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七年級(jí)數(shù)學(xué)拋物線系知識(shí)點(diǎn)
拋物線是指平面內(nèi)與一定點(diǎn)和一定直線（定直線不經(jīng)過定點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡，其中定點(diǎn)叫拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫拋物線的準(zhǔn)線。下面是小編整理的七年級(jí)數(shù)學(xué)拋物線系知識(shí)點(diǎn)，僅供參考。
七年級(jí)數(shù)學(xué)拋物線系知識(shí)點(diǎn)
簡(jiǎn)介
在數(shù)學(xué)中，拋物線是一個(gè)平面曲線，它是鏡像對(duì)稱的，并且當(dāng)定向大致為U形（如果不同的方向，它仍然是拋物線）。它適用于幾個(gè)表面上不同的數(shù)學(xué)描述中的任何一個(gè)，這些描述都可以被證明是完全相同的曲線。
拋物線的一個(gè)描述涉及一個(gè)點(diǎn)（焦點(diǎn)）和一條線（準(zhǔn)線）。焦點(diǎn)并不在準(zhǔn)線上。拋物線是該平面中與準(zhǔn)線和焦點(diǎn)等距的點(diǎn)的軌跡。拋物線的另一個(gè)描述是作為圓錐截面，由圓錐形表面和平行于錐形母線的平面的交點(diǎn)形成。第三個(gè)描述是代數(shù)。
垂直于準(zhǔn)線并通過焦點(diǎn)的線（即通過中間分解拋物線的線）被稱為“對(duì)稱軸”。與對(duì)稱軸相交的拋物線上的點(diǎn)被稱為“頂點(diǎn)”，并且是拋物線最鋒利彎曲的點(diǎn)。沿著對(duì)稱軸測(cè)量的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)之間的距離是“焦距”。 “直線”是拋物線的平行線，并通過焦點(diǎn)。拋物線可以向上，向下，向左，向右或向另一個(gè)任意方向打開。任何拋物線都可以重新定位并重新定位，以適應(yīng)任何其他拋物線 - 也就是說，所有拋物線都是幾何相似的。
拋物線具有這樣的性質(zhì)，如果它們由反射光的材料制成，則平行于拋物線的對(duì)稱軸行進(jìn)并撞擊其凹面的光被反射到其焦點(diǎn)，而不管拋物線在哪里發(fā)生反射。相反，從焦點(diǎn)處的點(diǎn)源產(chǎn)生的光被反射成平行（“準(zhǔn)直”）光束，使拋物線平行于對(duì)稱軸。聲音和其他形式的能量也會(huì)產(chǎn)生相同的效果。這種反射性質(zhì)是拋物線的許多實(shí)際應(yīng)用的基礎(chǔ)。
拋物線具有許多重要的應(yīng)用，從拋物面天線或拋物線麥克風(fēng)到汽車前照燈反射器到設(shè)計(jì)彈道導(dǎo)彈。它們經(jīng)常用于物理，工程和許多其他領(lǐng)域。
發(fā)展歷程
Apollonius 所著的八冊(cè)《圓錐曲線》（Conics）集其大成，可以說是古希臘解析幾何學(xué)一個(gè)登峰造極的精擘之作。今日大家熟知的 ellipse（橢圓）、parabola（拋物線）、hyperbola（雙曲線）這些名詞，都是 Apollonius 所發(fā)明的。當(dāng)時(shí)對(duì)于這種既簡(jiǎn)樸又完美的曲線的研究，乃是純粹從幾何學(xué)的觀點(diǎn)，研討和圓密切相關(guān)的這種曲線；它們的幾何乃是圓的幾何的自然推廣，在當(dāng)年這是一種純理念的探索，并不寄望也無從預(yù)期它們會(huì)真的在大自然的基本結(jié)構(gòu)中扮演著重要的角色。
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
右開口拋物線：y2=2px；
左開口拋物線：y2=-2px；
上開口拋物線：x2=2py；
下開口拋物線：x2=-2py；
其中，p為焦準(zhǔn)距（p>0）。
拋物線相關(guān)參數(shù)（對(duì)于向右開口的拋物線）
離心率：e=1
焦點(diǎn)：（p/2，0）
準(zhǔn)線方程l：x=-p/2
頂點(diǎn)：（0，0）
通徑：2P；
定義域（X≥0）
值域（Y∈R）
拋物線的特點(diǎn)
在拋物線y2=2px中，焦點(diǎn)是（p/2，0），準(zhǔn)線的方程是x=-p/2，離心率e=1，范圍：x≥0；
在拋物線y2=-2px中，焦點(diǎn)是（-p/2，0），準(zhǔn)線的方程是x=p/2，離心率e=1，范圍：x≤0；
在拋物線x2=2py中，焦點(diǎn)是（0，p/2），準(zhǔn)線的方程是y=-p/2，離心率e=1，范圍：y≥0；
在拋物線x2=-2py中，焦點(diǎn)是（0，-p/2），準(zhǔn)線的方程是y=p/2，離心率e=1，范圍：y≤0；
拋物線的相關(guān)結(jié)論
過拋物線y2=2px（p>0）焦點(diǎn)F作傾斜角為θ的直線L，L與拋物線相交于A（x1，y1），B（x2，y2），有
①x1*x2=p2/4，y1*y2=-P2，要在直線過焦點(diǎn)時(shí)才能成立
②焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：|AB|=x1+x2+P=2P/[（sinθ）2]
③（1/|FA|）+（1/|FB|）=2/P
④若OA垂直O(jiān)B則AB過定點(diǎn)M（2P，0）
⑤焦半徑：|FP|=x+p/2（拋物線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F距離等于到準(zhǔn)線L距離）
拋物線的異同
共同點(diǎn)：
①原點(diǎn)在拋物線上，離心率e均為1 ②對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；
③準(zhǔn)線與對(duì)稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)分別對(duì)稱于原點(diǎn)，它們與原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的1/4
不同點(diǎn)：
①對(duì)稱軸為x軸時(shí)，方程右端為±2px，方程的左端為y^2；對(duì)稱軸為y軸時(shí)，方程的右端為±2py，方程的左端為x^2；
②開口方向與x軸（或y軸）的正半軸相同時(shí)，焦點(diǎn)在x軸（y軸）的正半軸上，方程的右端取正號(hào)；開口方向與x（或y軸）的負(fù)半軸相同時(shí)，焦點(diǎn)在x軸（或y軸）的負(fù)半軸上，方程的右端取負(fù)號(hào)。
相關(guān)參數(shù)
（對(duì)于向右開口的拋物線y2=2px）
離心率：e=1（恒為定值，為拋物線上一點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離以及該點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離比）
焦點(diǎn):（p/2，0）
準(zhǔn)線方程l:x=-p/2
頂點(diǎn)：（0，0）
定義域：對(duì)于拋物線y2=2px，p>0時(shí)，定義域?yàn)閤≥0，p<0時(shí)，定義域?yàn)閤≤0；對(duì)于拋物線x2=2py，定義域?yàn)镽。
值域：對(duì)于拋物線y2=2px，值域?yàn)镽，對(duì)于拋物線x2=2py，p>0時(shí)，值域?yàn)閥≥0，p<0時(shí)，值域?yàn)閥≤0。
術(shù)語解釋
準(zhǔn)線、焦點(diǎn)：拋物線是平面內(nèi)到一定點(diǎn)和到一條不過此點(diǎn)的定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡。這一定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。
軸：拋物線是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸簡(jiǎn)稱軸。
焦準(zhǔn)距：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離稱為焦準(zhǔn)距，長(zhǎng)度為p。
焦半徑：連接拋物線上任意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)得到的線段。對(duì)于拋物線y2=2px，P(x0，y0)，則|PF|=x0+p/2。
弦：拋物線的弦是連接拋物線上任意兩點(diǎn)的線段。
焦弦：拋物線的焦弦是經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的弦。對(duì)于拋物線y2=2px，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|=x1+x2+p=2p/sin2θ（θ是AB的傾斜角）
正焦弦：拋物線的正焦弦是垂直于軸的焦弦，又叫通徑。通徑長(zhǎng)為2p。
直徑：拋物線的直徑是拋物線一組平行弦中點(diǎn)的軌跡。這條直徑也叫這組平行弦的共軛直徑。所有的直徑都與軸平行，因此也可以定義拋物線的直徑為過拋物線上任意一點(diǎn)作軸的平行線（射線）
主要直徑：拋物線的主要直徑是拋物線的軸的一部分（在拋物線內(nèi)部的射線）。
拋物線即把物體拋擲出去，落在遠(yuǎn)處地面，這物體在空中經(jīng)過的曲線。
幾何性質(zhì)
有關(guān)切線、法線的幾何性質(zhì)
（1）設(shè)拋物線上一點(diǎn)P的切線與準(zhǔn)線相交于Q，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，則PF⊥QF。且過P作PA垂直于準(zhǔn)線，垂足為A，那么PQ平分∠APF。
（2）過拋物線上一點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線PA，則∠APF的平分線與拋物線切于P。〈為性質(zhì)（1）第二部分的逆定理〉從這條性質(zhì)可以得出過拋物線上一點(diǎn)P作拋物線的切線的尺規(guī)作圖方法。
（3）設(shè)拋物線上一點(diǎn)P（P不是頂點(diǎn)）的切線與法線分別交軸于A、B，則F為AB中點(diǎn)。這個(gè)性質(zhì)可以推出拋物線的光學(xué)性質(zhì)，即經(jīng)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸。各種探照燈、汽車燈即利用拋物線（面）的這個(gè)性質(zhì)，讓光源處在焦點(diǎn)處以發(fā)射出（準(zhǔn)）平行光。
（4）設(shè)拋物線上除頂點(diǎn)外的點(diǎn)P的切線交軸于A，交頂點(diǎn)O的切線于B，則FB垂直平分PA，且FB與準(zhǔn)線的交點(diǎn)M恰好是P在準(zhǔn)線上的射影（即PM垂直于準(zhǔn)線）。
（5）拋物線的三條切線所圍成的三角形，其外接圓經(jīng)過焦點(diǎn)。即：若AB、AC、BC都是拋物線的切線，則ABCF四點(diǎn)共圓。
（6）過拋物線外一點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，連接切點(diǎn)的弦與軸相交于A。又設(shè)P在軸上的射影為B，則O是AB中點(diǎn)。
（7）若拋物線與一個(gè)三角形的三條邊（所在直線）都相切，則準(zhǔn)線通過該三角形的垂心。
有關(guān)弦的幾何性質(zhì)
（8）焦點(diǎn)弦兩端的切線互相垂直，并且垂足在準(zhǔn)線上。
（9）過焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M、N。設(shè)A、B處的切線相交于P，則P是MN中點(diǎn)，并且以AB為直徑的圓切準(zhǔn)線于P。
（10）若拋物線的兩條焦點(diǎn)弦相等，連接這兩條焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)，則連線與軸垂直。
（11）拋物線的一條弦AB與軸相交于P（不一定是焦點(diǎn)F），過A、B分別作軸的垂線AM、BN，拋物線頂點(diǎn)為O，則OP=AM*BN。
切線的尺規(guī)作圖
根據(jù)幾何性質(zhì)（2）可以得到過拋物線上一點(diǎn)或拋物線外一點(diǎn)P作拋物線的切線的尺規(guī)作圖方法。
（1）P在拋物線上
①過P作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)A為垂足
②連接PF（F是焦點(diǎn)）
③作∠APF的平分線PQ
則根據(jù)性質(zhì)（2），直線PQ為切線
（2）P在拋物線外
①連接PF
②以P為圓心，PF為半徑畫弧，弧與準(zhǔn)線分別交于A、B
③過A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂線和拋物線分別交于M、N
④連接PM、PN，則PM、PN為所求切線（有兩條）
這是因?yàn)椋暨B接MF，則在△PAM和△PFM中
∵PA=PF（圓的定義），PM=PM（公共邊），MA=MF（拋物線的定義）
∴△PAM≌△PFM（SSS）
∴∠AMP=∠FMP（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）
∴MP平分∠AMF（角平分線的定義）
∴MP為切線（性質(zhì)（2））
同理可證NP是另一條切線
解析式求法
以焦點(diǎn)在X軸上為例
知道P（x0，y0）
令所求為y1=2px
則有y01=2px0
故2p=y01/x0
故拋物線為y1=（y01/x0）x
現(xiàn)總結(jié)如下:
（1）知道拋物線過三個(gè)點(diǎn)（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）設(shè)拋物線方程為y=ax+bx+c，
將各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代進(jìn)去得到一個(gè)三元一次方程組，解得a，b，c的值即得解析式。
（2）知道拋物線的與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)（x1，0），（x2，0），并知道拋物線過某一個(gè)點(diǎn)（m，n），
設(shè)拋物線的方程為y=a（x-x1）（x-x2），然后將點(diǎn)（m，n）代入去求得二次項(xiàng)系數(shù)a。
（3）知道對(duì)稱軸x=k，
設(shè)拋物線方程是y=a（x-k）+b，再結(jié)合其它條件確定a，c的值。
（4）知道二次函數(shù)的最值為p，
設(shè)拋物線方程是y=a（x-k）+p，a，k要根據(jù)其它條件確定。
擴(kuò)展公式
拋物線：y = ax2 + bx + c （a≠0）
就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c；
a > 0時(shí)開口向上；
a < 0時(shí)開口向下；
c = 0時(shí)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；
b = 0時(shí)拋物線對(duì)稱軸為y軸。
還有頂點(diǎn)式y(tǒng) = a（x-h）1 + k
h是頂點(diǎn)坐標(biāo)的x；
k是頂點(diǎn)坐標(biāo)的y；
一般用于求最大值與最小值。
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程：y1=2px
它表示拋物線的焦點(diǎn)在x的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（p/2，0） 準(zhǔn)線方程為x=-p/2。
由于拋物線的焦點(diǎn)可在任意半軸，故共有標(biāo)準(zhǔn)方程y1=2px，y1=-2px，x1=2py，x1=-2py。
相關(guān)結(jié)論
A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在拋物線y1=2px上，則有：
① 直線AB過焦點(diǎn)時(shí)，x1x2 = p/4 ， y1y2 = -p；
（當(dāng)A，B在拋物線x=2py上時(shí)，則有x1x2 = -p ， y1y2 = p/4 ， 要在直線過焦點(diǎn)時(shí)才能成立）
② 焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：|AB| = x1+x2+P = 2P/[（sinθ）2]；
③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P；（其中長(zhǎng)的一條長(zhǎng)度為P/（1-cosθ），短的一條長(zhǎng)度為P/（1+cosθ））
④若OA垂直O(jiān)B則AB過定點(diǎn)M（2P，0）；
⑤焦半徑：|FP|=x+p/2 （拋物線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于P到準(zhǔn)線L的距離）；
⑥弦長(zhǎng)公式：AB=√（1+k1）*│x1-x2│；
⑦△=b1-4ac；
⑴△=b1-4ac>0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
⑵△=b1-4ac=0有兩個(gè)一樣的實(shí)數(shù)根；
⑶△=b1-4ac<0沒實(shí)數(shù)根。
⑧由拋物線焦點(diǎn)到其切線的垂線的距離是焦點(diǎn)到切點(diǎn)的距離與到頂點(diǎn)距離的比例中項(xiàng)；
⑨標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線在（x0，y0 ）點(diǎn)的切線是：yy0=p（x+x0）
（注:圓錐曲線切線方程中x=x*x0 ， y =y*y0 ， x=（x+x0）/2 ， y=（y+y0）/2 ）
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