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高中數(shù)學(xué)余弦定理的常用證明方法

　　余弦定理是數(shù)學(xué)的真理，那該怎么被證明呢？證明的步驟的是怎樣的呢？下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的余弦定理的證明方法內(nèi)容，希望大家喜歡。

高中數(shù)學(xué)余弦定理的常用證明方法

　　余弦定理的證明方法一

　　在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

　　則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

　　a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

　　b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

　　下面在銳角△中證明第一個(gè)等式，在鈍角△中證明以此類推。

　　過A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a

　　由勾股定理得：

　　c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

　　所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

　　=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

　　=a^2-2a*CD+(CD)^2-(CD)^2+b^2

　　=a^2+b^2-2a*CD

　　因?yàn)閏osC=CD/b

　　所以CD=b*cosC

　　所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

　　余弦定理的證明方法二

　　在任意△ABC中,作AD⊥BC.

　　∠C對(duì)邊為c，∠B對(duì)邊為b，∠A對(duì)邊為a-->

　　BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

　　勾股定理可知：

　　AC=AD+DC

　　b=(sinB*c)+(a-cosB*c)

　　b=sinB*c+a+cosB*c-2ac*cosB

　　b=(sinB+cosB)*c-2ac*cosB+a

　　b=c+a-2ac*cosB

　　所以，cosB=(c+a-b)/2ac

　　余弦定理的證明方法三

　　如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA……①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

　　mb=(1/2)[(√2(a^2+c^2)-b^2)]

　　mc=(1/2)[(√2(a^2+b^2)-c^2)]ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

　　=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

　　由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

　　得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

　　ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]

　　=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

　　同理可得：

　　mb=

　　mc=

　　ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

　　=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

　　由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

　　得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

　　ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]

　　=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

　　證畢。

　　正弦與余弦定理和公式高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

　　首先，我們要了解下正弦定理的應(yīng)用領(lǐng)域

　　在解三角形中，有以下的應(yīng)用領(lǐng)域：

　　(1)已知三角形的兩角與一邊，解三角形

　　(2)已知三角形的兩邊和其中一邊所對(duì)的角，解三角形

　　(3)運(yùn)用a：b：c=sinA：sinB：sinC解決角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系

　　直角三角形的一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫做這個(gè)角的正弦

　　正弦定理

　　在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R為三角形外接圓的半徑)

　　其次，余弦的應(yīng)用領(lǐng)域

　　余弦定理

　　余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問題，若對(duì)余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識(shí)，則使用起來更為方便、靈活。

　　正弦定理的變形公式

　　(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;

　　(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;在一個(gè)三角形中，各邊與其所對(duì)角的正弦的比相等，且該比值都等于該三角形外接圓的直徑已知三角形是確定的，利用正弦定理解三角形時(shí)，其解是唯一的;已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，由于該三角形具有不穩(wěn)定性，所以其解不確定，可結(jié)合平面幾何作圖的方法及大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊定理和三角形內(nèi)角和定理去考慮解決問題

　　(3)相關(guān)結(jié)論：a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)c/sinC=c/sinD=BD=2R(R為外接圓半徑)

　　(4)設(shè)R為三角外接圓半徑，公式可擴(kuò)展為：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即當(dāng)一內(nèi)角為90時(shí)，所對(duì)的邊為外接圓的直徑。靈活運(yùn)用正弦定理，還需要知道它的幾個(gè)變形：sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R，asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA

　　(5)a=bsinA/sinB，sinB=bsinA/a

　　正弦、余弦典型例題

　　1.在△ABC中，C=90，a=1，c=4，則sinA的值為

　　2.已知為銳角，且，則的度數(shù)是()A.30B.45C.60D.90

　　3.在△ABC中，若，A，B為銳角，則C的度數(shù)是()A.75B.90C.105D.120

　　4.若A為銳角，且，則A=()A.15B.30C.45D.60

　　5.在△ABC中，AB=AC=2，ADBC，垂足為D，且AD=，E是AC中點(diǎn)，EFBC，垂足為F，求sinEBF的值。

　　正弦、余弦解題訣竅

　　1、已知兩角及一邊，或兩邊及一邊的對(duì)角(對(duì)三角形是否存在要討論)用正弦定理

　　2、已知三邊，或兩邊及其夾角用余弦定理

　　3、余弦定理對(duì)于確定三角形形狀非常有用，只需要知道最大角的余弦值為正，為負(fù)，還是為零，就可以確定是鈍角。直角還是銳角。

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