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高中數(shù)學(xué)余弦定理的證明方法

時(shí)間:2024-06-07 21:36:44 毅霖 證明大全 我要投稿
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高中數(shù)學(xué)余弦定理的常用證明方法

  余弦定理是數(shù)學(xué)的真理,那該怎么被證明呢?證明的步驟的是怎樣的呢?下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的余弦定理的證明方法內(nèi)容,希望大家喜歡。

高中數(shù)學(xué)余弦定理的常用證明方法

  余弦定理的證明方法一

  在△ABC中,AB=c、BC=a、CA=b

  則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

  a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

  b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

  下面在銳角△中證明第一個(gè)等式,在鈍角△中證明以此類推。

  過A作AD⊥BC于D,則BD+CD=a

  由勾股定理得:

  c^2=(AD)^2+(BD)^2,(AD)^2=b^2-(CD)^2

  所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

  =(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

  =a^2-2a*CD+(CD)^2-(CD)^2+b^2

  =a^2+b^2-2a*CD

  因?yàn)閏osC=CD/b

  所以CD=b*cosC

  所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

  余弦定理的證明方法二

  在任意△ABC中,作AD⊥BC.

  ∠C對(duì)邊為c,∠B對(duì)邊為b,∠A對(duì)邊為a-->

  BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c

  勾股定理可知:

  AC=AD+DC

  b=(sinB*c)+(a-cosB*c)

  b=sinB*c+a+cosB*c-2ac*cosB

  b=(sinB+cosB)*c-2ac*cosB+a

  b=c+a-2ac*cosB

  所以,cosB=(c+a-b)/2ac

  余弦定理的證明方法三

  如右圖,在ABC中,三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.以A為原點(diǎn),AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,于是C點(diǎn)坐標(biāo)是(b,0),由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosA,csinA).∴CB=(ccosA-b,csinA).現(xiàn)將CB平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)A,則AD=CB.而|AD|=|CB|=a,∠DAC=π-∠BCA=π-C,根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-C),asin(π-C))即D點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosC,asinC),∴AD=(-acosC,asinC)而AD=CB∴(-acosC,asinC)=(ccosA-b,csinA)∴asinC=csinA……①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC,同理可證asinA=bsinB,∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA,平方得:a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A,即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

  mb=(1/2)[(√2(a^2+c^2)-b^2)]

  mc=(1/2)[(√2(a^2+b^2)-c^2)]ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

  =(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

  由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

  得,4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表達(dá)式:

  ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]

  =(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

  同理可得:

  mb=

  mc=

  ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

  =(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

  由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

  得,4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表達(dá)式:

  ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]

  =(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

  證畢。

  正弦與余弦定理和公式高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

  首先,我們要了解下正弦定理的應(yīng)用領(lǐng)域

  在解三角形中,有以下的應(yīng)用領(lǐng)域:

  (1)已知三角形的兩角與一邊,解三角形

  (2)已知三角形的兩邊和其中一邊所對(duì)的角,解三角形

  (3)運(yùn)用a:b:c=sinA:sinB:sinC解決角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系

  直角三角形的一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫做這個(gè)角的正弦

  正弦定理

  在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,則有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R為三角形外接圓的半徑)

  其次,余弦的應(yīng)用領(lǐng)域

  余弦定理

  余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理,直接運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問題,若對(duì)余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識(shí),則使用起來更為方便、靈活。

  正弦定理的變形公式

  (1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;

  (2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;在一個(gè)三角形中,各邊與其所對(duì)角的正弦的比相等,且該比值都等于該三角形外接圓的直徑已知三角形是確定的,利用正弦定理解三角形時(shí),其解是唯一的;已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角,由于該三角形具有不穩(wěn)定性,所以其解不確定,可結(jié)合平面幾何作圖的方法及大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊定理和三角形內(nèi)角和定理去考慮解決問題

  (3)相關(guān)結(jié)論:a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)c/sinC=c/sinD=BD=2R(R為外接圓半徑)

  (4)設(shè)R為三角外接圓半徑,公式可擴(kuò)展為:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即當(dāng)一內(nèi)角為90時(shí),所對(duì)的邊為外接圓的直徑。靈活運(yùn)用正弦定理,還需要知道它的幾個(gè)變形:sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R,asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA

  (5)a=bsinA/sinB,sinB=bsinA/a

  正弦、余弦典型例題

  1.在△ABC中,C=90,a=1,c=4,則sinA的值為

  2.已知為銳角,且,則的度數(shù)是()A.30B.45C.60D.90

  3.在△ABC中,若,A,B為銳角,則C的度數(shù)是()A.75B.90C.105D.120

  4.若A為銳角,且,則A=()A.15B.30C.45D.60

  5.在△ABC中,AB=AC=2,ADBC,垂足為D,且AD=,E是AC中點(diǎn),EFBC,垂足為F,求sinEBF的值。

  正弦、余弦解題訣竅

  1、已知兩角及一邊,或兩邊及一邊的對(duì)角(對(duì)三角形是否存在要討論)用正弦定理

  2、已知三邊,或兩邊及其夾角用余弦定理

  3、余弦定理對(duì)于確定三角形形狀非常有用,只需要知道最大角的余弦值為正,為負(fù),還是為零,就可以確定是鈍角。直角還是銳角。

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