高中數學弦切角定理的求證方法

　　弦切角是幾何圖形，但它也是有定理證明的，具體的定理是怎樣的呢?下面就是百分網小編給大家整理的弦切角定理證明內容，希望大家喜歡。

　　弦切角定理之弦切角定義

　　頂點在圓上，一邊和圓相交，另 一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角)

　　如右圖所示，直線PT切圓O于點C，BC、AC為圓O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都為弦切角。

　　編輯本段弦切角定理

　　弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓心角的度數的一半.弦切角定理證明：

　　證明一：設圓心為O，連接OC，OB,。

　　∵∠TCB=90-∠OCB

　　∵∠BOC=180-2∠OCB

　　∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度數等于它所夾的弧所對的圓心角的度數的一半)

　　∵∠BOC=2∠CAB(圓心角等于圓周角的兩倍)

　　∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度數等于它所夾的.弧的圓周角)

　　證明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切線，A為切點，弧是弦切角∠BAC所夾的弧.

　　求證弦切角定理

　　證明：分三種情況：

　　(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上

　　∵AC為直徑，AB切⊙O于A，

　　∴弧CmA=弧CA

　　∵為半圓,

　　∴∠CAB=90=弦CA所對的圓周角 (2)圓心O在∠BAC的內部.

　　過A作直徑AD交⊙O于D,

　　若在優弧m所對的劣弧上有一點E

　　那么，連接EC、ED、EA

　　則有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

　　∴ ∠CEA=∠CAB

　　∴ (弦切角定理)

　　(3)圓心O在∠BAC的外部,

　　過A作直徑AD交⊙O于D

　　那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

　　∴∠CDA=∠CAB

　　∴(弦切角定理)

　　弦切角定理推論內容

　　若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等

　　應用舉例

　　例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點A，∠CBA=60° , AB=a 求BC長.

　　解：連結OA，OB.

　　∵在Rt△ABC中, ∠C=90

　　∴∠BAC=30°

　　∴BC=1/2a(RT△中30°角所對邊等于斜邊的一半)

　　例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經過點A的⊙O與BC切于點D，與AB，AC分別相交于E，F.

　　求證：EF∥BC.

　　證明：連DF.

　　AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC

　　∠EFD=∠BAD

　　∠EFD=∠DAC

　　⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC

　　∠EFD=∠FDC

　　EF∥BC

　　例3：如圖，ΔABC內接于⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，

　　求證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.

　　證明：∵AB是⊙O直徑

　　∴∠ACB=90

　　∵CD⊥AB

　　∴∠ACD=∠B，

　　∵MN切⊙O于C

　　∴∠MCA=∠B，

　　∴∠MCA=∠ACD，

　　即AC平分∠MCD，

　　同理：BC平分∠NCD.

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