初中奧數(shù)計(jì)數(shù)歸納法練習(xí)例題解析
對(duì)于比較復(fù)雜的'問(wèn)題，可以先觀察其簡(jiǎn)單情況，歸納出其中帶規(guī)律性的東西，然后再來(lái)解決較復(fù)雜的問(wèn)題。
習(xí)題1：10個(gè)三角形最多將平面分成幾個(gè)部分？
解：設(shè)n個(gè)三角形最多將平面分成an個(gè)部分。
n=1時(shí)，a1=2;
n=2時(shí)，第二個(gè)三角形的每一條邊與第一個(gè)三角形最多有2個(gè)交點(diǎn)，三條邊與第一個(gè)三角形最多有2×3=6（個(gè)）交點(diǎn)。這6個(gè)交點(diǎn)將第二個(gè)三角形的周邊分成了6段，這6段中的每一段都將原來(lái)的每一個(gè)部分分成2個(gè)部分，從而平面也增加了6個(gè)部分，即a2=2+2×3。
n=3時(shí)，第三個(gè)三角形與前面兩個(gè)三角形最多有4×3=12（個(gè)）交點(diǎn)，從而平面也增加了12個(gè)部分，即：
a3=2+2×3+4×3。
……
一般地，第n個(gè)三角形與前面（n—1）個(gè)三角形最多有2（n—1）×3個(gè)交點(diǎn)，從而平面也增加2（n—1）×3個(gè)部分，故
an=2+2×3+4×3+…+2（n—1）×3
=2+[2+4+…+2（n—1）]×3
=2+3n（n—1）=3n2—3n+2。
特別地，當(dāng)n=10時(shí)，a10=3×102+3×10+2=272，即10個(gè)三角形最多把平面分成272個(gè)部分。
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