ρ＝，導(dǎo)體的電阻V
UQfFR＝ C＝，接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝E等．它們的共IUFNq
同特征是：被定義的物理量是反映物體或物質(zhì)的屬性和特征的，它和定義式中相比的物理量無關(guān)．對(duì)此，學(xué)生很容易把它當(dāng)做一個(gè)數(shù)學(xué)比例式來處理而忽略了其物理意義，也就是說教學(xué)中還要防止數(shù)學(xué)知識(shí)在物理應(yīng)用中的負(fù)遷移．
數(shù)學(xué)是“物理學(xué)家的思想工具”，它使物理學(xué)家能“有條理地思考”并能想象出更多的東西．可以說，正是有了數(shù)學(xué)與物理學(xué)的有機(jī)結(jié)合，才使物理學(xué)日臻完善．物理學(xué)的嚴(yán)格定量化，使得數(shù)學(xué)方法成為物理解題中一個(gè)不可或缺的工具．
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