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判別式法證明不等式事例
判別式法是中學(xué)生經(jīng)常會用到的解答方法，其中用來證明不等式就不錯。下面就是學(xué)習(xí)啦小編給大家整理的判別式法證明不等式內(nèi)容，希望大家喜歡。
判別式法題目
x^2+y^2+z^2>=2xycosc+2zxcosb+2yzcosa
等價于(x-cosc*y-cosb*z)^2+(sinc*y-sinb*z)^2>=0
對于分式函數(shù) y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) ：
由于對任意一個實數(shù)y,它在函數(shù)f(x)的值域內(nèi)的充要條件是關(guān)于x的方程 y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有實數(shù)解，因此“求f(x)的值域。”這一問題可轉(zhuǎn)化為“已知關(guān)于x的方程 y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有實數(shù)解，求y的取值范圍。”
把x作為未知量，y看作常量，將原式化成關(guān)于x的一元二次方程形式(*)，令這個方程有實數(shù)解，然后對二次項系數(shù)是否為零加以討論：
(1)當(dāng)二次項系數(shù)為0時，將對應(yīng)的y值代入方程(*)中進行檢驗以判斷y的這個取值是否符合x有實數(shù)解的要求，……
(2)當(dāng)二次項系數(shù)不為0時，∵x∈R，∴Δ≥0，……
此時直接用判別式法是否有可能產(chǎn)生增根，關(guān)鍵在于對這個方程去分母這一步是不是同解變形。
原問題“求f(x)的值域。”進一步的等價轉(zhuǎn)換是“已知關(guān)于x的方程 y(dx^2+ex+f)=ax^2+bx+c 至少有一個實數(shù)解使得 dx^2+ex+f≠0，求y的取值范圍。”
判別式法解答
1、當(dāng)函數(shù)的定義域為實數(shù)集R時
例1 求函數(shù)y=(x^2-2x+1)/(x^2+x+1)的值域.
解：由于x^2+x+1=(x+12)^2+34>0，所以函數(shù)的定義域是R.
去分母：y(x^2+x+1)=x^2-2x+1,移項整理得(y-1)x^2+(y+2)x+(y-1)=0.(*)
(1)當(dāng)y≠1時，由△≥0得0≤y≤4;
(2)當(dāng)y=1時，將其代入方程(*)中得x=0.
綜上所述知原函數(shù)的值域為〔0，4〕.
2、當(dāng)函數(shù)的定義域不是實數(shù)集R時
例2 求函數(shù)y=(x^2-2x+1)/(x^2+x-2)的值域.
解：由分母不為零知，函數(shù)的定義域A={x|x≠-2且x≠1}.
去分母：y(x^2+x-2)=x^2-2x+1,移項整理得(y-1)x^2+(y+2)x-(2y+1)=0. (*)
(1)當(dāng)y≠1時，由△≥0得y^2≥0�y∈R.
檢驗：由△=0得y=0，將y=0代入原方程求得x=1，這與原函數(shù)定義域A相矛盾，
所以y≠0.
(2)當(dāng)y=1時，將其代入方程(*)中得x=1，這與原函數(shù)定義域A相矛盾，
所以y≠1.
綜上所述知原函數(shù)的值域為{y|y≠0且y≠1}
對于分式函數(shù)y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)：
由于對任意一個實數(shù)y,它在函數(shù)f(x)的值域內(nèi)的充要條件是關(guān)于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有實數(shù)解，
把“求f(x)的值域”這問題可轉(zhuǎn)化為“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有實數(shù)解，求y的取值范圍”把x當(dāng)成未知量，y當(dāng)成常量，化成一元二次方程，讓這個方程有根.先看二次項系數(shù)是否為零，再看不為零時只需看判別式大于等于零了.
此時直接用判別式法是否有可能出問題，關(guān)鍵在于對這個方程取分母這一步是不是同解變形。
這個問題進一步的`等價轉(zhuǎn)換是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一個實數(shù)解使x^2+mx+n≠0，求y的取值范圍”
這種方法不好有很多局限情況，如：定義域是一個區(qū)間的.定義域是R的或定義域是R且不等于某個數(shù)的還可以用.過程用上面的就可以了.。
判別式法介紹
作用
可以判斷方程有沒有根以及有幾個根，b^2-4ac<0無根，b^2-4ac=0有兩個相等根即一個根，b^2-4ac>0有兩個不相等根
說明
可用判別式法簡化為關(guān)于x的二次方程。
例如y=50x/(1+(x的平方)) ，附加限制條件(x>0) ，求y的最大值 。
yx^2-50x+y=0 由于兩根之積為1，說明兩根同號，那就必然是同正，所以兩根之和為正，也就是50/y>0。
定義域情況
定義域非R有兩種情況
第一種：被摳掉了一點或兩點(不會考多)只需檢驗即可 ( 至于具體如何檢驗： 應(yīng)當(dāng)理解，判別式法的原理在于求 x有解情況下 y的范圍 這解可能為兩個 也可以為一個 也就是說即使摳掉的那個點在某y值下是一個解 只要此時判別式不等于零也就是還有另外的解 而那個解在定義域內(nèi)則該y 值就可以取到 理解到這里就行了)
第二種也就是諸如(x>0) 。這種一般有兩種考慮方法。
第一種就是從正面考慮，也就是在判別式大于等于零下，分為“一個解大于零另一個解小于等于零”和“兩解均大于零(包含兩解相等)”兩種可能具體方法。須用韋達(dá)定理求解。
還可以從反面考慮，也就是在判別式大于等于零下排除兩解都小于等于零的情況
還有種可能就是定義域為x>1。
此情況，只需參照上面方法，將 X1*X2 轉(zhuǎn)化為(X1-1)(X2-1)這種形式即可。若求和亦然。
應(yīng)當(dāng)提的是 當(dāng)遇到第二種情況(即并非摳點的情況)時，適用判別式法的題就比較少了，那樣會比較麻煩。
應(yīng)清楚解題方法。比如如下例題，最簡單就是把x 除下來，然后求均值就可結(jié)束。
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