數(shù)的整除數(shù)論奧數(shù)知識講解及習題
一、基本概念和符號：
1、整除：如果一個整數(shù)a，除以一個自然數(shù)b，得到一個整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。
2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“”;因為符號“∵”，所以的符號“∴”;
二、整除判斷方法：
1。能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。
2。能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。
3。能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。
4。能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。
5。能被7整除：
①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的`數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。
6。能被11整除：
①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。
②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。
7。能被13整除：
①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。
三、整除的性質(zhì)：
1。如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a—b）也能被c整除。
2。如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。
3。如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4。如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。
例題：
在四位數(shù)56□2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時，這個四位數(shù)分別能被9，8，4整除？
解：如果56□2能被9整除，那么
5+6+□+2=13+□
應能被9整除，所以當十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時能被9整除;
如果56□2能被8整除，那么6□2應能被8整除，所以當十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時能被8整除;
如果56□2能被4整除，那么□2應能被4整除，所以當十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。
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