高一數學《集合》重點知識點歸納

　　在年少學習的日子里，大家對知識點應該都不陌生吧？知識點就是學習的重點。想要一份整理好的知識點嗎？下面是小編為大家整理的高一數學《集合》重點知識點歸納，希望對大家有所幫助。

　　高一數學《集合》重點知識點歸納 1

　　一．知識歸納：

　　1．集合的有關概念。

　　1）集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合（集）．其中每一個對象叫元素

　　注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。

　　②集合中的元素具有確定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互異性（若a?A，b?A，則a≠b）和無序性（{a,b}與{b,a}表示同一個集合）。

　　③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素；只要是它的元素就必須符號條件

　　2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

　　3）集合的分類：有限集，無限集，空集。

　　4）常用數集：N，Z，Q，R，N*

　　2．子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念。

　　1）子集：若對x∈A都有x∈B，則A B（或A B）；

　　2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；記為A B（或 ，且 ）

　　3）交集：A∩B={x x∈A且x∈B}

　　4）并集：A∪B={x x∈A或x∈B}

　　5）補集：CUA={x x A但x∈U}

　　注意：①? A，若A≠?，則? A ；

　　②若 ， 則 ；

　　③若 且 ，則A=B（等集）

　　3．弄清集合與元素、集合與集合的關系，掌握有關的術語和符號，特別要注意以下的符號：

　　（1） 與 、的區別；

　　（2） 與 的區別；

　　（3） 與 的區別。

　　4．有關子集的幾個等價關系

　　①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；

　　④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。

　　5．交、并集運算的性質

　　①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A；

　　③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；

　　6．有限子集的個數：設集合A的元素個數是n，則A有2n個子集，2n－1個非空子集，2n－2個非空真子集。

　　二．例題講解：

　　【例1】已知集合M={xx=+ ,∈Z},N={xx= ,n∈Z},P={xx= ,p∈Z}，則M,N,P滿足關系

　　A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

　　分析一：從判斷元素的共性與區別入手。

　　解答一：對于集合M：{xx= ,∈Z}；對于集合N：{xx= ,n∈Z}

　　對于集合P：{xx= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數，而6+1表示被6除余1的數，所以M N=P，故選B。

　　分析二：簡單列舉集合中的元素。

　　解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關系，應分析各集合中不同的元素。

　　= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，

　　= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以選B。

　　點評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

　　變式：設集合 ， ，則（ B ）

　　A．M=N B．M N C．N M D．

　　解：

　　當 時，2+1是奇數，+2是整數，選B

　　【例2】定義集合A*B={xx∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則A*B的子集個數為

　　A）1 B）2 C）3 D）4

　　分析：確定集合A*B子集的個數，首先要確定元素的個數，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。

　　解答：∵A*B={xx∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有兩個元素，故A*B的子集共有22個。選D。

　　變式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那么集合M的個數為

　　A）5個 B）6個 C）7個 D）8個

　　變式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

　　解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

　　集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

　　評析 本題集合A的個數實為集合{c,d,e}的真子集的個數，所以共有 個 .

　　【例3】已知集合A={xx2+px+q=0},B={xx2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實數p,q,r的值。

　　解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.

　　∴B={xx2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A

　　∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，

　　∴ ∴

　　變式：已知集合A={xx2+bx+c=0},B={xx2+x+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實數b,c,的值.

　　解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+?2+6=0,=-5

　　∴B={xx2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴

　　又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

　　∴b=-4,c=4,=-5

　　【例4】已知集合A={x(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B滿足：A∪B={xx>-2}，且A∩B={x1<>< p="">

　　分析：先化簡集合A，然后由A∪B和A∩B分別確定數軸上哪些元素屬于B，哪些元素不屬于B。

　　解答：A={x-2<><-1或x>1}。由A∩B={x1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。<-1或x>

　　<><-1或x>

　　綜合以上各式有B={x-1≤x≤5}

　　變式1：若A={xx3+2x2-8x>0}，B={xx2+ax+b≤0},已知A∪B={xx>-4}，A∩B=,求a,b。（答案：a=-2，b=0）

　　點評：在解有關不等式解集一類集合問題，應注意用數形結合的方法，作出數軸來解之。

　　變式2：設M={xx2-2x-3=0},N={xax-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。

　　解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M

　　①當 時，ax-1=0無解，∴a=0 ②

　　分析：先將原問題轉化為不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用參數分離求解。

　　解答：（1）若 ， 在 內有有解

　　令 當 時，

　　所以a>-4,所以a的取值范圍是

　　變式：若關于x的方程 有實根,求實數a的取值范圍。

　　解答：

　　點評：解決含參數問題的'題目，一般要進行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關鍵。

　　三.隨堂演練

　　A選擇題

　　1． 下列八個關系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}

　　⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正確的個數

　　（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

　　2．集合{1，2，3}的真子集共有

　　（A）5個 （B）6個 （C）7個 （D）8個

　　3．集合A={x } B={ } C={ }又 則有

　　（A）（a+b） A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C任一個

　　4．設A、B是全集U的兩個子集，且A B，則下列式子成立的是

　　（A）CUA CUB （B）CUA CUB=U

　　（C）A CUB= （D）CUA B=

　　5．已知集合A={ }， B={ }則A =

　　（A）R （B）{ }

　　（C）{ } （D）{ }

　　6．下列語句：（1）0與{0}表示同一個集合； （2）由1，2，3組成的集合可表示為

　　{1，2，3}或{3，2，1}； （3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示為 {1，1，2}； （4）集合{ }是有限集，正確的是

　　（A）只有（1）和（4） （B）只有（2）和（3）

　　（C）只有（2） （D）以上語句都不對

　　7．設S、T是兩個非空集合，且S T，T S，令X=S 那么S∪X=

　　（A）X （B）T （C） （D）S

　　8設一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判別式 ，則不等式ax2+bx+c 0的解集為

　　（A）R （B） （C）{ } （D）{ }

　　B填空題

　　9.在直角坐標系中，坐標軸上的點的集合可表示為

　　10.若A={1,4,x},B={1,x2}且A B=B，則x=

　　11.若A={x } B={x },全集U=R，則A =

　　12.若方程8x2+(+1)x+-7=0有兩個負根，則的取值范圍是

　　13設集合A={ },B={x },且A B，則實數的取值范圍是。

　　14.設全集U={x 為小于20的非負奇數}，若A （CUB）={3，7，15}，（CUA） B={13，17，19}，又（CUA） （CUB）= ，則A B=

　　C解答題

　　15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若A B={-3}，求實數a。

　　16(12分)設A= ， B= ，

　　其中x R,如果A B=B，求實數a的取值范圍。

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　　集合與元素

　　一個東西是集合還是元素并不是絕對的，很多情況下是相對的，集合是由元素組成的集合，元素是組成集合的元素。

　　例如：你所在的班級是一個集合，是由幾十個和你同齡的同學組成的集合，你相對于這個班級集合來說，是它的一個元素;

　　而整個學校又是由許許多多個班級組成的集合，你所在的班級只是其中的一分子，是一個元素。

　　班級相對于你是集合，相對于學校是元素，參照物不同，得到的結論也不同，可見，是集合還是元素，并不是絕對的。

　　解集合問題的'關鍵

　　解集合問題的關鍵：弄清集合是由哪些元素所構成的，也就是將抽象問題具體化、形象化，將特征性質描述法表示的集合用列舉法來表示，或用韋恩圖來表示抽象的集合，或用圖形來表示集合;比如用數軸來表示集合，或是集合的元素為有序實數對時，可用平面直角坐標系中的圖形表示相關的集合等。

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　　集合是數學中的一個基本概念，它指的是某些指定的對象集在一起所形成的一個整體。在集合中，每一個對象都被稱為元素。集合具有以下三個基本特性：

　　確定性：集合中的元素是明確的，即一個元素要么屬于某個集合，要么不屬于該集合，二者必居其一。

　　互異性：集合中的.元素是互不相同的，即任意兩個元素都是不同的。

　　無序性：集合中的元素是沒有順序的，即集合中元素的排列順序不影響集合的本質。

　　集合的表示方法主要有兩種：

　　列舉法：將集合中的所有元素一一列出，用大括號“{}”括起來。例如，集合A={1, 2, 3}。

　　描述法：通過描述集合中元素的共同特征或屬性來表示集合。例如，集合B={x|x是大于1的整數}。

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　　集合間的關系主要包括子集、真子集、空集和相等集合等概念。

　　子集：如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，那么稱A是B的子集，記作AB。

　　真子集：如果A是B的子集，并且A不等于B（即A中至少有一個元素不在B中），那么稱A是B的真子集，記作AB。

　　空集：不含任何元素的`集合稱為空集，記作。空集是任何集合的子集。

　　相等集合：如果兩個集合A和B的元素完全相同，那么稱A和B是相等集合，記作A=B。

　　集合的運算主要包括交集、并集和補集等。

　　交集：兩個集合A和B的交集是指同時屬于A和B的元素組成的集合，記作A∩B。

　　并集：兩個集合A和B的并集是指屬于A或屬于B的所有元素組成的集合，記作A∪B。

　　補集：在全集U中，但不在集合A中的元素組成的集合稱為A的補集，記作CuA（或A）。

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　　集合具有一些重要的性質，如集合的冪集性質、集合的運算性質等。

　　冪集性質：設集合A有n個元素，則A的子集個數為2^n個（包括空集和A本身）。

　　運算性質：

　　交集運算滿足交換律和結合律，即A∩B=B∩A，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。

　　并集運算也滿足交換律和結合律，即A∪B=B∪A，A∪(B∪C)=(A∪B)∪C。

　　補集運算滿足德摩根定律，即Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB。

　　此外，集合的運算還滿足一些其他性質，如空集的性質（任何集合與空集的'交集為空集，任何集合與空集的并集為該集合本身）、全集的性質（任何集合與全集的交集為該集合本身，任何集合與全集的補集為空集）等。

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　　集合在數學和其他學科中有著廣泛的應用。在解決實際問題時，常常需要將問題轉化為集合問題，利用集合的性質和運算來求解。

　　集合在不等式解集中的應用：可以利用集合表示不等式的解集，并通過集合的運算求解不等式的解。

　　集合在函數定義域和值域中的應用：函數的定義域和值域都可以用集合來表示，通過集合的運算可以求解函數的定義域和值域。

　　集合在邏輯推理中的應用：可以利用集合進行邏輯推理，如利用集合的包含關系進行命題的真假判斷等。

　　集合在解決實際問題中的應用：如集合在排班問題、分組問題、分配問題等方面的'應用，都可以通過集合的性質和運算來求解。

　　總之，集合是數學中的一個重要概念，具有廣泛的應用價值。通過學習和掌握集合的基本概念、表示方法、關系與運算以及性質和定律等知識點，可以更好地理解和應用集合來解決實際問題。

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　　一、集合的基本概念

　　集合的定義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合（簡稱集）。

　　元素：集合中的每一個對象叫做這個集合的元素。

　　集合的表示：通常用大寫拉丁字母表示集合，如A、B、C等；用小寫拉丁字母表示元素，如a、b、c等。如果元素a屬于集合A，表示為a∈A；如果元素a不屬于集合A，表示為aA。

　　二、集合的表示方法

　　列舉法：把集合中的所有元素一一列舉出來，并用大括號“{}”括起來表示集合。

　　描述法：用文字、符號或式子等來描述集合中元素的共同特征，從而表示集合。基本形式為{x∈I | p(x)}，其中x是集合的.代表元素，I是x的取值（或變化）范圍，p(x)是集合中元素所具有的共同特征。

　　圖示法：用數軸、文氏圖（Venn圖）等來形象地表示集合。

　　三、集合的三個特性

　　確定性：集合中的元素是確定的，即任何一個對象都能明確判斷它是不是某一集合的元素。

　　互異性：集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重復。

　　無序性：集合中的元素是無序的，即集合中元素的排列沒有固定的順序。

　　高一數學《集合》重點知識點歸納 8

　　一、集合的分類

　　有限集：含有有限個元素的集合。

　　無限集：含有無限個元素的集合。

　　空集：不含任何元素的集合，記作。空集是任何集合的.子集。

　　二、集合間的關系

　　子集：如果集合A中的每一個元素都是集合B的元素，那么稱A是B的子集，記作AB。

　　真子集：如果A是B的子集，且A不等于B（即A中至少有一個元素不屬于B），那么稱A是B的真子集，記作AB。

　　相等：如果兩個集合的元素完全相同，那么這兩個集合相等。

　　三、集合的運算

　　交集：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，記作A∩B。

　　并集：由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，記作A∪B。

　　補集：在全集U中，由不屬于集合A的所有元素組成的集合，記作C_U A（或A）。

　　高一數學《集合》重點知識點歸納 9

　　一、常用數集及其記法

　　自然數集：記作N，表示所有正整數的集合（有時包括0，有時不包括，具體根據教材或上下文確定）。

　　正整數集：記作N*（或N+），表示所有大于0的整數的集合。

　　整數集：記作Z，表示所有整數的集合（包括正整數、0和負整數）。

　　有理數集：記作Q，表示所有可以表示為兩個整數之比的'數的集合（即分數集合）。

　　實數集：記作R，表示所有實數的集合（包括有理數和無理數）。

　　二、集合的運算性質

　　交集運算性質：

　　A∩A=A

　　A∩=

　　A∩B=B∩A（交集滿足交換律）

　　(A∩B)∩C=A∩(B∩C)（交集滿足結合律）

　　并集運算性質：

　　A∪A=A

　　A∪=A

　　A∪B=B∪A（并集滿足交換律）

　　(A∪B)∪C=A∪(B∪C)（并集滿足結合律）

　　補集運算性質：

　　C_U (A∪B)=C_U A∩C_U B

　　C_U (A∩B)=C_U A∪C_U B

　　高一數學《集合》重點知識點歸納 10

　　一、集合的應用

　　實際問題抽象化：將實際問題中的對象抽象為集合，通過集合的運算和性質解決實際問題。

　　邏輯推理：利用集合的運算和性質進行邏輯推理，判斷命題的真假。

　　二、注意事項

　　區分元素與集合：元素是集合的基本單位，集合是由元素組成的.整體。

　　注意集合的運算順序：在進行集合的運算時，需要注意運算的順序和優先級。

　　理解集合的運算性質：掌握集合的運算性質是進行集合運算的基礎。

　　綜上所述，高一數學《集合》的重點知識點包括集合的基本概念、表示方法、三個特性、分類、關系、運算以及常用數集和運算性質等。在學習時，應注重理解和掌握這些知識點，并能夠靈活運用它們解決實際問題。

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