初中奧數數論約數與倍數知識點

　　(1)公約數和最大公約數

　　幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數;其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。

　　例如：4是12和16的最大公約數，可記做：(12 ，16)=4

　　(2)公倍數和最小公倍數

　　幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數;其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。

　　例如：36是12和18的最小公倍數，記作[12，18]=36。

　　(3)最大公約數和最小公倍數的關系

　　如果用a和b表示兩個自然數

　　1、那么這兩個自然數的最大公約數與最小公倍數關系是：

　　(a，b)×[a，b]=a×b。

　　(多用于求最小公倍數)

　　2、(a，b) ≤ a ，b ≤ [a，b]

　　3、[a，b]是(a，b)的.倍數，(a，b)是[a，b]的約數

　　4、(a，b)是a+b 和a-b 的約數，也是(a，b)+[a，b]和(a，b)-[a，b]的約數

　　(4)求最大公約數的方法很多，主要推薦：短除法、分解質因數法、輾轉相除法。

　　例如：1、(短除法)用一個數去除30、60、75，都能整除，這個數最大是多少?

　　解：∵

　　(30，60，75)=5×3=15

　　這個數最大是15。

　　2、(分解質因數法)求1001和308的最大公約數是多少?

　　解：1001=7×11×13(這個質分解常用到) ， 308=7×11×4

　　所以最大公約數是7×11=77

　　在這種方法中，先將數進行質分解，而后取它們“所有共有的質因數之積”便是最大公約數。

　　3、(輾轉相除法)用輾轉相除法求4811和1981的最大公約數。

　　解：∵4811=2×1981+849，

　　1981=2×849+283，

　　849=3×283，

　　∴(4811，1981)=283。

　　補充說明：如果要求三個或更多的數的最大公約數，可以先求其中任意兩個數的最大公約數，再求這個公約數與另外一個數的最大公約數，這樣求下去，直至求得最后結果。

　　(5)約數個數公式

　　一個合數的約數個數，等于它的質因數分解式中每個質因數的個數(即指數)加1的連乘的積。

　　例如：求240的約數的個數。

　　解：∵240=24×31×51，

　　∴240的約數的個數是

　　(4+1)×(1+1)×(1+1)=20，

　　∴240有20個約數。

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