關于上山下山行程問題的六年級數學題
所謂上山、下山的行程問題區別于通常的行程問題之處就在于在整個行程過程中速度會發生變化。下面通過幾個問題介紹此類問題的解決思路。
問題 從甲地到乙地，先是上坡路，然后就是下坡路，一輛汽車上坡速度為每小時20千米，下坡速度為每小時35千米。車從甲地到乙地共用9小時，從乙地返回到甲地共用7.5小時。求去時上坡路和下坡路分別為多少千米？
先畫出如右圖形：圖中a表示甲地，c表示乙地。從a到b是上坡路，從b到c是下坡路；反過來，從c到b就是上坡路，從b到a是下坡路。
由于從甲地到乙地用9小時，反過來從乙地到甲地用7.5小時，這說明從a到b的距離大于從b到c的距離。本題的難點在于上下坡不僅速度不同，而且距離不同，因此自然的思路是設法把上下坡的距離變不同為相同。
在從a到b的路程中取一個點d，使得從d到b的距離等于從b到c的距離，這樣a到d的距離就是ab距離比bc距離多出來的部分。
下面我們分析為什么去時比回來時間會多用了：9-7.5＝1.5（時）
從圖中容易看出就是因為去時從a到d是上坡，而回來時從d到a變成了下坡，其它路途所用的`總時間是一樣的。
現在的問題是ad這段路程中速度由每小時20千米改為35千米，則時間少用1.5小時，由此可以求出什么？
如果設速度為每小時20千米所用時間為單位1，那么速度為每小時35千米所用時間為：
由此就可以求出ad之間的距離為：
203.5＝70（千米）
或 352＝70（千米）
還可以求出從d到c和從c到d所用時間均為：9－3.5＝5.5（時）
或 7.5－2＝5.5（時）
至此我們已經完成了將上下坡的距離變為相同的目的了。如果設從d到
上坡所用時間為：
所以去時上坡的總路程就是：
70+203.5=140（千米）
下坡總路程是：352=70（千米）
上面所用方法實質上是通過截長變短把上下坡的距離變不同為相同，而實現這一目的還可以通過補的方法。
將返回的路程補在去時路程的后面，畫出右圖：
這時全程去與回所用的時間都是：
9＋7.5＝16.5（時）
而且全程的上坡路程和下坡路程相等，都等于原來上下坡距離之和。設
所以原來上下坡距離之和就是：
2010.5=210（千米）
或 356＝210（千米）
下面采用解決雞兔同籠問題的方法，假設原來從a到c速度不變，都是每小時35千米，這樣9小時所行路程應該為：
359＝180（千米）
比實際距離少行了：
210－180＝30（千米）
就是因為從b到c的下坡速度每小時20千米變成了35千米，因此從b到c的時間為：
30（35－20）＝2（時）
從a到b上坡的時間為：9－2=7（時）
由此上下坡的距離就不難求出了。
這個解法的思路是通過補，不僅使得上下坡距離相等，而且使得往返所用的時間相等。
解決本題的兩個方法說明，在變不同為相同這個基本思想的指導下，手段可以是多種多樣的。
下面再看一道類似的問題。
問題 如右圖，從a到b是下坡路，從b到c是平路，從c到d是上坡路。小張和小王步行速度分別都是：上坡每小時4千米，平路每小時5千米，下坡每小時6千米。二人分別從a、d兩點同時
王到達a后9分鐘，小張到達d。求從a到d的全程距離。
首先發現二人平路上行走的距離相同，小張比小王多用9分鐘的原因就是cd距離大于ab距離。
我們仿照上題思路，在cd上取一點f，使得cf距離等于ab距離，并畫出如右圖形：設從d到f下坡所用時間為1，則從f到d上坡所用時間為：
到f所用時間18分鐘，因此可以求出平路的距離為：
以上兩個問題的共同之處在于將上下坡的不同距離變為相同，完成這種變化的基礎問題是：已知同一段路程的兩個不同速度和相差的時間，如何求出這段行程的時間和路程。
【上山下山行程問題的六年級數學題】相關文章：
奧數行程問題07-14
小學奧數行程問題07-23
奧數題行程問題07-22
奧數行程問題及解法07-27
有關奧數行程問題07-21
奧數專題:行程問題07-12
行程問題的奧數專題08-02
奧數專題：行程問題08-02
關于奧數行程問題中的鐘表問題07-15