奧數數論解析整數拆分練習

奧數數論解析整數拆分練習1

　　有一些自然數，它可以表示為9個連續自然數之和，又可以表示為10個連續自然數之和，還可以表示為11個連續自然數之和，求滿足上述條件的最小自然數。

　　分析：設滿足要求的最小自然數為11，由9個連續自然數的和是中間的數(第5個數)的9倍知，n是9的倍數;

　　同理，n是11的倍數;

　　又10個連續自然數a1,a2,…,a10的和為：

　　(a1+a10)×10÷2=5(a1+a10)

　　是5的倍數，所以n是5的倍數;

　　而9，11，5兩兩互質，所以n是5×9×11=495的倍數，由n的最小性取n=495，事實上，有：

　　495=51+52+53+…+59(9個連續自然數之和)

　　=45+46+47+…+54(10個連續自然數之和)

　　=40+41+42+…+50(11個連續自然數之和)

　　從而知，滿足條件的最小自然數是495。

奧數數論解析整數拆分練習2

　　現在的奧數，其難度和深度遠遠超過了同級的義務教育教學大綱。而相對于這門課程，一般學校的數學課應該稱為“普通基礎數學”。特此為大家準備了最新奧數數論解析：整數拆分練習19。

　　若干只同樣的盒子排成一列，小明把42個同樣的小球放在這些盒子里然后外出，小聰從每只盒子里取出一個小球，然后把這些小球放到小球最少的盒子里去，在把盒子從新排列了一下。小明回來，仔細查看，沒有發現友人動過小球和盒子。問：一共有多少只盒子?

　　分析：設原來小球數最少的盒子里裝有a只小球，現在增加到了b只，但小明發現沒有人動過小球和盒子，這說明現在又有了一只裝有a個球的盒子，這只盒子原來裝有a+1個小球，同理，現在另有一個盒子里裝有a+1個小球，這只盒子里原來裝有a+2個小球。依此類推可知：原來還有一個盒子里裝有a+3個小球，a+4個小球等等，故原來那些盒子里裝有的小球數是一些連續自然數。現在這個問題就變成了：將42分拆成若干個連續整數的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個加數?因為42=6×7，故可將42看成7個6的和，又：(7+5)+(8+4)+(9+3)是六個6，從而：42=3+4+5+6+7+8+9一共有7個加數;又因為42=14×3，可將42寫成13+14+15，一共有3個加數;又因為42=21×2，故可將42寫成9+10+11+12，一共有4個加數。解：本題有三個解，一共有7只盒子，4只盒子，3只盒子。

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奧數數論解析整數拆分練習3

　　有兩個非常好的邏輯學家朋友P和S。他們在猜兩個整數x、y.。已知1

　　P說：我不知道這兩個數。

　　S說：我知道你不知道。

　　P說：我知道了這兩個數。

　　S說：我也知道了。

　　根據兩人的對話，你能判斷x與y到底是多少嗎?

　　這是一道更加經典同時難度更大的`趣味數學題，是中的。我們就來慢慢分析整個思維過程吧。

　　首先，兩個乘數因子不能是兩個不同素數的乘積，不然P就一定能知道兩個數是多少。

　　我們先列出100以內所有的素數，2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。

　　我們可以用一個數表列出所有兩個素數的和，凡是在表中出現的和都不該是兩人要猜測的數的和。

　　于是，我們100以內還剩下的和有11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53、57、59、61、65、67、77、79、83、87、89、93、95、97。

　　34×17可以直接導出兩數之和51、38×19可以直接導出兩數之和57，29×58可以直接導出兩數之和87，31×62可以直接導出兩數之和93，因此51、57、87、93可以排除。

　　由于53×6=106×2會導致兩數之和超過100，因此數59、61、65、67、77、79、83、89、95、97也被排除在外。

　　剩下的和數的數列就是11、17、23、27、29、35、37、41、47、53。

　　我們繼續進行。

　　此數是11嗎?

　　因為24=3×8、28=4×7，S知道和為11，卻無法斷定出P。

　　此數是23嗎?

　　76=4×19,112=16×7,S知道和為23，卻無法斷定出P。

　　同樣，可以排除29、35、37、41、47、51和53這些數字和。

　　現在輪到17了。

　　S=17=2+15，P=2×15=5×6，導出S=11，11在可能的和數之列，被排除。

　　S=17=6+11，P=6×11=2×33，導出S=35，35在可能的和數之列，被排除。

　　S=17=7+10，P=7×10=2×35，導出S=37，37在可能的和數之列，被排除。

　　S=17=8+9，P=8×9=3×24，導出S=27，27在可能的和數之列，被排除。

　　現在只剩下S=17=4+13，P=4×13=52=2×26，導出S=28，不在上述的和數之列。

　　答案露出水面，這兩個數是4和13。

奧數數論解析整數拆分練習4

　　奧數是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度.讓我們一起來閱讀最新奧數數論解析---整數拆分練習10,感受奧數的奇異世界!

　　有一天非常熱，四對夫婦共飲了44瓶可樂。女士安喝了2瓶，貝蒂喝了3瓶，卡羅爾喝了4瓶，多蘿西喝了5瓶。布朗先生和他的妻子喝得一樣多，但是其他三位男士都比各自的妻子喝得多：格林先生是其妻的兩倍，懷特先生是三倍，史密斯先生是四倍。請說出四位女士的姓。

　　解答;在美國，妻子與丈夫同姓。解決本題的方法之一是解不定方程。下面我們換一種方法，就是整數的拆分。44瓶可樂，減去女士已經喝掉的14瓶，還剩30瓶。先按照每個男士和女士喝得一樣多，再減掉男士喝掉的14瓶，還剩16瓶。本題的實質是把16拆分成2、3、4、5中的某3個數的1、2、3。倍之和。顯然，5或者4的3倍加上2、3會超過16，3的3倍也不行，只有2的3倍是一個可行的數。16去掉6后還剩下10。也就是要把10拆分成3、4、5中某2個數的1、2倍之和，結果就是2個3和1個4。

　　最后，我們得到的答案是44=2+3+4+5+4×2+3×3+2×4+1×5。和題目描述的對比一下，就可以知道四位女士的姓名了：安·史密斯，貝蒂·懷特，卡羅爾·格林，多蘿西·布朗。用整數的拆分方法來解整數方程，也是一條好途徑。

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