數列極限的證明方法介紹
數列極限是數學中的知識，拿這個知識是怎么被證明的呢?證明的方法是怎樣的呢?下面就是小編給大家整理的數列極限的證明內容，希望大家喜歡。
數列極限的證明方法一
X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限
求極限我會
|Xn+1-A|<|Xn-A|/A
以此類推，改變數列下標可得|Xn-A|<|Xn-1-A|/A;
|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;
……
|X2-A|<|X1-A|/A;
向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)
只要證明{x(n)}單調增加有上界就可以了。
用數學歸納法：
①證明{x(n)}單調增加。
x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);
設x(k+1)>x(k)，則
x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)
=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。
數列極限的證明方法二
證明{x(n)}有上界。
x(1)=1<4，
設x(k)<4，則
x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。
當0
當0
構造函數f(x)=x*a^x(0
令t=1/a，則：t>1、a=1/t
且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)
則：
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x
=lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分別求導)
=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)
=1/(+∞)
=0
所以，對于數列n*a^n，其極限為0
數列極限的證明方法三
根據數列極限的定義證明：
(1)lim[1/(n的平方)]=0
n→∞
(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2
n→∞
(3)lim[根號(n+1)-根號(n)]=0
n→∞
(4)lim0.999…9=1
n→∞n個9
5幾道數列極限的證明題：
n/(n^2+1)=0
√(n^2+4)/n=1
sin(1/n)=0
實質就是計算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了
第一題，分子分母都除以n，把n等于無窮帶進去就行
第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數列極限變成函數極限，用羅比達法則(不知樓主學了沒，沒學的話以后會學的)
第三題，n趨于無窮時1/n=0，sin(1/n)=0
不知樓主覺得我的解法對不對呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0
lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1
limsin(1/n)=lim[(1/n)*sin(1/n)/(1/n)]=lim(1/n)*lim[sin(1/n)]/(1/n)=0*1=0
數列的極限知識點歸納
一、間斷點求極限
1、連續、間斷點以及間斷點的分類：判斷間斷點類型的基礎是求函數在間斷點處的左右極限；
2、可導和可微，分段函數在分段點處的導數或可導性，一律通過導數定義直接計算或檢驗存在的定義是極限存在；
3、漸近線，（垂直、水平或斜漸近線）；
4、多元函數積分學，二重極限的討論計算難度較大，常考查證明極限不存在。
二、下面我們重點講一下數列極限的典型方法。
（一）重要題型及點撥
1、求數列極限
求數列極限可以歸納為以下三種形式。
2、抽象數列求極限
這類題一般以選擇題的形式出現，因此可以通過舉反例來排除。此外，也可以按照定義、基本性質及運算法則直接驗證。
（二）求具體數列的極限，可以參考以下幾種方法：
a、利用單調有界必收斂準則求數列極限。
首先，用數學歸納法或不等式的放縮法判斷數列的單調性和有界性，進而確定極限存在性；其次，通過遞推關系中取極限，解方程，從而得到數列的極限值。
b、利用函數極限求數列極限
如果數列極限能看成某函數極限的特例，形如，則利用函數極限和數列極限的關系轉化為求函數極限，此時再用洛必達法則求解。
（三）求項和或項積數列的極限，主要有以下幾種方法：
a、利用特殊級數求和法
如果所求的項和式極限中通項可以通過錯位相消或可以轉化為極限已知的一些形式，那么通過整理可以直接得出極限結果。
b、利用冪級數求和法
若可以找到這個級數所對應的`冪級數，則可以利用冪級數函數的方法把它所對應的和函數求出，再根據這個極限的形式代入相應的變量求出函數值。
c、利用定積分定義求極限
若數列每一項都可以提出一個因子，剩余的項可用一個通項表示，則可以考慮用定積分定義求解數列極限。
d、利用夾逼定理求極限
若數列每一項都可以提出一個因子，剩余的項不能用一個通項表示，但是其余項是按遞增或遞減排列的，則可以考慮用夾逼定理求解。
e、求項數列的積的極限
一般先取對數化為項和的形式，然后利用求解項和數列極限的方法進行計算。
數列極限存在條件
單調有界定理在實數系中，單調有界數列必有極限。
致密性定理任何有界數列必有收斂的子列。
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