怎么證明勾股定理

　　勾股定理是幾何中幾個重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三邊的數量關系。以下是小編為大家整理的怎么證明勾股定理，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

　　一、傳說中畢達哥拉斯的證法

　　左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為xxx，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為xx，斜邊為的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等(邊長都是)，所以可以列出等式，化簡得。

　　在西方，人們認為是畢達哥拉斯最早發現并證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經失傳，這是傳說中的證明方法，這種證明方法簡單、直觀、易懂。

　　二、趙爽弦圖的證法

　　第一種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為xx，斜邊為的直角三角形圍在外面形成的。因為邊長為的正方形面積加上4個直角三角形的面積等于外圍正方形的面積，所以可以列出等式，化簡得。

　　第二種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為xx，斜邊為的角三角形拼接形成的（虛線表示），不過中間缺出一個邊長為的正方形“小洞”。

　　因為邊長為的正方形面積等于4個直角三角形的面積加上正方形“小洞”的面積，所以可以列出等式，化簡得。

　　這種證明方法很簡明，很直觀，它表現了我國古代數學家趙爽高超的證題思想和對數學的鉆研精神，是我們中華民族的驕傲。

　　三、美國第20任總統茄菲爾德的證法

　　這個直角梯形是由2個直角邊分別為xx，斜邊為的直角三角形和1個直角邊為的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式，化簡得。

　　這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數學史上被傳為佳話。

　　拓展：勾股定理公式

　　勾股定理是一個基本的幾何定理，在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是由西周人商高發現(公元前1000年)，故又有稱之為商高定理;三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明。直角三角形兩直角邊(即“勾”，“股”)邊長平方和等于斜邊(即“弦”)邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a+b=c。勾股定理現發現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。趙爽在注解《周髀算經》中給出了“趙爽弦圖”證明了勾股定理的準確性，勾股數組程a + b = c的正整數組(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股數。

　　其發展歷程

　　稱為商高定理，而更普遍地則稱為勾股定理。中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。

　　勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發現并且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。

　　中國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一。中國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高(約公元前1120年)答周公曰“故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。”因此，勾股定理在中國又稱“商高定理”。在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得斜至日。

　　還有的國家稱勾股定理為“畢達哥拉斯定理”。

　　公元前550年，希臘的著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥拉斯”定理。為了慶祝這一定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”.

　　蔣銘祖定理：蔣銘祖是公元前十一世紀的中國人。當時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。在中國古代大約是戰國時期西漢的數學著作《蔣銘祖算經》中記錄著商 高同周公的一段對話。蔣銘祖說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。”蔣銘祖那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3(短邊)和4(長邊)時，徑隅(就是弦)則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”。這就是著名的蔣銘祖定理，關于勾股定理的發現，《蔣銘祖算經》上說："故禹之所以治天下者，此數之所由生也;""此數"指的是"勾三股四弦五"。這句話的意思就是說：勾三股四弦五這種關系是在大禹治水時發現的。

　　畢達哥拉斯樹是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的圖形。又因為重復數次后 的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達哥拉斯樹。直角三角形兩個直角邊平方的和等于斜邊的平方。兩個相鄰的小正方形面積的和等于相鄰的一個大正方形的面積。

　　利用不等式a+b≥2ab，可以證明下面的結論：三個正方形之間的三角形，其面積小于等于大正方形面積的四分之一，大于等于一個小正方形面積的二分之一。

　　法國、比利時人又稱這個定理為“驢橋定理”。他們發現勾股定理的時間都比中國晚，中國是最早發現這一幾何寶藏的國家。目前初二學生教材的證明方法采用趙爽弦圖，證明使用青朱出入圖。勾股定理是一個基本的幾何定理，它是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，是數形結合的紐帶之一。直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a、b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a+b=c。

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