《立方根》七年級數學教學設計

　　【教學目標】

　　一、知識與技能目標

　　1.了解立方根的概念,能夠用根號表示一個數的立方根.

　　2.能用類比平方根的方法學習立方根,及開立方運算,并區分立方根與平方根的不同.

　　二、過程與方法目標 用類比的方法探尋出立方根的運算及表示方法,并能自我總結出平方根與立方根的異同.

　　三、情感態度與價值觀目標 發展學生的求同存異思維,使他們能在復雜的環境中明辨是非,并做出正確的處理.

　　【教學重難點】

　　教學重點：立方根的概念.

　　教學難點：

　　1.正確理解立方根的概念.

　　2.會求一個數的立方根.

　　3.區分立方根與平方根的不同之處.

　　教學方法： 類比學習法.

　　教學過程：

　　Ⅰ.新課導入

　　上節課我們學習了平方根的定義，若x2=a，則x叫a的平方根，即x=±. 若正方體的棱長為a，體積為8，根據正方體體積的公式得a3=8，那a叫8的什么呢?本節課請大家根據上節課的內容自己來類推出結論，若x3=a，則x叫a的什么呢?

　　〖評析在學生對《平方根》知識的學習后檢查自己課前延伸的練習情況，讓學生自查自糾，把學習的主動權交給學生;另外，通過對立方根的應用題解決了，讓學生有一種學習數學很有用的感覺，激發他們的學習興趣.

　　Ⅱ.新課講解

　　1.請大家先回憶平方根的定義.

　　下面大家能不能再根據平方根的寫法來類推立方根的記法呢?

　　(一)提出問題,引發討論 在學習平方根的運算時,首先是找出一些數的平方值,然后才根據其逆運算過程確定某數的平方根,同樣,我們先來算一算一些數的立方. 23=______ ;(-2)3=______; 0.53=_____;(-0.5)3=______; ()3=_____;-()3=_____ ; 03=______.

　　(1)經計算發現正數,0,負數的立方值與平方值有何不同之處? 23=8;(-2)3=-8; 0.53=0.125; (-0.5)3=-0.125;()3=; -()3=-; 03=0. 我們發現,求立方運算時,當底數互為相反數時,其立方值也是一對互為相反數,這與平方運算不同,平方運算的底數為相反數,但其平方值相等,故一個正數的平方根有兩個值,但一個正數的立方根卻只有一個值了,什么是立方值呢? 類似平方值定義可知,若x3=a則x為a的立方根,記為,讀作三次根號a.負數沒有平方根,負數有無立方根呢?從(-2)3=-8,(-0.5)3=-0.125,()3=-,可知負數有立方根,并且其立方根仍為負數.

　　(2)開平方與平方運算互為逆運算,同樣開立方與立方運算也互逆,故請根據上述等式,寫出這些互為相反數的立方根. 8的立方根為2,-8的立方根為-2,記為=2, =-2 0.125的立方根為0.5,-0.125的立方根為-0.5,記為=0.5, =-0.5 的立方根為,-的立方根為-,記為=，=- 0的立方根為0,記為=0

　　〖評析在此處鋪設了一個臺階，再設置了一個學生容易解決的問題，將學生的注意力從開立方運算向立方運算的思路引導，讓學生對立方運算與開立方運算這間的互逆關系有初步的認識，為進一步探究新知作好準備。

　　上述過程都是求一個數的立方根的運算,把求一個數的立方根的運算,叫做開立方,開立方與立方運算互為逆運算.故正方體的體積為125時,其邊長為=5,而球的體積為r3 =125時,r≈3.1. 若x的平方等于a，則x叫a的平方根，記作x=±，讀作x等于正、負二次根號a，簡稱為x等于正，負根號a.若x的立方等于a，則x叫a的立方根，記作x=±，讀作x等于正、負三次根號a，簡稱x等于正、負根號a.

　　[師]請大家對這位同學的回答展開討論，小組總結后選代表發言

　　[生甲]我認為這位同學回答得不對.如果x2=a，則x=±，x3=a時，x=±也成立的話，那如何區分平方根與立方根呢?

　　[生乙]因為乘方與開方是互為逆運算，求立方根可通過逆運算立方來求，如x3=8，因為23=8，所以x=2，只有一個根而不是±2，所以立方根的個數不正確.

　　[師]大家的分析非常有道理，請認真看書第13、14頁可知，若一個數x的立方等于a，即x3=a，那么這個數x就叫做a的立方根(cube root;也叫三次方根)如2是8的立方根，記為x=，讀作x等于三次根號a. 開立方的定義

　　[師]大家先回憶開平方的定義，再類推開立方的定義.

　　[生]求一個數a的平方根的運算，叫做開平方，則求一個數a的立方根的運算，叫做開立方，其中a叫做被開方數. (2)立方根的性質

　　[師]2的立方等于多少?是否有其他的數，它的立方也是8?

　　[生]2的立方等于8，(-2)3=-8，所以沒有其他的數的立方等于8.

　　[師]-3的立方等于多少?是否有其他的數，它的立方也是-27?

　　[生]-3的立方等于-27，33=27，所以沒有其他的數的立方等于-27

　　[師]0的立方等于多少?0有幾個立方根?

　　[生]0的立方等于0，0有1個立方根是0.

　　[師]從剛才的討論中，大家總結一下正數有幾個立方根?0有幾個立方根?負數有幾個立方根?

　　[生]正數有一個立方根，0有一個立方根是0，負數有一個立方根.

　　[師]對.正數有一個正的立方根、負數有一個負的立方根，0的立方根有一個，是0. (3)平方根與立方根的區別與聯系.

　　[師]我們已經學習了平方根與立方根的定義，并會求某些數的平方根和立方根，下面請大家說說它們的聯系與區別.

　　[生]從定義來看，若一個數x的平方等于a，即x2=a，則x叫a的平方根;若一個數x的立方等于a，即x3=a，則x叫a的立方根，都是一個數x的乘方等于a，但一個是平方，另一個是立方.

　　[生]一個正數的平方根有兩個，一個負數沒有平方根，零的平方根有一個是零;一個正數的立方根有一個，并且是正數，一個負數有一個負的立方根，零的立方根有一個是零.

　　[生]它們的表示方法和讀法不同，一個正數a的平方根表示為±，立方根表示為. 下面我再系統地總結一下： 平方根與立方根的聯系與區別.

　　聯系：

　　(1)0的平方根、立方根都有一個是0.

　　(2)平方根、立方根都是開方的結

　　區別：

　　(1)定義不同：“如果一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根”;“如果一個數的立方等于a，這個數就叫做a的立方根.”

　　(2)個數不同：一個正數有兩個平方根，一個正數有一個立方根;一個負數沒有平方根，一個負數有一個立方根.

　　(3)表示法不同 正數a的平方根表示為±，a的立方根表示為.

　　(4)被開方數的取值范圍不同 ±中的被開方數a是非負數;中的被開方數可以是任何數.

　　2.例題講解

　　[例1]求下列各數的立方根：

　　(1)-27;(2);(3)0.216;(4)-5. [師]請大家思考下列問題. 表示a的立方根，則()3等于什么?等于什么? 大家可以先舉例后找規律.： ()3=a. 又∵a3是a的立方,所以a3的立方根就是a，所以=a.下面就這兩個式子進行練習. [例2]求下列各式的值： (1);(2);(3)-;(4)()3

　　Ⅲ.課堂練習 (一)隨堂練習

　　1.求下列各式的值：

　　2.一個正方體，它的體積是棱長為3厘米的正方體體積的8倍，這個正方體的棱長是多少? 解：設正方體的棱長是x厘米，得

　　(二)補充練習

　　1.求下列各數的立方根： 0，1，-，6，-，0.001

　　2.求下列各式的值：

　　3.下列說法對不對? -4沒有立方根;1的立方根是±1;的立方根是;-5的立方根是-;64的算術平方根是 Ⅳ.議一議 1.某化工廠使用一種球形儲氣罐儲藏氣體.現在要造一個新的球形儲氣罐，如果它的體積是原來的8倍，那么它的半徑是原儲氣罐半徑的多少倍?

　　2.一個正方體的體積變為原來的n倍，它的棱長變為原來的多少倍?

　　解：設原正方體的棱長為a，后來的正方體的棱長為b，得 na3=b3∴ ∴b=. 即后來的棱長變為原來的倍. Ⅴ.課時小結

　　1.立方根的定義

　　2.立方根的性質.

　　3.開立方的定義

　　4.平方根與立方根的區別與聯系

　　5.會求一個數的立方根.

　　Ⅵ.課后作業

　　習題2.5. Ⅶ.活動與探究

　　1.求下列各式中的x. (1)8x3+27=0;(2)(x-1)3-0.343=0;(3)81(x+1)4=16;(4)32x5-1=0.

　　板書設計：

　　§2.3 立方根

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