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高中生最新的中心極限定理證明
中心極限的定理很是高級(jí)，但這個(gè)定理不好證明的，因?yàn)樾枰獓?yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度。下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的中心極限定理證明內(nèi)容，希望大家喜歡。
中心極限定理證明例子
[例1] 高爾頓釘板試驗(yàn).
圖中每一個(gè)黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子.每排釘子等距排列,下一排的每個(gè)釘子恰在上一排兩相鄰釘子之間.假設(shè)有排釘子,從入口中處放入小圓珠.由于釘板斜放,珠子在下落過程中碰到釘子后以的.概率滾向左邊,也以的概率滾向右邊.如果較大,可以看到許多珠子從處滾到釘板底端的格子的情形如圖所示,堆成的曲線近似于正態(tài)分布.
如果定義:當(dāng)?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向右邊,令;當(dāng)?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向左邊,令.則是獨(dú)立的,且
那么由圖形知小珠最后的位置的分布接近正態(tài).可以想象,當(dāng)越來越大時(shí)接近程度越好.由于時(shí),.因此,顯然應(yīng)考慮的是的極限分布.歷史上德莫佛第一個(gè)證明了二項(xiàng)分布的極限是正態(tài)分布.研究極限分布為正態(tài)分布的極限定理稱為中心極限定理.
中心極限定理介紹
設(shè)是獨(dú)立隨機(jī)變量序列,假設(shè)存在,若對(duì)于任意的,成立
稱服從中心極限定理.
[例2] 設(shè)服從中心極限定理,則服從中心極限定理,其中為數(shù)列.
解:服從中心極限定理,則表明
其中.由于,因此
故服從中心極限定理.
三、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理
在重貝努里試驗(yàn)中,事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為為次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù),則
[例3] 用頻率估計(jì)概率時(shí)的誤差估計(jì).
由德莫佛—拉普拉斯極限定理,
中心極限定理證明解答
第一類問題是已知,求,這只需查表即可.
第二類問題是已知,要使不小于某定值,應(yīng)至少做多少次試驗(yàn)?這時(shí)利用求出最小的.
第三類問題是已知,求.
解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,則利用,可得如下估計(jì): .
[例4] 拋擲一枚均勻的骰子,為了至少有0.95的把握使出現(xiàn)六點(diǎn)的概率與之差不超過0.01,問需要拋擲多少次?
解:由例4中的第二類問題的結(jié)論,.即.查表得.將代入,便得. 由此可見,利用比利用契比曉夫不等式要準(zhǔn)確得多.
[例5] 已知在重貝努里試驗(yàn)中,事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為為次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù),則服從二項(xiàng)分布:
的隨機(jī)變量.求.
解:
因?yàn)楹艽?于是
所以
利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,就可以求出的值.
[例6] 某單位內(nèi)部有260架電話分機(jī),每個(gè)分機(jī)有0.04的時(shí)間要用外線通話,可以認(rèn)為各個(gè)電話分機(jī)用不用外線是是相互獨(dú)立的,問總機(jī)要備有多少條外線才能以0.95的把握保證各個(gè)分機(jī)在使用外線時(shí)不必等候.
解:以表示第個(gè)分機(jī)用不用外線,若使用,則令;否則令.則.
如果260架電話分機(jī)同時(shí)要求使用外線的.分機(jī)數(shù)為,顯然有.由題意得,
查表得,,故取.于是
取最接近的整數(shù),所以總機(jī)至少有16條外線,才能有0.95以上的把握保證各個(gè)分機(jī)在使用外線時(shí)不必等候.
[例7] 根據(jù)孟德爾遺傳理論,紅黃兩種番茄雜交第二代結(jié)紅果植株和結(jié)黃果植株的比率為3:1,現(xiàn)在種植雜交種400株,試求結(jié)黃果植株介于83和117之間的概率.
解:將觀察一株雜交種的果實(shí)顏色看作是一次試驗(yàn),并假定各次試驗(yàn)是獨(dú)立的.在400株雜交種中結(jié)黃果的株數(shù)記為,則.
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