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數(shù)學因式分解的方法
要想能在綜合性較強的幾何題目中能靈活應(yīng)用，就必須要熟記啦。因式分解沒有普遍的方法，初中數(shù)學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法。小編為大家整理了數(shù)學公式：因式分解的方法，希望能夠?qū)Υ蠹矣兴鶐椭?/p>
數(shù)學因式分解的方法：
一、換元法
有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數(shù)，然后進行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來，這種方法叫做換元法。注意:換元后勿忘還元.
【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12時，可以令y=x^2+x,則原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).
二、運用公式法
如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫運用公式法。
① 平方差公式：a-b=(a+b)(a-b);
② 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) ;
注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)(或式)的積的2倍。
③ 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);
④ 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);
⑤ 完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.
【例】a+4ab+4b =(a+2b)
三、分組分解法
把一個多項式適當分組后，再進行分解因式的方法叫做分組分解法。用分組分解法時，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此選擇合理選擇分組的方法，即分組后，可以直接提公因式或運用公式。
【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).
四、拆項、補項法
這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項(或幾項)，使原式適合于提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
【例】bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b).
五、配方法
對于某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬于拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
【例】x+3x-40=x+3x+2.25-42.25=(x+1.5)-(6.5)=(x+8)(x-5).
六、十字相乘法
這種方法有兩種情況：
① x+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是：二次項的系數(shù)是1;常數(shù)項是兩個數(shù)的積;一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)的和。因此，可以直接將某些二次項的系數(shù)是1的二次三項式因式分解：x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .
② kx+mx+n型的式子的因式分解
如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時，那么kx+mx+n=(ax+b)(cx+d).
a b×c d
例如：因為
1 -3×7 2
且2-21=-19， 所以7x-19x-6=(7x+2)(x-3).
多項式因式分解的一般步驟>>
① 如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式;
② 如果各項沒有公因式，那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解;
③ 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解;
④ 分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。
也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適。”
【例題】
1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2.
解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).
2.求證：對于任何實數(shù)x,y，下式的值都不會為33：x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5.
解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y).
當y=0時，原式=x^5不等于33;當y不等于0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數(shù)的積，所以原命題成立。
3.△ABC的三邊a、b、c有如下關(guān)系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。
解：此題實質(zhì)上是對關(guān)系式的等號左邊的多項式進行因式分解。證明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.∴(a-c)(a+2b+c)=0.∵a、b、c是△ABC的三條邊，∴a+2b+c>0.∴a-c=0，即a=c，△ABC為等腰三角形。
4.把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。
解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1).
七、應(yīng)用因式定理
對于多項式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a.
【例】f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x^2+5x+6的一個因式。(事實上，x^2+5x+6=(x+2)(x+3).)
八、提公因式法
各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。
具體方法：當各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù);字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的;取相同的多項式，多項式的次數(shù)取最低的。如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正數(shù)。提出“-”號時，多項式的各項都要變號。
【例】①-am+bm+cm=-m(a-b-c)②a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)
九、求根法
令多項式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……xn，則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) .
【例】在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，則通過綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1.所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).
令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖像與X軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,…xn ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)… (x-xn).與方法九相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準確。
【例】在分解x^3 +2x^2 -5x-6時，可以令y=x^3 +2x^2 -5x-6.作出其圖像，與x軸交點為-3，-1，2 ，則x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).
十、雙十字相乘法
雙十字相乘法屬于因式分解的一類，類似于十字相乘法。用一道例題來說明如何使用。
【例】分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12.
解：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。
x 2y 2
① ② ③
x 3y 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6).
雙十字相乘法其步驟為>>
① 先用十字相乘法分解2次項，如十字相乘圖①中X^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y);
② 先依一個字母(如y)的一次系數(shù)分數(shù)常數(shù)項。如十字相乘圖②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6);
③ 再按另一個字母(如x)的一次系數(shù)進行檢驗，如十字相乘圖③，這一步不能省，否則容易出錯。
十一、主元法
先選定一個字母為主元，然后把各項按這個字母次數(shù)從高到低排列，再進行因式分解。
十二、特殊值法
將2或10代入x，求出數(shù)p，將數(shù)p分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當?shù)慕M合，并將組合后的每一個因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。
【例】在分解x^3+9x^2+23x+15時，令x=2，則x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105，將105分解成3個質(zhì)因數(shù)的積，即105=3×5×7 .
注意到多項式中最高項的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值，則x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，驗證后的確如此。
十三、待定系數(shù)法
首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項式因式分解。
【例】在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時，由分析可知：這個多項式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。
于是設(shè)x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd，由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4.解得a=1，b=1，c=-2，d=-4.則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4).
通過以上數(shù)學公式：因式分解的方法的學習后，想必同學們的學習會更進一步，如想了解更多請繼續(xù)關(guān)注數(shù)學網(wǎng)。
因式分解的方法
注意三原則
1.分解要徹底(是否有公因式，是否可用公式)
2.最后結(jié)果只有小括號
3.最后結(jié)果中多項式首項系數(shù)為正(例如：-3x^2+x=x(-3x+1))
4.最后結(jié)果每一項都為最簡因式
歸納方法：
1.提公因式法。
2.公式法。
3.分組分解法。
4.湊數(shù)法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]
5.組合分解法。
6.十字相乘法。
7.雙十字相乘法。
8.配方法。
9.拆項補項法。
10.換元法。
11.長除法。
12.求根法。
13.圖象法。
14.主元法。
15.待定系數(shù)法。
16.特殊值法。
17.因式定理法。
基本方法 各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式，公因式可以是單項式，也可以是多項式。
如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提取公因式
具體方法：當各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的。當各項的系數(shù)有分數(shù)時，公因式系數(shù)為各分數(shù)的最大公約數(shù)。如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正數(shù)。提出“-”號時，多項式的各項都要變號。
口訣：找準公因式，一次要提盡全家都搬走，留1把家守提負要變號，變形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。
注意：把2a+1/2變成2(a+1/4)不叫提公因式
如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。
平方差公式: (a+b)(a-b)=a^2-b^2,反過來為a^2-b^2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,反過來為a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)(或式)的積的2倍。
兩根式：ax^2+bx+c=a[x-(-b+√(b^2-4ac))/2a][x-(-b-√(b^2-4ac))/2a]
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.
公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
例如：a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2。
1.分解因式技巧掌握：
①分解因式是多項式的恒等變形，要求等式左邊必須是多項式
②分解因式的結(jié)果必須是以乘積的形式表示
③每個因式必須是整式，且每個因式的次數(shù)都必須低于原來多項式的次數(shù)
④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。
注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個方面考慮。
2.提公因式法基本步驟：
(1)找出公因式
(2)提公因式并確定另一個因式：
①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母
②第二步提公因式并確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式
③提完公因式后，另一因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同。
知識要領(lǐng)總結(jié)：在競賽上，有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，余式定理法，求根公式法，換元法，長除法，短除法，除法等。
初中數(shù)學知識點總結(jié)：平面直角坐標系
下面是對平面直角坐標系的內(nèi)容學習，希望同學們很好的掌握下面的內(nèi)容。
平面直角坐標系
平面直角坐標系：在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標系。
水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。
平面直角坐標系的要素：①在同一平面②兩條數(shù)軸③互相垂直④原點重合
三個規(guī)定：
①正方向的規(guī)定橫軸取向右為正方向，縱軸取向上為正方向
②單位長度的規(guī)定；一般情況，橫軸、縱軸單位長度相同；實際有時也可不同，但同一數(shù)軸上必須相同。
③象限的規(guī)定：右上為第一象限、左上為第二象限、左下為第三象限、右下為第四象限。
相信上面對平面直角坐標系知識的講解學習，同學們已經(jīng)能很好的掌握了吧，希望同學們都能考試成功。
初中數(shù)學知識點：平面直角坐標系的構(gòu)成
對于平面直角坐標系的構(gòu)成內(nèi)容，下面我們一起來學習哦。
平面直角坐標系的構(gòu)成
在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標系。通常，兩條數(shù)軸分別置于水平位置與鉛直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數(shù)軸的正方向。水平的數(shù)軸叫做X軸或橫軸，鉛直的數(shù)軸叫做Y軸或縱軸，X軸或Y軸統(tǒng)稱為坐標軸，它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點。
通過上面對平面直角坐標系的構(gòu)成知識的講解學習，希望同學們對上面的內(nèi)容都能很好的掌握，同學們認真學習吧。
初中數(shù)學知識點：點的坐標的性質(zhì)
下面是對數(shù)學中點的坐標的性質(zhì)知識學習，同學們認真看看哦。
點的坐標的性質(zhì)
建立了平面直角坐標系后，對于坐標系平面內(nèi)的任何一點，我們可以確定它的坐標。反過來，對于任何一個坐標，我們可以在坐標平面內(nèi)確定它所表示的一個點。
對于平面內(nèi)任意一點C，過點C分別向Ｘ軸、Ｙ軸作垂線，垂足在Ｘ軸、Ｙ軸上的對應(yīng)點a，b分別叫做點C的橫坐標、縱坐標，有序?qū)崝?shù)對（a，b）叫做點C的坐標。
一個點在不同的象限或坐標軸上，點的坐標不一樣。
希望上面對點的坐標的性質(zhì)知識講解學習，同學們都能很好的掌握，相信同學們會在考試中取得優(yōu)異成績的。
初中數(shù)學知識點：因式分解的一般步驟
關(guān)于數(shù)學中因式分解的一般步驟內(nèi)容學習，我們做下面的知識講解。
因式分解的一般步驟
如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮運用公式法；若是四項或四項以上的多項式，
通常采用分組分解法，最后運用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。
注意：因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明確指出在哪個范圍內(nèi)因式分解，應(yīng)該是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，因此分解因式的結(jié)果，必須是幾個整式的積的形式。
相信上面對因式分解的一般步驟知識的內(nèi)容講解學習，同學們已經(jīng)能很好的掌握了吧，希望同學們會考出好成績。
初中數(shù)學知識點：因式分解
下面是對數(shù)學中因式分解內(nèi)容的知識講解，希望同學們認真學習。
因式分解
因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式的變形叫把這個多項式因式分解。
因式分解要素：①結(jié)果必須是整式②結(jié)果必須是積的形式③結(jié)果是等式④因式分解與整式乘法的關(guān)系：m(a+b+c)
公因式：一個多項式每項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式。
公因式確定方法：①系數(shù)是整數(shù)時取各項最大公約數(shù)。②相同字母取最低次冪③系數(shù)最大公約數(shù)與相同字母取最低次冪的積就是這個多項式各項的公因式。
提取公因式步驟：
①確定公因式。②確定商式③公因式與商式寫成積的形式。
分解因式注意；
①不準丟字母
②不準丟常數(shù)項注意查項數(shù)
③雙重括號化成單括號
④結(jié)果按數(shù)單字母單項式多項式順序排列
⑤相同因式寫成冪的形式
⑥首項負號放括號外
⑦括號內(nèi)同類項合并。
通過上面對因式分解內(nèi)容知識的講解學習，相信同學們已經(jīng)能很好的掌握了吧，希望上面的內(nèi)容給同學們的學習很好的幫助。
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