有關等差數列知識點整理

　　在平凡的學習生活中，大家最熟悉的就是知識點吧？知識點也可以通俗的理解為重要的內容。想要一份整理好的知識點嗎？下面是小編整理的有關等差數列知識點整理，歡迎大家分享。

　　等差數列知識點整理 篇1

　　概念

　　等差數列是常見數列的一種，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。

　　例如：1，3，5，7，9……2n-1。

　　通項公式為：an=a1+(n-1)xd。首項a1=1，公差d=2。

　　前n項和公式為：Sn=a1xn+[nx(n-1)xd]/2或Sn=[nx(a1+an)]/2。

　　注意：以上n均屬于正整數。

　　公式

　　通項公式

　　如果一個等差數列的首項為a1，公差為d，那么該等差數列第n項的表達式為：

　　即an=a1+(n-1)d

　　補充：

　　求和公式

　　若一個等差數列的首項為a1，末項為an那么該等差數列和表達式為：S=(a1+an)n2

　　即(首項+末項)項數2

　　前n項和公式

　　注意：n是正整數(相當于n個等差中項之和)

　　等差數列前N項求和，實際就是梯形公式的妙用：

　　上底為：a1首項，下底為a1+(n-1)d，高為n。

　　即[a1+a1+(n-1)d]x n/2=a1 n+ n (n-1)d /2.

　　推論

　　一.從通項公式可以看出，a(n)是n的一次函數(d0)或常數函數(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由前n項和公式知，S(n)是n的二次函數(d0)或一次函數(d=0，a10)，且常數項為0。

　　二. 從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…

　　=a(k)+a(n-k+1)，(類似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=...=p(k)+p(n-k+1))，k{1，2，…，n}

　　三.若m，n，p，qNx，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)xa(n)，S(2n+1)=

　　(2n+1)xa(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)xk-S(n-1)xk…成等差數列，等等。

　　若m+n=2p，則a(m)+a(n)=2xa(p)

　　(對3的證明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)xm+b(0)+b(1)xn=2xb(0)+b(1)x(m+n)

　　p(p)+p(q)=b(0)+b(1)xp+b(0)+b(1)xq=2xb(0)+b(1)x(p+q);因為m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p

　　(q))

　　四.其他推論

　　① 和=(首項+末項)項數2

　　(證明：s(n)=[n，n^2]x[1，1/2;0，1/2]x[b(0);b(1)]=nxb0+1/2xb1xn+1/2xb1xn^2

　　(p(1)+p(n))xn/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)xn)xn/2=nxb0+1/2xb1xn+1/2xb1xn^2=s(n))

　　證明原理見高斯算法

　　項數=(末項-首項)公差+1

　　(證明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)xn-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)x(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)

　　② 首項=2x和項數-首項或末項-公差(項數-1)

　　③ 末項=2x和項數-首項

　　(以上2項為第一個推論的轉換)

　　④ 末項=首項+(項數-1)公差

　　(上一項為第二個推論的轉換)

　　推論3證明

　　若m，n，p，qNx，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)

　　+a(q)

　　如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)xd+a(1)+(n-1)xd

　　=2xa(1)+(m+n-2)xd

　　同理得，

　　a(p)+a(q)=2xa(1)+(p+q-2)xd

　　又因為

　　m+n=p+q ;

　　a(1)，d均為常數

　　所以

　　若m，n，p，qNx，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)

　　若m，n，pNx，且m+n=2p，則有a(m)+a(n)=2a(p)

　　注：

　　1.常數列不一定成立

　　2.m，p，q，n屬于自然數

　　⑤2(前2n項和-前n項和)=前n項和+前3n項和-前2n項和

　　等差中項

　　等差中項即等差數列頭尾兩項的和的一半.但求等差中項不一定要知道頭尾兩項。

　　等差數列中，等差中項一般設為A(r).當A(m)，A(r)，A(n)成等差數列時。

　　A(m)+A(n)=2A(r)，所以A(r)為A(m)，A(n)的等差中項，且為數列的'平均數。并且可以推知n+m=2r。

　　且任意兩項a(m)，a(n)的關系為：a(n)=a(m)+(n-m)xd，(類似p(n)=p(m)+(n-m)xb(1)，相當容易證明

　　它可以看作等差數列廣義的通項公式。

　　等差數列的應用日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。

　　若為等差數列，且有a(n)=m，a(m)=n.則a(m+n)=0。

　　其實，中國古代南北朝的張丘建早已在《張丘建算經》提到等差數列了：

　　今有女子不善織布，逐日所織的布以同數遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問共織幾何?

　　書中的解法是：并初、末日織布數，半之，余以乘織訖日數，即得。

　　這相當于給出了S(n)=(a(1)+a(n))/2xn的求和公式。

　　基本性質編輯

　　⑴數列為等差數列的重要條件是：數列的前n項和S 可以寫成S = an^2 + bn的形式(其中a、b為常數)。

　　⑵在等差數列中，當項數為2n (n N+)時，S偶-S奇 = nd，S奇S偶=ana(n+1);當項數為(2n-1)(n N+)時，S奇—S偶=a(中)，S奇-S偶=項數xa(中) ，S奇S偶 =n(n-1)。

　　⑶若數列為等差數列，則Sn，S2n -Sn ，S3n -S2n，…仍然成等差數列，公差為k^2d。

　　(4)若數列{an}與{bn}均為等差數列，且前n項和分別是Sn和Tn，則am/bm=S2m-1/T2m-1。

　　⑸在等差數列中，S = a，S = b (nm)，則S = (a-b)。

　　⑹等差數列中， 是n的一次函數，且點(n， )均在直線y = x + (a - )上。

　　⑺記等差數列的前n項和為S .①若a 0，公差d0，則當a 0且an+10時，S 最大;②若a 0 ，公差d0，則當a 0且an+10時，S 最小。

　　[8)若等差數列S(p)=q，S(q)=p，則S(p+q)=-(p+q)

　　r次等差數列

　　為什么等差數列的學習中，對公差和首項特別的關注，因為公差和首項可以作為等差數列一切變化的切入點。當我們有更好的切入點后，我們可以毫不猶豫的拋棄公差和首項。

　　假設一個基En(x)=[1，x，x^2，...，x^k]，轉換矩陣A為k+1階方陣，b=[b0，b1，b2，...，bk]。b同En的長度一樣(k+1)。b表示b的轉置。當k=1時，我們可以稱為一次數列。k=r時，我們可以稱為r次數列。(x，k只能取自然數)

　　p(x)=En(x)xb

　　s(x)=xxEn(x)xAxb

　　m+n=p+q(m、n、p、qNx)則am+an=ap+aq

　　一次數列的性質

　　1.p1(x)，p2(x)均為一次數列，則p1(x)p2(x)與cxp1(x)p2(x)(c為非零常數)也是一次數列。p(x)是一次函數，(n，p(x))構成直線。

　　2.p(m)-p(n)=En(m)xb-En(n)xb=(En(m)-En(n))xb=[0，m-n]xb

　　3.m+n=p+q - p(p)+p(q)=p(m)+p(n)

　　(證明:m+n=p+q - En(m)+En(n)=En(p)+En(q)

　　p(m)+p(n)=En(m)xb+En(n)xb=(En(m)+En(n))xb

　　p(p)+p(q)=(En(p)+En(q))xb=(En(m)+En(n))xb=p(m)+p(n)

　　4.從p(x)=En(x)xb中取出等距離的項，構成一個新數列，此數列仍是一次數列，其一次項系數為kxb(1)( k為取出項數之差)，常項系數未知。

　　5.在一次數列中，從第二項起，每一項(有窮數列末項除外)都是它前后兩項的平均數。

　　6.當一次項系數b(1)0時，數列中的數隨項數的增大而增大;當b(1)0時，數列中的數隨項數的減少而減小;b(1)=0時，數列中的數等于一個常數。

　　等差數列的判定

　　1、a(n+1)--a(n)=d (d為常數、n Nx)[或a(n)--a(n-1)=d，n Nx，n 2，d是常數]等價于{a(n)}成等差數列。

　　2、2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [nNx] 等價于{a(n)}成等差數列。

　　3、a(n)=kn+b [k、b為常數，nNx] 等價于{a(n)}成等差數列。

　　4、S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B為常數，A不為0，n Nx ]等價于{a(n)}為等差數列。

　　等差數列知識點整理 篇2

　　1.定義：如果一個數列,從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數，這個數列就叫等差數列, 這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d來表示。同樣為數列的等比數列的性質與等差數列也有相通之處。

　　2.數列為等差數列的充要條件是：數列的.前n項和S 可以寫成S = an^2 + bn的形式(其中a、b為常數)．等差數列練習題

　　3.性質1：公差為d的等差數列，各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列，其公差為kd．

　　4.性質2：公差為d的等差數列，各項同加一數所得數列仍是等差數列，其公差仍為d．

　　5.性質3：當公差d＞0時，等差數列中的數隨項數的增大而增大；當d＜0時，等差數列中的數隨項數的減少而減小；d＝0時，等差數列中的數等于一個常數．

　　等差數列知識點整理 篇3

　　一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做公差，用符號語言表示為an+1-an=d。

　　等差數列的性質：

　　（1）若公差d＞0，則為遞增等差數列；若公差d＜0，則為遞減等差數列；若公差d＝0，則為常數列；

　　（2）有窮等差數列中，與首末兩端“等距離”的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；

　　（3）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，則as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是數列中的項，特別地，當s+t=2p時,高一，有as+at=2ap；

　　（4）若數列｛an｝，｛bn｝均是等差數列，則數列｛man+kbn｝仍為等差數列，其中m，k均為常數。

　　（5）從第二項開始起，每一項是與它相鄰兩項的等差中項，也是與它等距離的.前后兩項的等差中項，即

　　對等差數列定義的理解：

　　①如果一個數列不是從第2項起，而是從第3項或某一項起，每一項與它前一項的差是同一個常數，那么此數列不是等差數列，但可以說從第2項或某項開始是等差數列．

　　②求公差d時，因為d是這個數列的后一項與前一項的差，故有 還有

　　③公差d∈R，當d=0時，數列為常數列（也是等差數列）；當d>0時，數列為遞增數列；當d<0時，數列為遞減數列；

　　④ 是證明或判斷一個數列是否為等差數列的依據；

　　⑤證明一個數列是等差數列，只需證明an+1-an是一個與n無關的常數即可。

　　等差數列求解與證明的基本方法：

　　(1)學會運用函數與方程思想解題；

　　(2)抓住首項與公差是解決等差數列問題的關鍵；

　　(3)等差數列的通項公式、前n項和公式涉及五個量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三個就可以列方程組求出另外兩個(俗稱“知三求二’)。

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