小學奧數同余的解題規律知識

　　在作除法運算時，我們有這樣的經驗：

　　（1）一些不同的數除以一個相同的數可能會得到相同的余數.如，除以5余3的數有

　　5×1+3=8，

　　5×2+3=13，

　　5×3+3=18，

　　5×4+3=23，

　　…………

　　（2）一個相同的數除以一些不同的數，可能會有相同的余數.如，389分別除以5、7和11會得到相同的余數4.

　　389÷5=77……余4，

　　389÷7=55……余4，

　　389÷11=55……余4.

　　由此，我們可以來討論下面的兩個問題.

　　某數被5除余4，被7除也余4，被11除還余4.要求某數和某數最小是多少？讀者一定會想到有：

　　5×7×11+4=389，

　　5×7×11×2+4=774，

　　5×7×11×3+4=1159，

　　…………

　　答案有無數多個，但最小的.只能是389.

　　現在，我們把這個問題上升到一般形式.

　　問題一某數分別除以a、b、c、……，都得到相同的余數k.求某數最小是多少？聰明的讀者，能得出答案嗎？

　　需要請讀者注意的是，382、767、1152分別除以5、7和11所得的余數2、4、8，雖然都不相同，但是都與相應的除數相差同樣多.即

　　5-2=3，

　　7-4=3，

　　11-8=3.

　　于是，我們也可以提這樣的問題：

　　某數被5除余2，被7除余4，被11除余8.問某數是多少和某數最小是多少？讀者一定會想到是

　　5×7×11×1-3=382，

　　5×7×11×2-3=767，

　　5×7×11×3-3=1152，

　　…………

　　答案有無數多個，但最小只能是382.

　　這個問題的一般形式是：

　　問題二某數分別除以a、b、c、……得數相應的余數分別是A、B、C、……，并且，這些余數跟相應的除數都相差同樣多（也設為k），即

　　a-A=b-B=c-C=……=k. 求某數最小是多少？聰明的讀者，能得出答案嗎？

　　【規律】

　　某數分別除以a、b、c、……，都得到相同的余數k.求某數最小是多少？答案是

　　[a，b，c，……]+k.

　　某數分別除以a、b、c、……，得到相應的余數A、B、C、……，并且這些余數跟相應的除數都相差同樣多（設為k），即

　　a-A=b-B=c-C=……=k.求某數最小是多少？答案是

　　[a，b，c，……]-k.

　　【練習】

　　1.某數分別除以3、5和7，都有相同的余數2.求某數最小是多少？（2除外）

　　2.某數被5、6、7除，都得到相同的余數1.問某數在1000以內有哪幾個答案？

　　3.某數用5除余3，用7除余5，用9除余7，用11除余9.求某數最小是多少？

　　4.某數分別用5、7、9和11除，剛好都是差3才能整除.求某數最小是多少？

　　5.某數被2000除，余1993；被1999除，余1992；被1998除，余1991.求某數最小是多少？

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