余弦定理證明

在任意△ABC中, 作AD⊥BC.

∠C對邊為c，∠B對邊為b，∠A對邊為a -->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC²=AD²+DC²

b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²

b²=sin²B*c²+a²+cos²B*c²-2ac*cosB

b²=(sin²B+cos²B)*c²-2ac*cosB+a²

b²=c²+a²-2ac*cosB

所以，cosB=(c²+a²-b²)/2ac

2

如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c . 以A為原點，AC所在的直線為x軸建立直角坐標系，于是C點坐標是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點坐標是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA). 現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD = CB . 而 |AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ， 根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點坐標是 (acos(π-C)，asin(π-C)) 即 D點坐標是(-acosC，asinC), ∴ AD = (-acosC，asinC) 而 AD = CB ∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA) ∴ asinC = csinA …………① -acosC = ccosA-b ……② 由①得 asinA = csinC ，同理可證 asinA = bsinB ， ∴ asinA = bsinB = csinC . 由②得 acosC = b-ccosA ，平方得： a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ， 即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A . 而由①可得 a2sin2C = c2sin2A ∴ a2 = b2 + c2-2bccosA . 同理可證 b2 = a2 + c2-2accosB ， c2 = a2 + b2-2abcosC . 到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)[(√2(a^2+c^2)-b^2)]

mc=(1/2)[(√2(a^2+b^2)-c^2)]ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

【擴展閱讀篇】

用文字記載一個星期來的自己的思想、學習、生活情況的文字記錄。

它有別于“流水賬”，日記，在于流水賬是有什么就記錄什么，不需要作任何修飾和認識的升華，而且內(nèi)容不限，一周之內(nèi)可以記錄您每一天的任何事情。而周記就是：每周一次，并且對自己的生活學習思想認識有一定的升華。 周記是對個人和某個團體一周的所見、所聞、所思、所感、所惑、所獲的記錄。還可以寫一件在這一周里讓你有所感觸的事。

編輯本段作用

從學生角度來說，周記用來了解學生的思想動態(tài)，學習情況，答疑解惑，并通過周記的形式而置一些跟教育主題有關(guān)的主題作文，提高學生的認識，從而在全班范圍內(nèi)形成正確、積極、健康的輿論環(huán)境，并為主題班會準備材料，提高同學們參與的積極性。　

從老師的角度來說，周記用來回顧一周的得失，提出經(jīng)驗教訓(xùn)，讓班主任對班上情況有一個更加詳細和全面的了解，提高工作的針對性和準確性。老師除了用來了解同學一周發(fā)生的事情外，還用來鍛煉同學的文章水平，使同學文章水平得以提高。

編輯本段格式

周記的題目(寫作范圍：讀后感;見聞;趣事;數(shù)學周記......)

1.記事

2.自評(優(yōu)，缺)

3.解決措施

4.下周計劃

5.自己的所見所聞所感

其實周記并沒有一種標準的格式，只需要同學們每周把自己的所看到的、聽到的、想到的、經(jīng)歷的東西記下來，形成的文字片斷或一篇文章，一周寫一則就可以了。

編輯本段怎么寫周記

不少同學又開始問了，周記怎么寫?小學初中周記開頭怎么寫?

如果是一個片斷，將事情寫清、將要表達的意思表達完整就行了，當然，時間充裕，你可以將前因后果，你的想法補充完整，形成一篇文章。不論無論，周記沒有什么特殊規(guī)定的格式，跟我們平時說話寫文章一樣，要求就是條理清楚地說清一件事、一個想法。

周記的關(guān)鍵是要真，真事、真情、真想，不要虛構(gòu)。用力表達你正經(jīng)歷的、正思考的事，對提高你的寫作能力是有幫助的，不要當作負擔，也不要覺得有任何壓力，因為真的，只要排列一下就行了。

同時，周記交給老師后，也可讓老師來了解你的生活、你的想法，或許對你有幫助。

去年也談過周記怎么寫，轉(zhuǎn)到下面，大家再看看。

老師布置了周記作業(yè)，怎么寫呢?許多同學發(fā)了愁。

其實周記也好，日記也好，都是要寫一段時間內(nèi)印象最深的事。周記就是本星期內(nèi)的事。

回想一下這個星期發(fā)生了什么，在學習上有什么問題，班級里有什么新鮮事，和朋友老師間關(guān)系如何，這些都可以寫，和日記相比周記可以寫的內(nèi)容更多了，需要突出一兩個重點。

如果大腦里立刻就想起一二件事情，記憶深刻，那么恭喜，你就有材料了，將它們的前因后果，事情經(jīng)過，個人感想寫清楚吧。

有人會問：不好意思，一想到過去的幾天，我印象里只記得吃了一次大餐，或者只記得被老師罵了一頓，或者跟同學鬧別扭心里不爽，這些都沒有重要意義，怎么能寫呢?告訴你，既然你想到了，就說明是值得寫的。有意義的事情，不一定非得是意義重大，思想崇高，自己的生活瑣事，也是值得一寫的，只要你寫出你的感受。我們每天的日子不都是這些細小的沙子一樣的事情組成的嗎?這些沙子，串起了我們的歡笑，串起了我們的憂愁，串起了我們的無聊，引領(lǐng)著我們一天天，不知不覺地在長大。

更有一些同學說，這個周最無味，什么也沒有發(fā)生，沒什么可寫的。再想想，再想想，多個心眼，仔細觀察，你會找到的。

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