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單位圓與正弦函數(shù)教案

　　1 單位圓與正弦函數(shù)

單位圓與正弦函數(shù)教案

　　在初中，我們學(xué)習(xí)了銳角α的正弦函數(shù)值：sinα＝，如圖：sinA＝，由于a是直角邊，c是斜邊，所sinA∈(0，1)。由于我們通常都是將角放到平面直角坐標(biāo)系中，我們來看看會(huì)發(fā)生什么？

　　在直角坐標(biāo)系中，（如圖所示），設(shè)角α（α∈（0，））的終邊與半經(jīng)為r的圓交于點(diǎn)P（a，b），則角α的正弦值是：sinα＝ .根據(jù)相似三角形的知識(shí)可知，對(duì)于確定的角α，都不會(huì)隨圓的半經(jīng)的改變而改變。為簡單起見，令r＝1(即為單位圓)，那么sinα＝b，也就是說，若角α的終邊與單位圓相交于P，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)b就是角α的正弦函數(shù)。

　　直角三角形顯然不能包含所有的角，那么，我們可以仿照銳角正弦函數(shù)的定義．你認(rèn)為該如何定義任意角的正弦函數(shù)?

　　一般地，在直角坐標(biāo)系中（如上圖），對(duì)任意角α，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（a，b），我們可以唯一確定點(diǎn)P（a，b）的縱坐標(biāo)b，所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)b是角α的函數(shù)，稱為正弦函數(shù)，記作＝sinα(α∈R)。通常我們用x，分別表示自變量與因變量，將正弦函數(shù)表示為＝sinx.正弦函數(shù)值有時(shí)也叫正弦值.

　　請(qǐng)同學(xué)們畫圖，并利用正弦函數(shù)的定義比較說明：角與角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)有什么關(guān)系？它們的正弦值有什么關(guān)系？角和角呢？－角和角呢？－角和－角呢？

　　sin =sin = sin =-sin =-

　　Sin(- )=sin( )= sin(- )=sin(- )=

　　通過上述問題的討論，容易得到：終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，即

　　sin(2π＋α)＝sinα (∈Z)，說明對(duì)于任意一個(gè)角α，每增加2π的整數(shù)倍，其正弦函數(shù)值不變。所以，正弦函數(shù)是隨角的變化而周期性變化的，正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2π（∈Z，≠0）為正弦函數(shù)的周期。

　　2π是正弦函數(shù)的正周期中最小的一個(gè)，稱為最小正周期。一般地，對(duì)于周期函數(shù)f(x)，如果它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期。

　　【鞏固深化，發(fā)展思維】

　　1．若點(diǎn)P(—3，)是α終邊上一點(diǎn)，且sinα＝— ，求值．【】

　　2．若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊在函數(shù)＝—3x (x≤0)的圖像上，則sinα＝。【】

　　（三）、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)：

　　（1）請(qǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過的知識(shí)內(nèi)容有哪些？所涉及到的主要數(shù)學(xué)思想方法有那些？

　　（2）在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，還有那些不太明白的地方，請(qǐng)向老師提出。