高三數學立體幾何與空間向量專題復習的檢測含答案
一、選擇題
1.(2014武漢調研)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()
解析 A、B、C與俯視圖不符.
答案 D
2.將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(左)視圖為()
解析 抓住其一條對角線被遮住應為虛線，可知正確答案在C，D中，又結合直觀圖知，D正確.
答案 D
3.(2014安徽卷)一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為()
A.21+3 B.18+3
C.21 D.18
解析
由三視圖知，該多面體是由正方體割去兩 個角所成的圖形，如圖所示，則S=S正方體-2S三棱錐側+2S三棱錐底=24-231211+234(2)2=21+3.
答案 A
4.已知S，A，B，C是球O表面上的點，SA平面ABCD，ABBC，SA=AB=1，BC=2，則球O的表面積等于()
A.4B.3
C.2
解析
如圖所示，由ABBC知，AC為過A，B，C，D四點小圓直徑，
所以ADDC.
又SA平面ABCD，
設SB1C1D1-ABCD為SA，AB，BC為棱長構造的長方體，
得體對角線長為12+12+22=2R，
所以R=1，球O的表面積S=4.故 選A.
答案 A
5.(2014湖南卷)一塊石材表示的幾 何體的三視圖如圖所示.將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于()
A.1 B.2
C.3 D.4
解析
由三視圖可得原石材為如圖所示的直三棱柱A1B1C1-ABC，且AB=8，BC=6，BB1=12.若要得到半徑最大的球，則此球與平面A1B1BA，BCC1B1，ACC1A1相切，故此時球的半徑與△ABC內切圓的半徑相等，故半徑r=6+8-102=2.故選B.
答案 B
6.點A，B，C，D均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD平面ABC，AD=2AB=6，則該球的體積為()
A.323 B.48 C.643 D.163
解析
如圖所示，O1為三角形ABC的外心，過O做OEAD，
OO1面ABC，
AO1=33AB=3.∵OD=O A，
E為DA的中點.∵AD面ABC，
AD∥OO1，EO=AO1=3.
DO=DE2+OE2=23.
R=DO= 23.
V=43(23)3=323.
答案 A
二、填空題
7.某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積是________.
解析
由三視圖可知，四棱錐的高為2，底面為直角梯形ABCD.其中DC=2，AB=3，BC=3，所以四棱錐的體積為132+3322=533.
答案 533
8.如圖，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分別是AB，AC，AA1的中點，設三棱錐F-ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2，則V1?V2=________.
解析 設三棱柱A1B1C1-ABC的高為h，底面三角形ABC的面積為S，則V1=1314S12h=124Sh=124V2，即V1?V2=1?24.
答案 1?24
9.在四面體ABCD中，AB=CD=6，AC=BD=4，AD=BC=5，則四面體ABCD的外接球的表面積為________.
解析 構造一個長方體，使得它的三條面對角線分別為4、5、6，設長方體的三條邊分別為x，y，z，則x2+y2+z2=772，而長方體的外接球就是四面體的外接球，所以S=4R2=772.
答案 772
三、解答題
10.下列三個圖中，左邊是一個正方體截去一個角后所得多面體的直觀圖.右邊兩個是其正(主)視圖和側(左)視圖.
(1)請在正(主)視圖的下方，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的.俯視圖(不要求敘述作圖過程).
(2)求該多面體的體積(尺寸如圖).
解 (1)作出俯視圖如圖所示.
(2)依題意，該多面體是由一個正方體(ABCD-A1B1C1D1)截去一個三棱錐(E-A1B1D1)得到的，所以截去的三棱錐體積
VE-A1B1D1=13S△A1B1D1A1E=1312221=23，
正方體體積V正 方體AC1=23=8，
所以所求多面體的體積V=8-23=223.
11.
(2014安徽卷)如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A底面ABCD.四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD=2BC.過 A1，C，D三點 的平面記為，BB1與的交點為Q.
(1)證明：Q為BB1的中點;
(2)求此四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積之比.
解 (1)證明：因為BQ∥AA1，BC∥AD，BCBQ=B，ADAA1=A，
所以平面QBC∥平面A1AD.
從而平面A1CD與這兩個平面的交線相互平行，即QC∥A1D.
故△QBC與△A1AD的對應邊相互平行，于是△QBC∽△A1AD.
所以BQBB1=BQAA1=BCAD=12，
即Q為BB1的中點.
(2)如圖，連接QA，QD.
設AA1=h，梯形ABCD的高為d，四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積分別為V上和V下，BC=a，則AD=2a.
VQ-A1AD=13122ahd=13ahd，
VQ-ABCD=13a+2a2d12h=14ahd，
所以V下=VQ-A1AD+VQ-ABCD=712ahd，
又V四棱柱A1B1C1D1-ABCD=32ahd，
所以V上=V四棱柱A1B1C1D1-ABCD-V下=32ahd-712ahd=1112ahd.故V上V下=117.
B級能力提高組
1.(2014北京卷)在空間直角坐標系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，2).若S1，S2，S3分別是三棱錐D-ABC在xOy，yOz，zOx坐標平面上的正投影圖形的面積，則()
A.S1=S2=S3 B.S2=S1且S2S3
C.S3=S1且S3 S2 D.S3=S2且S3S1
解析 作出三棱錐在三個坐標平面上的正投影，計算三角形的面積.如圖所示，△ABC為三棱錐在坐標平面xOy上的正投影，所以S1=1222=2.三棱錐在坐標平面yOz上的正投影與△DE F(E，F 分別為OA，BC的中點)全等，所以S2=1222=2.三棱錐在坐標平面xOz上的正投影與△DGH(G，H分別為AB，OC的中點)全等，所以S3=1222=2.所以S2=S3且S1S3.故選D.
答案 D
2.(2014山東卷)三棱錐P-ABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三棱錐D-ABE的體積為V1，P-ABC的體積為V2，則V1V2=________.
解析 由于VP-ABE=VC-ABE，所以VP-ABE=12VP-ABC，又因VD-ABE=12VP-ABE，所以VD-ABE=14VP-ABC，V1V2=14.
答案 14
3.
(理)(2014課標全國卷Ⅱ)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點.
(1)證明：PB∥平面AEC;
(2)設二面角D-AE-C為60，AP=1，AD=3，求三棱錐E-ACD的體積.
解 (1)連接BD交AC于點O，連接EO.
因為ABCD為矩形，所以O為BD的中點.
又E為PD的中點，所以EO∥PB.
EO平面AEC，PB平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2)因為PA平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直.
如圖，以A為坐標原點，AB的方向為x軸的正方向，|PA|為單位長，建立空間直角坐標系A-xyz.
則D(0，3，0)，E0，32，12， AE=0，32，12.
設B(m,0,0)(m0)，則C(m，3，0)，AC=(m，3，0)，
設n1=(x，y，z)為平面ACE的法向量，
則n1AC=0，n1AE=0，即mx+3y=0，32y+12z=0，
可取n1=3m，-1，3.
又n2=(1,0,0)為平面DAE的法向量，
由題設|cos〈n1，n2〉|=12，即 33+4m2=12，
解得m=32.因為E為PD的中點，所以三棱錐E-ACD的高為12.三棱錐E-ACD的體積V=131233212=38.
3.(文)如圖，在Rt△ABC中，AB=BC=4，點E在線段AB上.過點E作EF∥BC交AC于點F，將△AEF沿EF折起到△PEF的位置(點A與P重合)，使得PEB=30.
(1)求證：EF
(2)試問：當點E在何處時，四棱錐P-EFCB的側面PEB的面積最大?并求此時四棱錐P-EFCB的體積.
解 (1)證明：∵AB=BC，BCAB，
又∵EF∥BC，EFAB，
即EFBE，EFPE.
又BEPE=E，
EF平面PBE，
EFPB.
(2)設BE=x，PE=y，則x+y=4.
S△PEB=12BEPEsinPEB=14xy14x+y22=1.
當且僅當x=y=2時，S△PEB的面積最大.
此時，BE=PE=2.
由(1)知EF平面PBE，
平面PBE平面EFCB，
在平面PBE中，作POBE于O，
則PO平面EFCB.
即PO為四棱錐P-EFCB的高.
又PO=PEsin30=212=1.
S梯形EFCB =12(2+4)2=6.
VP-BCFE=1361=2.
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