關于數學平角和直線的知識點

　　“平角”和“直線”

　　射線OA繞點O旋轉，當終止位置OC和起始位置OA成一直線時，所成的角叫做平角，如圖1。

　　平角的大小為180°。

　　由于平角的兩邊成一條直線（圖2），如果不附加某種特殊的標志，那么平角的圖形很容易與直線（圖3）的圖形混淆。

　　為了避免這種混淆，我們在角的內部，圍繞角的頂點畫一條小圓弧，并注上箭頭（圖4），∠AOB就表示一個平角。這樣就可以把平角的圖形和直線的圖形區別開來了。

　　與“平角”和“直線”這對容易混淆的概念類似的，還有“周角”與“射線”這對概念。

　　什么是周角?射線OA繞點O旋轉，當終止位置與起始位置重合時，所形成的角叫做周角。這時周角的兩邊互相重合，成為一條射線。

　　為了使周角的圖形與射線的圖形區分開來，我們以O為圓心畫一個小圓，并用箭頭表示旋轉方向，如圖5。

　　易混概念辨析 直角和90°

　　“直角”和“90°”

　　老師問同學：“什么是直角?”

　　有的同學回答：“直角就是90°�！�

　　這樣回答對嗎?不對。“直角”和“90°”有著本質的區別。我們先舉一個通俗的例子：

　　張強的體重是50千克。張強是個人，50千克是他的體重，不能把張強這個人和他的體重50千克兩個不同的概念等同起來。

　　直角是一個圖形，它是平角的一半�！�90°”是一個量，它表示“直角”的大小。不能把一個圖形和這個圖形的大小這兩個不同的概念混淆起來。因此，正確回答“什么是直角”應該是“直角是平角的一半”或“90°的角是直角”。

　　長江大橋上急駛而過的火車與橋下航行的一艘輪船運動的軌跡，可以理解為兩條直線，這是兩條互相垂直的異面直線，它們所成的角是90°。不能把“兩條互相垂直的異面直線”和“90°”混為一談。

　　電線桿與地面垂直，可以理解為一直線垂直于一平面，它們所成的角也是90°。不能把“一直線垂直于一平面”和“90°”混為一談。

　　墻壁和地面垂直，是互相垂直的兩個平面，它們所成的角仍然是90°。不能把“互相垂直的兩個平面”與“90°”相混淆。

　　由此可見，直角、互相垂直的二平面，這些都是圖形，它們的大小皆為90°，這是一個量。這里，“90°”和有關圖形的區別是十分明顯的。

　　與“直角”和“90°”這對容易混淆的概念類似的，“連結兩點的線段”和“兩點的距離”也是一對容易混淆的概念。前者表示線段AB，它是一個圖形。后者表示這條線段的長，它是一個量。

　　作為練習，請同學們回答：

　　什么叫平角，平角有多大?

　　什么叫周角，周角有多大?

　　什么叫半圓內的圓周角?半圓內的圓周角有多大?

　　易混概念辨析 幾何體和物體

　　“幾何體”和“物體”

　　在我們的現實生活中，存在著各種各樣的物體：

　　籃球，足球，排球……

　　梨子，橘子，蘋果，香蕉……

　　自來水管，電線桿，筆桿……

　　冰箱，衣柜，金字塔，河堤……

　　各式各樣的建筑物；

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　　物體有各種性質：

　　輕重，軟硬，顏色，導電性……這些是物理性質；

　　組成的元素，氧化、還原性，溶解性……這些是化學性質；

　　異化作用，新陳代謝，光合作用，呼吸作用……這些是生物性質；

　　形狀，位置，大小，這些是物體的幾何性質。

　　只研究物體的形狀、位置和大小，而不研究它們的物理性質、化學性質、生物性質……這樣抽象出來的物體的表象就叫幾何體。例如，同樣大小的鉛球和木球，它們的物理性質不同，化學性質不同，但它們的形狀、大小完全相同，因此，它們是完全相同的幾何體。

　　整個幾何學所研究的內容，就是各種各樣幾何圖形的形狀、位置和大小關系。例如，在下面這段敘述中：

　　“在直線l上，自A點起，截取線段AB=a�！�

　　“在直線l上”表示所作圖形的位置；“線段”說明所作圖形的形狀;“AB=a”表示這個圖形的大小。

　　又如“以O點為圓心，r為半徑畫圓”。其中“以O點為圓心”表示所畫圖形的位置；“以r為半徑”表示所畫圖形的大小；“圓”表示所畫圖形的形狀。

　　再如“到空間一定點O距離小于或等于定長r點的軌跡，是以定點O為球心、半徑為r的球”。這里“定點O”是說明圖形的位置，“小于或等于定長r”是說明圖形的大小，“球”是說明圖形的形狀。

　　易混概念辨析 互斥事件和互逆事件

　　“互斥事件”和“互逆事件”

　　世界上很多事情是互相排斥的：有甲便無乙，有乙便無甲，二者不可兼而有之。例如，“明天中午南京天氣晴朗”與“明天中午南京天陰”這兩個預斷就是互相排斥的，因為明天中午南京的天氣不可能既是晴天又是陰天，不可能在同一時間、同一地點出現又是晴天又是陰天的情形。又如，“兩球外切”與“兩球相離”也是互相排斥的，因為當兩球球心與半徑一定后，既然它們的位置關系是外切，就不會同時又相離。

　　如果兩個事件A與B不能同時發生，我們就稱A與B為互斥事件，或稱為互不相容的事件，用符號AB=V表示。上面所講“明天中午南京天氣晴朗”與“明天中午南京天陰”就是互斥事件，“兩球外切”與“兩球相離”也是互斥事件。

　　工廠檢查一件產品，“產品合格”與“產品不合格”是截然相反的兩件事，對于某一件產品而言，二者必居其一，且不可兼而有之。也就是說，這件產品要么合格，要么不合格，不可能既合格又不合格。某同學參加一次數學競賽，不是獲勝就是失敗，不可能既是優勝者，又是失敗者。

　　我們把事件A與事件“非A”叫做互逆事件，又稱為對立事件。

　　事件“非A”通常用表示，叫做A的逆事件。顯然，在每一次實踐中，A與不可能同時發生，又二者必居其一。事件A與B為互逆事件用下列兩個等式表示：AB=V，A∪B=U（意即“A與B至少發生其一”)。上面所講“產品合格”與“產品不合格”，“獲勝”與“失敗”，都是互逆事件。

　　互斥事件與互逆事件是概率計算中需要用到的一對概念，在實際中是很有用處的。

　　可以看出，互逆事件必為互斥事件。如“這件產品是合格的”與“這件產品不合格”不可能同時出現，所以它們是互逆的，也是互斥的。但是互斥事件則未必為互逆事件。如“晴朗’與“陰天”是互斥的，但不是互逆的。因為，不是說天氣“不晴朗”就一定是“陰天”。天氣不晴朗，可能是下雨、下雪。又如“兩球外切”與“兩球相離”是互斥的，但也不是互逆的。因為，不能說“兩球不外切”，就一定是兩球相離。兩球不外切，還可能內切，內含，相交。

　　所以互逆事件是互斥事件的特例，互斥事件是互逆事件的.一般形式。

　　易混概念辨析 余子式和代數余子式

　　“余子式”和“代數余子式”

　　行列式是解線性方程組的有力工具。但是，行列式的展開，對于二階、三階行列式來說還比較方便，而對于高于三階行列式的展開，則沒有一般規律可循。這時，把高階行列式降階，使它轉化為較低階的行列式，則是一條可行的道路�！坝嘧邮健焙汀按鷶涤嘧邮健本褪沁m應這種需要而產生的。

　　把行列式中某一元素所在的行與列劃去后，剩下的元素按行列順序排列所組成的行列式，叫做原行列式中對應于這個元素的余子式。

　　例如，在行列式

　　中，對應于元素a2的余子式為

　　設行列式中某一元素位于第i行第j列，把對應于這個元素的余子式乘上(-1)i+j后，所得到的式子叫做原行列式中對應于這個元素的代數余子式。

　　例如，在上面的行列式D中，元素a2位于第二行第一列，即i=2，j=1，則i+j=2+1=3。

　　所以，對應于a2的代數余子式為

　　即

　　下面舉一個例子，幫助大家掌握余子式和代數余子式的概念。

　　例：已知行列式

　　求行列式中元素-5的余子式與代數余子式。

　　解：-5的余子式為：

　　-5的代數余子式為：

　　有了余子式和代數余子式的概念，根據下述定理，我們就可以展開任意一個行列式。

　　定理：行列式等于它的任意一行（或一列）的所有元素與它們各自對應的代數余子式的乘積的和。

　　下面我們舉一個例子，說明如何用這個定理展開一個行列式，從而降階求值。

　　例：把行列式

　　按第一行展開，然后進行計算。

　　易混概念辨析 每一個和有一個

　　“每一個”和“有一個”

　　數學是研究數量關系的科學。在數學里，對數量用詞要予以特別謹慎�！懊恳粋�”和“有一個”，兩者僅一字之差，但意義完全不同。

　　如果對所討論對象每一個元素都下了判斷，那么這樣的命題叫做“全稱命題”。“每一個”就是一種全稱量詞。全稱量詞還常與副詞“都”聯用。如“對頂角都相等”，就是“每一對對頂角都是相等的”。在數學中，常會遇到全稱命題。

　　例如，對于函數y=f(x)，若對每一個x，都有

　　f(-x)=-f(x)

　　我們就把函數y=f(x)稱為奇函數。

　　又如，對于數列{an｝，若對于每一個自然數n，都有

　　an＜an+1

　　則稱數列{an｝為遞增數列。

　　要證明一個全稱命題為真，主要有兩種思路：

　　第一種是用完全歸納法，包括數學歸納法；

　　第二種是在所討論的對象中，挑出一個具有充分代表性的元素，然后證明它有某種性質。由于這一個具有代表性的元素有某種性質，所以所討論對象里每一個元素也都有這一性質。

　　例1：從A、B、C、D、E、F六個人中選三人。(1)A、B都選；(2)A、B都不選；(3)A、B不都選。三種情形各有幾種選法?

　　解：(1)因為共選三人，A、B都要選，只要再選一人就可以了。而這一人只能從C、D、E、F四人中選。所以有即4種方法。

　　(2)A、B都不選，那么只能從余下的四人中選三人，所以有即4種方法。

　　(3)A、B不都選，有三種可能：

　　“有一個”叫特稱量詞。特稱量詞還可以表示為“有”、“存在著”、“存在一個”、“至少存在一個”。

　　易混概念辨析 排列數和一個排列

　　“排列數”和“一個排列”

　　“一個排列”指的是“從n個不同元素中，任取出m個元素，按照一定的順序擺成一排”，它不是一個數，而是具體的一件事。

　　“排列數”是指“從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數”，它是一個數。

　　例如，從3個元素a、b、c中每次取出2個元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：

　　ab，ac，ba，bc，ca，cb

　　其中每一種都叫做一個排列，共有6種，而數字6就是排列數，符號表示排列數。

　　與此類似的，要區分“組合數”和“一個組合”這兩個概念。

　　“一個組合”是指“從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素并成一組”，它不是一個數，而是具體的一件事；組合數是指從n個不同元素中取出m個元素的所有組合的個數，它是一個數。

　　例如，從3個元素a、b、c中每次取出2個元素的組合為

　　ab，ac，bc

　　其中每一種都叫做一個組合，共有3種，而數字3就是組合數，符號表示組合數。

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