求和問題的解決方法

　　在各個領域，我們需要用到練習題的情況非常的多，只有多做題，學習成績才能提上來。學習就是一個反復反復再反復的過程，多做題。一份好的習題都是什么樣子的呢？下面是小編為大家收集的求和問題的解決方法，希望能夠幫助到大家。

　　求和問題的解決方法：

　　［問題情景］

　　學校組織看電影了，求和問題的解決。數(shù)學老師讓同學們留心觀察影劇院的座位排數(shù)和每排座位數(shù)，并要求算出影劇院共有多少個座位。第二天，同學們先把觀察到的情況向老師匯報如下：這個影劇院第一排有22個座位，每排的后一排都比前一排多2個座位，最后一排有6８個座位，共24排。老師聽后，問：你們算出了這個影劇院共有多少個座位嗎？同學們講出了各自的解答。但，老師對同學們的解答并不滿意，因為他們的解答幾乎相同———都較繁鎖。

　　［問題詮釋］

　　要計算共有多少個座位，也就是求這樣一列數(shù)“22，24，26，2８……64，66，6８”之和。若從22開始一個接一個相加求和，就顯得繁鎖，但仔細分析這列數(shù)，它有一個明顯的特點：從第二個數(shù)起，后一個數(shù)減去前一個數(shù)的差都是2，根據(jù)這列數(shù)的排列特點，在求它們的和時，應用加法交換律和結合律，容易發(fā)現(xiàn)：22＋6８＝24＋66＝26＋64＝2８＋62＝……＝90，即第一個數(shù)加最后一個數(shù)，第二個數(shù)加倒數(shù)第二個數(shù)，第三個數(shù)加倒數(shù)第三個數(shù)，……，和都等于90，數(shù)學論文《求和問題的解決》。這24個數(shù)相加，有多少個90呢？很顯然有12個。所以22＋24＋26＋……＋64＋66＋6８＝90×12＝10８0就是說，利用這種方法計算，很快就能知道這個影劇院共有10８0個座位。

　　［建立模式］

　　上述一列數(shù)中，第一個數(shù)稱為首項，第二個數(shù)稱為第二項，依此類推，最后一個數(shù)稱為末項，這列數(shù)一共有24項。如果一列數(shù)，從第二項起，每一項減去它前面一項的差都等于同一個定數(shù)（這一個定數(shù)叫做公差），那么，這樣一列數(shù)的和，可以用“（首項＋末項）×項數(shù)÷公差”來求出，且計算簡潔準確。

　　［問題解決］

　　小明為測量一座高樓的高度，他站在高樓的頂上，讓一物體從他的腳邊自由掉下，后測得物體第一秒鐘落下4.9米，以后每秒多落下9.８米，經過10秒鐘到達地面。這座高樓共有多高？分析：根據(jù)題意，可知：

　　第一秒落下：4.9＝4.9＋9.８×（1－1）

　　第二秒落下：4.9＋9.８＝4.9＋9.８×（2－1）

　　第三秒落下：4.9＋9.８＋9.８＝4.9＋9.８×（3－1）

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　　第10秒落下：4.9＋9.８×（10－1）＝93.1

　　所以，這座樓的高為（4.9＋93.1）×10÷2＝490（米）

　　數(shù)列求和公式方法總結：

　　一、分組轉化求和法

　　若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列構成，則求這個數(shù)列的前n項和Sn時可以用分組求和法求解。一般步驟是：拆裂通項――重新分組――求和合并。

　　例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和

　　解由和式可知，式中第n項為an=n（3n+1）=3n2+n

　　∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）

　　=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）

　　=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）

　　=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2

　　=n（n+1）2

　　二、奇偶分析求和法

　　求一個數(shù)列的前n項和Sn，如果需要對n進行奇偶性討論或將奇數(shù)項、偶數(shù)項分組求和再求解，這種方法稱為奇偶分析法。

　　例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

　　分析：觀察數(shù)列的通項公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn與數(shù)列項數(shù)n的奇偶性有關，故利用奇偶分析法及分組求和法求解，也可以在奇偶分析法的基礎上利用并項求和法求的結果。

　　解：當n為偶數(shù)時，

　　Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

　　=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

　　=-n2（1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2

　　=-n2-n2+n2+n2=n

　　當n為奇數(shù)時，

　　Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

　　=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

　　=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2

　　=-n2+n2+n2-n2=-n

　　綜上所述，Sn=（-1）nn

　　三、并項求和法

　　一個數(shù)列an的前n項和Sn中，某些項合在一起就具有特殊的性質，因此可以幾項結合求和，再求Sn，稱之為并項求和法。形如an=（-1）nf（n）的類型，就可以采用相鄰兩項合并求解。如例3中可用并項求和法求解。

　　例3：求S=-12+22-32+42-…-992+1002

　　解S=（-12+22）+（-32+42）+…+（-992+1002）

　　=（1+2）+（3+4）+…+（99+100）=5050

　　四、基本公式法

　　如果一個數(shù)列是符合以下某種形式，如等差、等比數(shù)列或通項為自然數(shù)的平方、立方的，那么可以直接利用以下數(shù)列求和的公式求和。

　　常用公式有

　　（1）等差數(shù)列求和公式：Sn=na1+n（n-1）2d=n（a1+an）2

　　（2）等比數(shù)列求和公式：Sn=na1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q=1）（q≠1）

　　（3）1+2+3+…+n=n（n+1）2

　　（4）1+3+5+…+2n-1=n2

　　（5）2+4+6+…+2n=n（n+1）

　　（6）12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）

　　（7）13+23+33+…+n3=14n2（n+1）2

　　例1：已知等比數(shù)列an的通項公式是an=12n-1，設Sn是數(shù)列an的前n項和，求Sn。

　　解：∵an=12n-1∴a1=1，q=12

　　∴Sn=1+12+14+…+12n-1=1（1-12n）1-12=2-12n-1

　　五、裂項相消法

　　如果一個數(shù)列an的通項公式能拆分成兩項差的形式，并且相加過程中可以互相抵消至只剩下有限項時，這時只需求有限項的和，把這種求數(shù)列前n項和Sn的方法叫做裂項相消法。

　　裂項相消法中常用的拆項轉化公式有：

　　（1）1n（n+1）=1n-1n+1，1n（n+k）=1k（1n-1n+k）

　　（2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）

　　（3）1n（n+1）（n+2）=12[1n（n+1）-1（n+1）（n+2）]

　　（4）1n+n+1=n+1-n，1n+n+k=1k（n+k-n），

　　其中n∈N，k∈R且k≠0

　　例5：求數(shù)列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+…+n，…的前n和Sn。

　　解由題知，an=11+2+3+…+n=2n（n+1）=2（1n-1n+1）

　　∴Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n

　　=2（1-12）+2（12-13）+2（13-14）+…+2（1n-1n+1）

　　=2（1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1）

　　=2（1-1n+1）=2nn+1

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