高中數學正弦定理的常用證明方法

　　正弦定理(The Law of Sines)是三角學中的一個基本定理，它要怎么證明呢?下面小編就帶大家一起來詳細了解下吧。

　　正弦定理內容

　　在任意△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R，直徑為D。則有：

　　一個三角形中，各邊和所對角的正弦之比相等，且該比值等于該三角形外接圓的直徑(半徑的2倍)長度。[1]

　　公式變形

　　△ABC中，若角A，B，C所對的邊為a，b，c，三角形外接圓半徑為R，直徑為D，正弦定理進行變形有

　　定理意義

　　正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關系式。由正弦函數在區間上的單調性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數量關系。

　　一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。

　　在解三角形中，有以下的應用領域：

　　已知三角形的兩角與一邊，解三角形。

　　已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形。[3]

　　運用a:b:c=sinA:sinB:sinC解決角之間的轉換關系。

　　正弦定理證明

　　外接圓證明正弦定理

　　只需證明任意三角形內，任一角的邊與它所對應的正弦之比值為該三角形外接圓直徑即可。

　　現將△ABC，做其外接圓，設圓心為O。我們考慮∠C及其對邊AB。設AB長度為c。

　　1.若∠C為直角，則AB就是⊙O的直徑，即c= 2r。

　　∵(特殊角正弦函數值)

　　∴

　　2.若∠C為銳角或鈍角，過B作直徑BC`'交 ⊙O于C`，連接C'A，顯然BC'= 2r=R。

　　若∠C為銳角，則C'與C落于AB的同側，此時∠C'=∠C(同弧所對的圓周角相等)

　　∴在Rt△ABC'中有

　　若∠C為鈍角，則C'與C落于AB的異側，BC的對邊為a，此時∠C'=∠A，亦可推出。

　　考慮同一個三角形內的`三個角及三條邊，同理，分別列式可得。

　　故對任意三角形，定理得證。

　　向量證明

　　若△ABC為銳角三角形,過點A作單位向量j⊥,則j與的夾角為90°-∠A,j與的夾角為90°-∠C.由向量的加法原則可得

　　為了與圖中有關角的三角函數建立聯系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數量積運算,得到

　　∴|j| || Cos90°+|j| || Cos(90°-C)=|j| ||Cos(90°-A) .

 

　　∴asinC=csinA 即

　　同理,過點C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+∠C,j與的夾角為90°+∠B,可得

　　若△ABC為鈍角三角形,不妨設A>90°,過點A作與AB垂直的單位向量j,則j與AC的夾角為∠A-90°,j與CB的夾角為90°+∠B.同理

　　a·Cos(90°-B)=b·Cos(A-90°),

　　∴asinB=bsinA 即

　　過點C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+∠C,j與的夾角為90°+∠B,可得

　　綜上，

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