最簡分數奧數競賽題

　　1、最簡分數奧數競賽題：從1,2,3,4,5,6,7,8中選出一些數(至少選一個，不能不選)，使它們的和為4的倍數，一共有幾種方法?

　　2、一個回文數是指從首位數讀到末位數，與從末位數讀到首位數都相同的數(例如：11511，22222，10001)。請問可被11整除的五位數的回文數個數與全部五位數的回文數的個數之比是多少?答案請用最簡分數表示。

　　1.從1,2,3,4,5,6,7,8中選出一些數(至少選一個，不能不選)，使它們的.和為4的倍數，一共有幾種方法?

　　解答：先從3,4,5,6,7,8中隨便選幾個(可以不選)。之后根據在3,4,5,6,7,8中選出數的和除以4的余數來決定選不選1,2，方法如下：若那個和除以4余1則1,2都選;余2則選2不選1;余3則選1不選2;余0則都不選。這樣總共有2的6次方共64種方法，但是其中有一種一個數都不選的方法，需要去掉，故滿足條件的選法有63種。

　　2.一個回文數是指從首位數讀到末位數，與從末位數讀到首位數都相同的數(例如：11511，22222，10001)。請問可被11整除的五位數的回文數個數與全部五位數的回文數的個數之比是多少?答案請用最簡分數表示。

　　解答：五位回文數的一般形式為ABCDE，所以五位回文數共有9×10×10=900個。若五位回文數能被11整除，則2a+c與2b的差是11的倍數，即2a+c-2b=11，2a+c-2b=22，2b-(2a+c)=11或2b=2a+c。

　　若2a+c-2b=11，則c為奇數，當c=1時，a-b=5，b=0，1，2，3，4;當c=3時，a-b=4，b=0，1，2，3，4，5;當c=5時，a-b=3，b=0，1，2，3，4，5，6;當c=7時，a-b=2，b=0，1，2，3，4，5，6，7;當c=9時，a-b=1，b=0，1，2，3，4，5，6，7，8。共35個數。

　　若2a+c-2b=22，則c為偶數，且不小于4，當c=4時，a-b=9，b=0;當c=6時，a-b=8，b=0，1;當c=8時，a-b=7，b=0，1，2。共6個數。

　　若2b-(2a+c)=11，則c為奇數，當c=1時，b-a=6，a=1，2，3;當c=3時，b-a=7，a=1，2;當c=5時，b-a=8，a=1;c=7或9時，a和b無法同時為1位數，所以共有6個數。

　　若2b=2a+c，則c為偶數，當c=0時，a=b，a=1，2，3，4，5，6，7，8，9;當c=2時，b=a+1，a=1，2，3，4，5，6，7，8;當c=4時，b=a+2，a=1，2，3，4，5，6，7;當c=6時，b=a+3，a=1，2，3，4，5，6;當c=8時，b=a+4，a=1，2，3，4，5。共35個數。

　　所以能被11整除的五位回文數有35+6+6+35=82個，與全部五位回文數的個數之比為41/450

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