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高中數學余弦定理的常用證明方法

　　余弦定理是數學的真理，那該怎么被證明呢？證明的步驟的是怎樣的呢？下面就是百分網小編給大家整理的余弦定理的證明方法內容，希望大家喜歡。

高中數學余弦定理的常用證明方法

　　余弦定理的證明方法一

　　在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

　　則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

　　a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

　　b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

　　下面在銳角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。

　　過A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a

　　由勾股定理得：

　　c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

　　所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

　　=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

　　=a^2-2a*CD+(CD)^2-(CD)^2+b^2

　　=a^2+b^2-2a*CD

　　因為cosC=CD/b

　　所以CD=b*cosC

　　所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

　　余弦定理的證明方法二

　　在任意△ABC中,作AD⊥BC.

　　∠C對邊為c，∠B對邊為b，∠A對邊為a-->

　　BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

　　勾股定理可知：

　　AC=AD+DC

　　b=(sinB*c)+(a-cosB*c)

　　b=sinB*c+a+cosB*c-2ac*cosB

　　b=(sinB+cosB)*c-2ac*cosB+a

　　b=c+a-2ac*cosB

　　所以，cosB=(c+a-b)/2ac

　　余弦定理的證明方法三

　　如右圖，在ABC中，三內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.以A為原點，AC所在的直線為x軸建立直角坐標系，于是C點坐標是(b，0)，由三角函數的定義得B點坐標是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現將CB平移到起點為原點A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據三角函數的定義知D點坐標是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點坐標是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA……①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應用余弦定理證明:

　　mb=(1/2)[(√2(a^2+c^2)-b^2)]

　　mc=(1/2)[(√2(a^2+b^2)-c^2)]ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

　　=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

　　由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

　　得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

　　ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]

　　=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

　　同理可得：

　　mb=

　　mc=

　　ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

　　=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

　　由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

　　得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

　　ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]

　　=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

　　證畢。

　　正弦與余弦定理和公式高中數學知識點

　　首先，我們要了解下正弦定理的應用領域

　　在解三角形中，有以下的應用領域：

　　(1)已知三角形的兩角與一邊，解三角形

　　(2)已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形

　　(3)運用a：b：c=sinA：sinB：sinC解決角之間的轉換關系

　　直角三角形的一個銳角的對邊與斜邊的比叫做這個角的正弦

　　正弦定理

　　在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R為三角形外接圓的半徑)

　　其次，余弦的應用領域

　　余弦定理

　　余弦定理是揭示三角形邊角關系的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對余弦定理加以變形并適當移于其它知識，則使用起來更為方便、靈活。

　　正弦定理的變形公式

　　(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;

　　(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;在一個三角形中，各邊與其所對角的正弦的比相等，且該比值都等于該三角形外接圓的直徑已知三角形是確定的，利用正弦定理解三角形時，其解是唯一的;已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，由于該三角形具有不穩定性，所以其解不確定，可結合平面幾何作圖的方法及大邊對大角，大角對大邊定理和三角形內角和定理去考慮解決問題

　　(3)相關結論：a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)c/sinC=c/sinD=BD=2R(R為外接圓半徑)

　　(4)設R為三角外接圓半徑，公式可擴展為：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即當一內角為90時，所對的邊為外接圓的直徑。靈活運用正弦定理，還需要知道它的幾個變形：sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R，asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA

　　(5)a=bsinA/sinB，sinB=bsinA/a

　　正弦、余弦典型例題

　　1.在△ABC中，C=90，a=1，c=4，則sinA的值為

　　2.已知為銳角，且，則的度數是()A.30B.45C.60D.90

　　3.在△ABC中，若，A，B為銳角，則C的度數是()A.75B.90C.105D.120

　　4.若A為銳角，且，則A=()A.15B.30C.45D.60

　　5.在△ABC中，AB=AC=2，ADBC，垂足為D，且AD=，E是AC中點，EFBC，垂足為F，求sinEBF的值。

　　正弦、余弦解題訣竅

　　1、已知兩角及一邊，或兩邊及一邊的對角(對三角形是否存在要討論)用正弦定理

　　2、已知三邊，或兩邊及其夾角用余弦定理

　　3、余弦定理對于確定三角形形狀非常有用，只需要知道最大角的余弦值為正，為負，還是為零，就可以確定是鈍角。直角還是銳角。

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