小學(xué)六年級奧數(shù)計算
一、四種常見幾何體的平面展開圖
1.正方體
沿正方體的某些棱將正方體剪開鋪平，就可以得到它的平面展開圖，這一展開圖是由六個全等的正方形組成的，見圖6―1。
圖6─l只是正方體平面展開圖的一種畫法，還有別的畫法(從略)。
2.長方體
沿長方體的某些棱將長方體剪開鋪平，就可以得到它的平面展開圖。這一展開圖是六個兩兩彼此全等的長方形組成的，見圖6―2。圖6―2只是長方體平面展開圖的一種畫法，還有別的畫法(從略)。
3.(直)圓柱體沿圓柱的一條母線和側(cè)面與上、下底面的交線將圓柱剪開鋪平，就得到圓柱體的平面展開圖。它由一個長方形和兩個全等的圓組成，這個長方形的長是圓柱底面圓的周長，寬是圓柱體的高。這個長方形又叫圓柱的側(cè)面展開圖。圖6―3就是圓柱的平面展開圖。
4.(直)圓錐體
沿圓錐體的一條母線和側(cè)面與下底面圓的交線將圓錐體剪開鋪平，就得到圓錐的平面展開圖。它是由一個半徑為圓錐體的母線長，弧長等于圓錐體底面圓的周長的扇形和一個圓組成的，這個扇形又叫圓錐的側(cè)面展開圖。具體圖形見圖6―4。
二、四種常見幾何體表面積與體積公式
1.長方體
長方體的表面積=2×(a×b+b×c+c×a)
長方體的體積=a×b×c(這里a、b、c分別表示長方體的長、寬、高)。
2.正方體
正方體的表面積=6×a2
正方體的體積=a3(這里a為正方體的棱長)。
3.圓柱體
圓柱體的側(cè)面積=2πRh
圓柱體的全面積=2πRh+2πR2=2πR(h+R)
圓柱體的體積=πR2h(這里R表示圓柱體底面圓的半徑，h表示圓柱的高)。
4.圓錐體
圓錐體的`側(cè)面積=πRl
圓錐體的全面積=πRl+πR2
母線長與高)。
三、例題選講
例1圖6―5中的幾何體是一個正方體，圖6―6是這個正方體的一個平面展開圖，圖6―7(a)、(b)、(c)也是這個正方體的平面展開圖，但每一展開圖上都有四個面上的圖案沒畫出來，請你給補上。
分析與解：從圖6―5和圖6―6中可知：
與
;
與
;
與
互相處于相對面的位置上。只要在圖6―7
(a)、(b)、(c)三個展開圖中，判定誰與誰處在互為對面的位置上，則標(biāo)有數(shù)字的四個空白面上的圖案便可以補上。
先看圖6―7中的(a)，仔細(xì)觀察可知，1與4，3與
處在互為對面的位置上。
再看圖6―7中的(b)，同上，1與3，2與
處在互為對面的位置上。
最后再看圖6―7中的(c)，同上，1與
，2與4處在互為對面的位置上。
圖6―7(a)、(b)、(c)標(biāo)有數(shù)字的空白面上的圖案見圖6―8中的(a)、(b)、(c)。
例2圖6―9中的幾何體是一個長方體，四邊形APQC是長方體的一個截面(即過長方體上四點A、P、Q、C的平面與長方體相交所得到的圖形)，P、Q分別為棱A1B1、B1C1的中點，請在此長方體的平面展圖上，標(biāo)出線段AC、CQ、QP、PA來。
分析與解：只要能正確畫出圖6―9中長方體的平面展開圖，問題便能迎刃而解。圖6―10中的粗實線，就是題目中所要標(biāo)出的線段AC、CQ、QP、PA。
例3在圖6―11中，M、N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點，若從M點繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N，沿怎么樣的路線路程最短?
分析與解：沿圓柱體的母線MN將圓柱的側(cè)面剪開鋪平，得出圓柱的側(cè)面展開圖，見圖6―12，從M點繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N點。實際上是從側(cè)面展開圖的長方形的一個頂點M到達(dá)不相鄰的另一個頂點N。而兩點間以線段的長度最短。所以最短路線就是側(cè)面展開圖中長方形的一條對角線，見圖6―12和圖6―13。
例4圖6―14中的幾何體是一棱長為4厘米的正方體，若在它的各個面的中心位置上，各打一個直徑為2厘米，深為1厘米的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少(π=3.14)?
分析與解：因為正方體的棱長為2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方體沒有被打透。這一來打孔后所得幾何體的表面積，等于原來正方體的表面積，再加上六個完全一樣的圓柱的側(cè)面積、這六個圓柱的高為1厘米，底面圓的半徑為1厘米。
正方體的表面積為42×6=96(平方厘米)
一個圓柱的側(cè)面積為2π×1×1=6.28(平方厘米)
幾何體的表面積為96+6.28×6=133.68(平方厘米)
答：(略)
例5圖6―15是由18個邊長為1厘米的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積是多少?
分析與解：從圖6―15中可以看出，18個小正方體一共擺了三層，第一層2個，第二層7個，因為18-7-2=9，所以第三層擺了9個。另外，上、下兩個面的表面積是相同的，同樣，前、后;左、右兩個面的表面積也是分別相同的。因為小正方體的棱長是1厘米，所以
上面的表面積為12×9=9(平方厘米)
前面的表面積為12×8=8(平方厘米)
左面的表面積為12×7=7(平方厘米)
幾何體的表面積為9×2+8×2+7×2=
答：(略)
例6圖6―16中所示圖形，是一個底面直徑為20厘米的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6厘米，高20厘米的一個圓錐體鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米?(π=3.14)
分析與解：因為玻璃杯是圓柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實際是一個小圓柱，這個圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為20厘米的圓，它的體積正好等于圓錐體鉛錘的體積，這個小圓柱的高就是水面下降的高度。
因為圓錐形鉛錘的體積為
設(shè)水面下降的高度為x，則小圓柱的體積為x(20÷2)2×x=100πx(立方厘米)
所以有下列方程：
60π=100πx，解此方程得：
x=0.6(厘米)
答：鉛錘取出后，杯中水面下降了0.6厘米。
例7橫截面直徑為2分米的一根圓鋼，截成兩段后，兩段表面積的和為75.36平方分米，求原來那根圓鋼的體積是多少(π=3.14)?
分析與解：根據(jù)圓柱體的體積公式，體積=底面積×高。假設(shè)圓鋼長為x，因為將圓鋼截成兩段后，兩段表面積的和，等于圓鋼的側(cè)面積加上四個底面圓的面積，所以有下面式子：
2π×(2÷2)×x+4π×(2÷2)2
=2πx+4π
根據(jù)題目中給出的已知條件，可得下面方程：
2πx+4π=75.36
解方程：
圓鋼的體積為π×(2÷2)2×10≈31.4(立方分米)
答：(略)。
例8一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為10厘米、圓心角為216°的扇形，求此圓錐的體積是多少(π=3.14)?
分析與解：要想求出圓錐的體積，就要先求出它的底面圓的半徑與高。按題意畫圖6―17。在圖6―17中，字母R、h分別表示底面圓的半徑和圓錐體的高，根據(jù)弧長公式：弧長=2лR×n÷360(這里R是圓的半徑，n為弧所對圓心角的度數(shù))，便可求出弧長來。這個弧長就是底面圓的周長，再利用周長公式，就可求出底面圓的半徑R。另外從圖6―17中可以看出：圓錐的高、母線、底面圓的半徑正好構(gòu)成一個直角三角形，利用勾股定理便可求出圓錐的高h(yuǎn)。
所以2πR=12π，得R=6(厘米)
在直角三角形中，根據(jù)勾股定理有：
102=h2+R2，即h2=102-R2
=100-36=64，h=8(厘米)
答：(略)
例9圖6―18中的圖形是一個正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點。現(xiàn)在沿三角形GFH所在平面鋸掉正方體的一個角，問鋸掉的這塊的體積是原正方體體積的幾分之幾?
分析與解：因為鋸掉的是立方體的一個角，所以HA與AG、AF都垂直。即HA垂直于三角形AGF所在的立方體的上底面，實際上鋸掉的這個角，是以三角形AGF為底面，H為頂點的一個三棱錐，如果我們假設(shè)正方體的棱長為a，則正方體的體積為a3。
三棱錐的底面是直角三角形AGF，而角FAG為90°，G、F又分別為AD、
而三棱錐的體積等于底面積與高的乘積再除以3，所以鋸掉的那一角的體積為
答：(略)
例10圖6―19是一個里面裝有水的三棱柱封閉容器，圖6―20是這個三棱柱的平面展開圖。當(dāng)以A面作為底面放在桌面上時，水高2厘米，如果以B面與C面分別作為底面放在桌面上時，水面高各為多少厘米?
分析與解：我們先求以A面作為底面放在桌面上時容器內(nèi)的水的體積。此時水的體積，與以梯形FJQP為底面、JI為高的棱柱的體積相等。棱柱的體積等于底面積乘以高，從圖6―20可以看出，此棱柱的高JI為12厘米，梯形FJQP的下底FJ為3厘米，高QJ為2厘米。因為PTJQ是個長方形，所以QJ=PT=2厘米，而Q點是GJ的中點，PQ平行于FJ，這樣可以推算出QP為FJ的一半，為1.5厘米，這一來梯形FJQP的面積為
以C面為底面時，水的體積與以C(即三解形EHI)為底面，高為某數(shù)值
此時水面的高度為：
54÷6=9(厘米)
以B面作為底面時，原來以A面為底面時不裝水的那一部分，現(xiàn)在應(yīng)裝水，原來裝水的某一部分現(xiàn)在應(yīng)空出來，下面來討論這兩份之間的數(shù)量關(guān)系。
為方便起見，我們把C面適當(dāng)放大成圖6―21，在圖6―21中，因為PQ平行于FJ，PT垂直于FJ，所以JQPT是一長方圖6ZI形，故JQ、PT、QG的長都是2厘米，TJ、PQ的長為1.5厘米，因為FJ長為3厘米，所以FT的長也為1.5厘米，這一來三角形FPT與PQG的形狀一樣，面積相等。這便說明原來以三角形PFT為底面，JI為高的裝水的棱柱的體積，與現(xiàn)在以三角形PQG為底面，JI為高裝水的棱柱的體積是相等的。所以以B面為底面時，水面的高度等于PQ的長度，即水面高為1.5厘米。
答：(略)
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