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抽象函數的定義是什么

　　解答抽象函數題目的基礎是熟悉函數的基本知識。如果連基本的函數知識都沒有掌握，解決抽象函數問題只能是空談。下面是百分網小編給大家整理的抽象函數的定義簡介，希望能幫到大家!

　　抽象函數的定義

　　我們把沒有給出具體解析式的函數稱為抽象函數。由于這類問題可以全面考查學生對函數概念和性質的理解，同時抽象函數問題又將函數的定義域，值域，單調性，奇偶性，周期性和圖象集于一身，所以在高考中不斷出現;如2002年上海高考卷12題，2004年江蘇高考卷22題，2004年浙江高考卷12題等。

　　抽象函數形式

　　冪函數：f(xy)=f(x)f(y)

　　f(x/y)=f(x)/f(y)

　　正比例函數：f(x+y)=f(x)+f(y)

　　f(x-y)=f(x)-f(y

　　對數函數：f(x)+f(y)=f(xy)

　　f(x/y)=f(x)-f(y)

　　三角函數：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) f(x)=cosx

　　指數函數：f(x+y)=f(x)f(y)

　　f(x-y)=f(x)/f(y)

　　周期為n的周期函數：f(x)=f(x+n)

　　抽象函數的解法舉例

　　特殊值法

　　特殊值法是處理抽象函數選擇題的有力方法。根據抽象函數具有的性質，選擇一個熟悉的函數作為特殊值代入驗證，可以解決大部分選擇題。

　　例1 定義在R上的函數f(x)滿足f (x + y) = f (x) + f (y)(x，y∈R)，當x<0時， f (x)>0，則函數f (x)在[a,b]上 ( )

　　A　有最小值f (a)　 B　有最大值f[(a+b)/2]　 C　有最小值f (b)　 D　有最大值f (b)

　　分析：許多抽象函數是由特殊函數抽象背景而得到的，如正比例函數f (x)= kx(k≠0)，可抽象為f (x + y) = f (x) +f (y)，與此類似的還有

　　此題作為選擇題可采用特殊值函數f (x)= kx(k≠0)

　　∵當x <0時f (x) > 0即kx > 0。.∴k < 0，可得f (x)在[a,b]上單調遞減，從而在[a,b]上有最小值f(b)。

　　賦值法

　　根據所要證明的或求解的問題使自變量取某些特殊值，從而解決問題。

　　例2 除了用剛才的方法外,也可采用賦值法

　　解:令y = -x，則由f (x + y) = f (x) + f (y) (x，y∈R)得f (0) = f (x) +f (-x)…..①,

　　再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0，代入①式得f (-x)= -f(x)。

　　得 f (x)是一個奇函數，圖像關于原點對稱。

　　∵當x <0時，f (x) >0，

　　即f (x)在R上是一個減函數，可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b)。

　　圖像性質解法

　　抽象函數雖然沒有給出具體的解析式，但可利用它的性質圖象直接來解題。

　　抽象函數解題時常要用到以下結論：

　　定理1：如果函數y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則函數y=f(x)的圖象關于x=(a+b)/2 對稱。

　　定理2：如果函數y=f(x)滿足f(a+x)=f(b+x)，則函數y=f(x)是一個周期函數，其周期應為∣b-a∣

　　例4　 f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x)=f(2-x)，證明f(x)是周期函數。

　　分析：由 f(x)=f(2-x)，得 f(x)的圖象關于x=1對稱，又f(x)是定義在R上的偶函數，圖象關于y軸對稱，根據上述條件，可先畫出符合條件的一個圖，那么就可以化無形為有形，化抽象為具體。從圖上直觀地判斷，然后再作證明。

　　由圖可直觀得T=2,要證其為周期函數，只需證f (x) = f (2 + x)。

　　證明：f (x) = f (-x) = f [2-(-x)] = f (2 + x)，∴ T=2。

　　∴f (x)是一個周期函數。

　　例5 　已知定義在[-2，2]上的偶函數f (x)在區間[0，2]上單調遞減，若f (1-m)<f (m),求實數m的`取值范圍

　　分析：根據函數的定義域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分別在[-2，0]和[0，2]的哪個區間內呢?如果就此討論，將十分復雜，如果注意到偶函數，則f (x)有性質f(-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免復雜的討論。

　　學好函數的方法

　　熟悉函數的基本知識

　　解答抽象函數題目的基礎是熟悉函數的基本知識。如果連基本的函數知識都沒有掌握，解決抽象函數問題只能是空談。具體說，學好函數要掌握常見函數的性質。例如，中學涉及的函數性質一般有單調性、奇偶性、有界性及周期性;常見的函數有指數函數、對數函數、三角函數、二次函數、對勾函數(Y=X+A/X(A>0))等等。

　　靈活選擇解題方法

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