關于分析首位數問題的數學趣話

　　人們對生活中的許多現象由于習以為常而不求甚解。可是，如果仔細研究，這里面可能蘊含著深奧的道理。

　　天文學家在進行天文計算時，經常要使用對效表。本世紀韌，有一次天文學家西蒙·紐科姆在查對數表時，偶然發現了這樣的現象：對數表開始的幾頁總要比后面幾頁磨損得厲害。這說明人們在查對數表時，較多地是使用了以１為首的那幾頁。于是，紐科姆便產生這樣一個疑問：首位數是１的自然數在全體自然數中占有多大的比例？它是不是要比首位數是其它數字的自然效要多？人們后來就把這個問題稱為“首位數問題”。

　　大家可能會認為這個問題是顯而易見的。因為除０以外，共有九個數字：１，２，３，４，５，６，７，８，９，用其中任何一個數字開頭的自然數，在全體自然數中的分布是均勻的，機會應該是均等的。這就是說，首位數為１的自然數應該占全體自然數的１／９。可是，事實并不這么簡單。１９７４年，現在是美國斯坦福大學統計學家的珀西·迪亞科尼斯（當時還在哈佛大學做研究生），研究了這個問題，所得到的結論出乎人們的意料：首位數是１的自然數約占全體自然數的１／３。準確一點說，這個數值應該是ｌｇ２約為０．３０１０３。這是怎么一回事呢？

　　事實上，用不同數字做首位數字，這樣的自然數的分布并不是很均勻的，也不是很規則的。首位數是１的`自然數的分布規律是；

　　Ｉ到９之間，這樣的數只有１個，它就是１，所以占１／９；

　　Ｉ到２０之間，這樣的數有１１個，它們是１，１０，１１……，１９，所以約占１／２，

　　１到３０之間，這樣的數同樣有１１個，約占１／３，

　　１到１００之間．這樣的數仍然只有］１個，約占１／９，

　　ｌ到２００之間，這樣的數有１１１個，它們是１，１０，１１，…，１９，１００，１０１，…，１９９，約占１／２。

　　注意到首位數是１的自然數在以上各區間的個數與這個區間內所有自然數個數的比值，總是在１／２與１／９之間來回振蕩。于是，迪亞科尼斯經過研究，終于運用高等數學的方法，得出這些比值的合理平均值，它就是上面所講到的ｌｇ２。

　　迪亞科尼斯當時并不知道這樣偶然的發現有什么實際意義。后來，美國西雅田波音航天局數學家梅爾達德·沙沙哈尼在研究用計算機描繪自然景象的問題時，用上了這個結論。近年來，美國波音航天局將這一成果用于飛機模擬器，使飛行員在不離開地面的情況下接受訓練，而能得到一種在空中飛行的實感。首位數問題的結論在科學技術中發揮了重大的作用。

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