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對(duì)數(shù)函數(shù)的定義是什么
一般地，函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，也就是說以冪(真數(shù))為自變量，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)，叫對(duì)數(shù)函數(shù)。下面是百分網(wǎng)小編給大家整理的對(duì)數(shù)函數(shù)的定義簡介，希望能幫到大家！
對(duì)數(shù)函數(shù)的定義
一般地，對(duì)數(shù)函數(shù)以冪(真數(shù))為自變量，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)。
對(duì)數(shù)函數(shù)是6類基本初等函數(shù)之一。其中對(duì)數(shù)的定義：
如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=logaN，讀作以a為底N的對(duì)數(shù)，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。
一般地，函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，也就是說以冪(真數(shù))為自變量，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)，叫對(duì)數(shù)函數(shù)。
其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，+∞)，即x>0。它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，可表示為x=ay。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。
“l(fā)og”是拉丁文logarithm(對(duì)數(shù))的縮寫，讀作：[英][lɡ][美][lɡ, lɑɡ]。
對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
在實(shí)數(shù)域中，真數(shù)式子沒根號(hào)那就只要求真數(shù)式大于零，如果有根號(hào)，要求真數(shù)大于零還要保證根號(hào)里的式子大于等于零(若為負(fù)數(shù)，則值為虛數(shù))，底數(shù)則要大于0且不為1。
對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)為什么要大于0且不為1？【在一個(gè)普通對(duì)數(shù)式里 a<0,或=1 的時(shí)候是會(huì)有相應(yīng)b的值。但是，根據(jù)對(duì)數(shù)定義：log以a為底a的對(duì)數(shù)；如果a=1或=0那么log以a為底a的對(duì)數(shù)就可以等于一切實(shí)數(shù)(比如log11也可以等于2，3，4，5，等等)】
通常我們將以10為底的對(duì)數(shù)叫常用對(duì)數(shù)(common logarithm),并把log10N記為lgN。另外，在科學(xué)計(jì)數(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828···為底數(shù)的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)(natural logarithm)，并且把logeN 記為In N。根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，可以得到對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：
當(dāng)a>0，a≠1時(shí)，aX=N X=logaN。(N>0)
由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的這個(gè)關(guān)系，可以得到關(guān)于對(duì)數(shù)的如下結(jié)論：
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)；
log以a為底1的對(duì)數(shù)為0(a為常數(shù)) 恒過點(diǎn)(1，0)。
有理和無理指數(shù)
如果 是正整數(shù), 表示等于 的 個(gè)因子的加減:
但是，如果是 不等于1的正實(shí)數(shù)，這個(gè)定義可以擴(kuò)展到在一個(gè)域中的任何實(shí)數(shù) (參見冪)。類似的，對(duì)數(shù)函數(shù)可以定義于任何正實(shí)數(shù)。對(duì)于不等于1的每個(gè)正底數(shù) ，有一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)和一個(gè)指數(shù)函數(shù)，它們互為反函數(shù)。
對(duì)數(shù)可以簡化乘法運(yùn)算為加法，除法為減法，冪運(yùn)算為乘法，根運(yùn)算為除法。所以，在發(fā)明電子計(jì)算機(jī)之前，對(duì)數(shù)對(duì)進(jìn)行冗長的數(shù)值運(yùn)算是很有用的，它們廣泛的用于天文、工程、航海和測(cè)繪等領(lǐng)域中。它們有重要的數(shù)學(xué)性質(zhì)而在今天仍在廣泛使用中。
復(fù)對(duì)數(shù)
復(fù)對(duì)數(shù)計(jì)算公式
復(fù)數(shù)的自然對(duì)數(shù)，實(shí)部等于復(fù)數(shù)的模的自然對(duì)數(shù)，虛部等于復(fù)數(shù)的輻角。
產(chǎn)生歷史
16世紀(jì)末至17世紀(jì)初的時(shí)候，當(dāng)時(shí)在自然科學(xué)領(lǐng)域（特別是天文學(xué)）的發(fā)展上經(jīng)常遇到大量精密而又龐大的數(shù)值計(jì)算，于是數(shù)學(xué)家們?yōu)榱藢で蠡喌挠?jì)算方法而發(fā)明了對(duì)數(shù)[1]。
德國的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《整數(shù)算術(shù)》中，寫出了兩個(gè)數(shù)列，左邊是等比數(shù)列（叫原數(shù)），右邊是一個(gè)等差數(shù)列（叫原數(shù)的代表，或稱指數(shù)，德文是Exponent ，有代表之意）。
欲求左邊任兩數(shù)的積（商），只要先求出其代表（指數(shù)）的和（差），然后再把這個(gè)和（差）對(duì)向左邊的一個(gè)原數(shù)，則此原數(shù)即為所求之積（商），可惜史提非并未作進(jìn)一步探索，沒有引入對(duì)數(shù)的概念。
納皮爾對(duì)數(shù)值計(jì)算頗有研究。他所制造的“納皮爾算籌”，化簡了乘除法運(yùn)算，其原理就是用加減來代替乘除法。 他發(fā)明對(duì)數(shù)的動(dòng)機(jī)是為尋求球面三角計(jì)算的簡便方法，他依據(jù)一種非常獨(dú)等的與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)有關(guān)的設(shè)想構(gòu)造出所謂對(duì)數(shù)方法，其核心思想表現(xiàn)為算術(shù)數(shù)列與幾何數(shù)列之間的聯(lián)系。在他的1619年發(fā)表《奇妙的對(duì)數(shù)表的描述》中闡明了對(duì)數(shù)原理，后人稱為 納皮爾對(duì)數(shù)，記為Nap．㏒x，它與自然對(duì)數(shù)的關(guān)系為：
Nap．㏒x=10㏑（107/x）
由此可知，納皮爾對(duì)數(shù)既不是自然對(duì)數(shù)，也不是常用對(duì)數(shù)，與現(xiàn)今的對(duì)數(shù)有一定的距離。
瑞士的彪奇（1552-1632）也獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)，可能比納皮爾較早，但發(fā)表較遲（1620）。
英國的布里格斯在1624年創(chuàng)造了常用對(duì)數(shù)。
1619年，倫敦斯彼得所著的《新對(duì)數(shù)》使對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)更接近（以e=2.71828...為底）。
對(duì)數(shù)的發(fā)明為當(dāng)時(shí)社會(huì)的發(fā)展起了重要的影響，簡化了行星軌道運(yùn)算問題。正如科學(xué)家伽利略（1564-1642）說：“給我時(shí)間，空間和對(duì)數(shù)，我可以創(chuàng)造出一個(gè)宇宙”。 又如十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：“對(duì)數(shù)用縮短計(jì)算的時(shí)間來使天文學(xué)家的壽命加倍”。
最早傳入中國的對(duì)數(shù)著作是《比例與對(duì)數(shù)》，它是由波蘭的穆尼斯（1611-1656）和中國的薛鳳祚在17世紀(jì)中葉合編而成的。當(dāng)時(shí)在lg2=0.3010中，2叫真數(shù)，0.3010叫做假數(shù)，真數(shù)與假數(shù)對(duì)列成表，故稱對(duì)數(shù)表。后來改用假數(shù)為對(duì)數(shù)」。
中國清代的數(shù)學(xué)家戴煦（1805-1860）發(fā)展了多種求對(duì)數(shù)的捷法，著有《對(duì)數(shù)簡法》（1845）、《續(xù)對(duì)數(shù)簡法》（1846）等。1854年，英國的數(shù)學(xué)家艾約瑟（1825-1905）看到這些著作后，大為嘆服。
當(dāng)今中學(xué)數(shù)學(xué)教科書是先講「指數(shù)」，后以反函數(shù)形式引出「對(duì)數(shù)」的概念。但在歷史上，恰恰相反，對(duì)數(shù)概念不是來自指數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)尚無分指數(shù)及無理指數(shù)的明確概念。布里格斯曾向納皮爾提出用冪指數(shù)表示對(duì)數(shù)的建議。1742年，J．威廉（1675-1749）在給G.威廉的《對(duì)數(shù)表》所寫的前言中作出指數(shù)可定義對(duì)數(shù)。而歐拉在他的名著《無窮小分析尋論》（1748）中明確提出對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的逆函數(shù)，和21世紀(jì)的教科書中的提法一致。
表達(dá)方式
�。�1）常用對(duì)數(shù)：lg（b）=log10b（10為底數(shù)）。
�。�2）自然對(duì)數(shù)：ln（b）=logeb（e為底數(shù)）。
e為無限不循環(huán)小數(shù)，通常情況下只取e=2.71828。
與指數(shù)的關(guān)系
同底的對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。
當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，ax=Nx=㏒aN。
關(guān)于y=x對(duì)稱。
對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式為 y=㏒ax，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)（圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩函數(shù)互為反函數(shù)），可表示為x=ay。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定（a>0且a≠1），右圖給出對(duì)于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：關(guān)于X軸對(duì)稱、當(dāng)a>1時(shí)，a越大，圖像越靠近x軸、當(dāng)0
可以看到，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形只不過是指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對(duì)稱圖形，因?yàn)樗鼈兓榉春瘮?shù)。
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